Giải bởi Vietjack
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}y + x{y^2} = 6{{\rm{x}}^2}\\1 + {x^2}{y^2} = 5{{\rm{x}}^2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{y}{{{x^2}}} + \frac{{{y^2}}}{x} = 6\\\frac{1}{{{x^2}}} + {y^2} = 5\end{array} \right.\)
Đặt \[{\rm{a}} = \frac{1}{x}\] ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2}y + a{y^2} = 6\\{a^2} + {y^2} = 5\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}ay\left( {a + y} \right) = 6\\{\left( {a + y} \right)^2} - 2{\rm{a}}y = 5\end{array} \right.\)
Đặt ay = z, a + y = t
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}t{\rm{z}} = 6\\{t^2} - 2{\rm{z}} = 5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{z}} = \frac{{{t^2} - 5}}{2}\\t.\frac{{{t^2} - 5}}{2} = 6\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{z}} = \frac{{{t^2} - 5}}{2}\\{t^3} - 5t - 12 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{z}} = \frac{{{t^2} - 5}}{2}\\\left( {t - 3} \right)\left( {{t^2} + 3t + 4} \right) = 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{z}} = \frac{{{t^2} - 5}}{2}\\t - 3 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{z}} = 2\\t = 3\end{array} \right.\)
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}ay = 2\\a + y = 3\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y\left( {3 - y} \right) = 2\\a = 3 - y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y^2} - 3y + 2 = 0\\a = 3 - y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}y = 1\\y = 2\end{array} \right.\\a = 3 - y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}y = 1\\a = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = 2\\a = 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}y = 1\\\frac{1}{x} = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = 2\\\frac{1}{x} = 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}y = 1\\x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = 2\\x = 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (1; 2) hoặc \(\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{1}{2};1} \right)\).
Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
Hàm số y = 3f(x + 2) – x3 + 3x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Hình bình hành ABCD có AC ⊥ AD và AD = 3,5; \(\widehat D = 50^\circ \). Tính diện tích ABCD.
Cho a là số thực dương, a ≠ 1 và \(P = {\log _{\sqrt[3]{a}}}{a^3}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3f(x2 – 4x) = m có ít nhất ba nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng (0; +∞)?
Cho x, y là các số thực dương và m, n là hai số thực tùy ý. Đẳng thức nào sau đây là sai?
Với a, b, c là các số dương, chứng minh rằng
\(\left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \ge 9\).
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x3 + x2 + mx + 1 đồng biến trên khoảng (–∞; +∞)
Chứng minh \(\frac{1}{{1 + {a^3}}} + \frac{1}{{1 + {b^3}}} + \frac{1}{{1 + {c^3}}} \ge \frac{3}{{1 + abc}}\) với a, b, c ≥ 1.
Chứng minh bất đẳng thức sinx < x với mọi x > 0 và sinx > x với mọi x < 0.
