Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh:
a) AB2 = BH . BC
b) AC2 = CH . BC
c) \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}}\).
Giải bởi Vietjack
a) Xét tam giác ABC và tam giác HBA có:
\(\widehat {BAC} = \widehat {AHB} = 90^\circ \)
\(\widehat B\) là góc chung
Suy ra (g.g)
Do đó \(\frac{{AB}}{{BH}} = \frac{{BC}}{{AB}}\)
Suy ra AB2 = BH . BC
b) Xét tam giác ABC và tam giác HAC có:
\(\widehat {BAC} = \widehat {AHC} = 90^\circ \)
\(\widehat C\) là góc chung
Suy ra (g.g)
Do đó \(\frac{{AC}}{{CH}} = \frac{{BC}}{{AC}}\)
Suy ra AC2 = BC . CH
c) Vì (chứng minh câu a)
Nên \(\frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{BC}}\)
Suy ra \(\frac{{A{H^2}}}{{A{C^2}}} = \frac{{A{B^2}}}{{B{C^2}}}\) (1)
Vì (chứng minh câu b)
Nên \(\frac{{BC}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{AH}}\)
Suy ra \(\frac{{A{H^2}}}{{A{B^2}}} = \frac{{A{C^2}}}{{B{C^2}}}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{A{H^2}}}{{A{C^2}}} + \frac{{A{H^2}}}{{A{B^2}}} = \frac{{A{B^2}}}{{B{C^2}}} + \frac{{A{C^2}}}{{B{C^2}}} = \frac{{A{B^2} + A{C^2}}}{{B{C^2}}}\)
Mà tam giác ABC vuông tại A nên BC2 = AB2 + AC2
Do đó \(\frac{{A{H^2}}}{{A{C^2}}} + \frac{{A{H^2}}}{{A{B^2}}} = 1\)
Suy ra \(\frac{1}{{A{C^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{1}{{A{H^2}}}\)
Vậy \(\frac{1}{{A{C^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{1}{{A{H^2}}}\).
Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
Hàm số y = 3f(x + 2) – x3 + 3x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Hình bình hành ABCD có AC ⊥ AD và AD = 3,5; \(\widehat D = 50^\circ \). Tính diện tích ABCD.
Cho a là số thực dương, a ≠ 1 và \(P = {\log _{\sqrt[3]{a}}}{a^3}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3f(x2 – 4x) = m có ít nhất ba nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng (0; +∞)?
Cho x, y là các số thực dương và m, n là hai số thực tùy ý. Đẳng thức nào sau đây là sai?
Với a, b, c là các số dương, chứng minh rằng
\(\left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \ge 9\).
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x3 + x2 + mx + 1 đồng biến trên khoảng (–∞; +∞)
Chứng minh \(\frac{1}{{1 + {a^3}}} + \frac{1}{{1 + {b^3}}} + \frac{1}{{1 + {c^3}}} \ge \frac{3}{{1 + abc}}\) với a, b, c ≥ 1.
