IMG-LOGO

Câu hỏi:

18/07/2024 72

Chứng minh bất đẳng thức sinx < x với mọi x > 0 và sinx > x với mọi x < 0.

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Xét hàm số f(x) = x – sinx liên tục trên nửa khoảng \(\left[ {0;\left. {\frac{\pi }{2}} \right)} \right.\)

Đạo hàm f’ = 1 – cosx > 0 với mọi \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)

Do đó hàm số đồng biến trên \(\left[ {0;\left. {\frac{\pi }{2}} \right)} \right.\)

Từ đó với mọi \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) ta có:

f(x) > f(0) = 0

Suy ra x – sinx > 0; \(\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)

x > sinx; \(\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)

Với \(x \ge \frac{\pi }{2}\) thì x > 1 ≥ sinx

Vậy sinx < x với mọi x > 0

Xét hàm số f(x) = x – sinx liên tục trên nửa khoảng \(\left( {\frac{{ - \pi }}{2};\left. 0 \right]} \right.\)

Đạo hàm f’ = 1 – cosx > 0 với mọi \(x \in \left( { - \frac{\pi }{2};0} \right)\)

Do đó hàm số đồng biến trên \(\left( {\frac{{ - \pi }}{2};\left. 0 \right]} \right.\)

Từ đó với mọi \(x \in \left( { - \frac{\pi }{2};0} \right)\) ta có:

f(x) < f(0) = 0

Suy ra x – sinx < 0; \(\forall x \in \left( { - \frac{\pi }{2};0} \right)\)

x < sinx; \(\forall x \in \left( { - \frac{\pi }{2};0} \right)\)

Với \(x \le \frac{\pi }{2}\) thì \(x \le \frac{{ - \pi }}{2} < - 1 \le {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}\)

Vậy sinx > x với mọi x < 0.

Câu trả lời này có hữu ích không?

0

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

Hàm số y = 3f(x + 2) - x^3 + 3x đồng biến trên khoảng nào dưới đây (ảnh 1)

Hàm số y = 3f(x + 2) – x3 + 3x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Xem đáp án » 17/08/2023 162

Câu 2:

Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn x3 + 2x2 + 3x + 2 = y3.

Xem đáp án » 17/08/2023 121

Câu 3:

Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2 + 6x + 9.

Xem đáp án » 17/08/2023 116

Câu 4:

Hình bình hành ABCD có AC AD và AD = 3,5; \(\widehat D = 50^\circ \). Tính diện tích ABCD.

Xem đáp án » 17/08/2023 114

Câu 5:

Cho a là số thực dương, a ≠ 1 và \(P = {\log _{\sqrt[3]{a}}}{a^3}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Xem đáp án » 17/08/2023 114

Câu 6:

Tổng các nghiệm của phương trình 3x+1 + 31-x = 10.

Xem đáp án » 17/08/2023 107

Câu 7:

Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3f(x^2 - 4x) = m có ít nhất  (ảnh 1)

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3f(x2 – 4x) = m có ít nhất ba nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng (0; +∞)?

Xem đáp án » 17/08/2023 100

Câu 9:

Cho x, y là các số thực dương và m, n là hai số thực tùy ý. Đẳng thức nào sau đây là sai?

Xem đáp án » 17/08/2023 88

Câu 10:

Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}y + x{y^2} = 6{{\rm{x}}^2}\\1 + {x^2}{y^2} = 5{{\rm{x}}^2}\end{array} \right.\).

Xem đáp án » 17/08/2023 87

Câu 11:

Cho tam giác ABC có cạnh a, b, c thỏa mãn bc = a2.

Chứng minh rằng sinB.sinC = sin2A và hb . hc = ha2.

Xem đáp án » 17/08/2023 79

Câu 12:

Tìm giá trị nhỏ nhất của x2 + 3x + 4.

Xem đáp án » 17/08/2023 78

Câu 13:

Với a, b, c là các số dương, chứng minh rằng

\(\left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \ge 9\).

Xem đáp án » 17/08/2023 77

Câu 14:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x3 + x2 + mx + 1 đồng biến trên khoảng (–∞; +∞)

Xem đáp án » 17/08/2023 75

Câu 15:

Chứng minh \(\frac{1}{{1 + {a^3}}} + \frac{1}{{1 + {b^3}}} + \frac{1}{{1 + {c^3}}} \ge \frac{3}{{1 + abc}}\) với a, b, c ≥ 1.

Xem đáp án » 17/08/2023 72

Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »
Xem thêm »