Chứng minh bất đẳng thức sinx < x với mọi x > 0 và sinx > x với mọi x < 0.
Giải bởi Vietjack
Xét hàm số f(x) = x – sinx liên tục trên nửa khoảng \(\left[ {0;\left. {\frac{\pi }{2}} \right)} \right.\)
Đạo hàm f’ = 1 – cosx > 0 với mọi \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)
Do đó hàm số đồng biến trên \(\left[ {0;\left. {\frac{\pi }{2}} \right)} \right.\)
Từ đó với mọi \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) ta có:
f(x) > f(0) = 0
Suy ra x – sinx > 0; \(\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)
⇔ x > sinx; \(\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)
Với \(x \ge \frac{\pi }{2}\) thì x > 1 ≥ sinx
Vậy sinx < x với mọi x > 0
Xét hàm số f(x) = x – sinx liên tục trên nửa khoảng \(\left( {\frac{{ - \pi }}{2};\left. 0 \right]} \right.\)
Đạo hàm f’ = 1 – cosx > 0 với mọi \(x \in \left( { - \frac{\pi }{2};0} \right)\)
Do đó hàm số đồng biến trên \(\left( {\frac{{ - \pi }}{2};\left. 0 \right]} \right.\)
Từ đó với mọi \(x \in \left( { - \frac{\pi }{2};0} \right)\) ta có:
f(x) < f(0) = 0
Suy ra x – sinx < 0; \(\forall x \in \left( { - \frac{\pi }{2};0} \right)\)
⇔ x < sinx; \(\forall x \in \left( { - \frac{\pi }{2};0} \right)\)
Với \(x \le \frac{\pi }{2}\) thì \(x \le \frac{{ - \pi }}{2} < - 1 \le {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}\)
Vậy sinx > x với mọi x < 0.
Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
Hàm số y = 3f(x + 2) – x3 + 3x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Hình bình hành ABCD có AC ⊥ AD và AD = 3,5; \(\widehat D = 50^\circ \). Tính diện tích ABCD.
Cho a là số thực dương, a ≠ 1 và \(P = {\log _{\sqrt[3]{a}}}{a^3}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3f(x2 – 4x) = m có ít nhất ba nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng (0; +∞)?
Cho x, y là các số thực dương và m, n là hai số thực tùy ý. Đẳng thức nào sau đây là sai?
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x3 + x2 + mx + 1 đồng biến trên khoảng (–∞; +∞)
Với a, b, c là các số dương, chứng minh rằng
\(\left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \ge 9\).
Chứng minh \(\frac{1}{{1 + {a^3}}} + \frac{1}{{1 + {b^3}}} + \frac{1}{{1 + {c^3}}} \ge \frac{3}{{1 + abc}}\) với a, b, c ≥ 1.
