Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. ∀ n ∈ ℕ, n2 + 1 không chia hết cho 3
B. ∀ n ∈ ℝ, |x| < 3 ⇔ x < 3
C. ∀ n ∈ ℝ, (x – 1)2 ≠ x – 1
D. ∃ n ∈ ℕ, n2 + 1 chia hết cho 4.
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là: A
+) Với mọi số tự nhiên thì có các trường hợp sau:
n = 3k ⇒ n2 + 1 = (3k)2 + 1 chia 3 dư 1
n = 3k + 1 ⇒ n2 + 1 = (3k + 1)2 + 1 = 9k2 + 6k + 2 chia 3 dư 2
n = 3k + 2 ⇒ n2 + 1 = (3k + 2)2 + 1 = 9k2 + 12k + 5 chia 3 dư 2
Suy ra ∀ n ∈ ℕ, n2 + 1 không chia hết cho 3, mệnh đề A đúng
+) Với mọi số tự nhiên thì có các trường hợp sau:
n = 4k ⇒ n2 + 1 = (4k)2 + 1 chia 4 dư 1
n = 4k + 1 ⇒ n2 + 1 = (4k + 1)2 + 1 = 16k2 + 8k + 2 chia 4 dư 2
n = 4k + 2 ⇒ n2 + 1 = (4k + 2)2 + 1 = 16k2 + 16k + 5 chia 4 dư 1
n = 4k + 3 ⇒ n2 + 1 = (4k + 3)2 + 1 = 16k2 + 24k + 10 chia 4 dư 2
Suy ra ∀ n ∈ ℕ, n2 + 1 không chia hết cho 4, do đó mệnh đề D sai.
+) Ta có: x = – 4 < 3, nhưng |x| = | – 4| = 4 > 3, suy ra mệnh đề B sai
+) Với x = 1, ta có (x – 1)2 = (1 – 1)2 = 0 và x – 1 = 1 – 1 = 0, do đó mệnh đề C sai
Vậy ta chọn đáp án A.
Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
Hàm số y = 3f(x + 2) – x3 + 3x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Hình bình hành ABCD có AC ⊥ AD và AD = 3,5; \(\widehat D = 50^\circ \). Tính diện tích ABCD.
Cho a là số thực dương, a ≠ 1 và \(P = {\log _{\sqrt[3]{a}}}{a^3}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3f(x2 – 4x) = m có ít nhất ba nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng (0; +∞)?
Cho x, y là các số thực dương và m, n là hai số thực tùy ý. Đẳng thức nào sau đây là sai?
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x3 + x2 + mx + 1 đồng biến trên khoảng (–∞; +∞)
Với a, b, c là các số dương, chứng minh rằng
\(\left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \ge 9\).
Chứng minh bất đẳng thức sinx < x với mọi x > 0 và sinx > x với mọi x < 0.
