Chứng minh với x, y, z dương ta có \(\frac{{{x^3}}}{{yz}} + \frac{{{y^3}}}{{xz}} + \frac{{{z^3}}}{{xy}} \ge x + y + z\).
Giải bởi Vietjack
Ta có:
\(\frac{{{x^3}}}{{yz}} + \frac{{{y^3}}}{{xz}} + \frac{{{z^3}}}{{xy}} = \frac{{{x^4}}}{{xyz}} + \frac{{{y^4}}}{{xyz}} + \frac{{{z^4}}}{{xyz}} = \frac{{{x^4} + {y^4} + {z^4}}}{{xyz}}\)
Áp dụng bất đẳng thức \({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{3}\) ta có
\[{{\rm{x}}^4} + {y^4} + {z^4} \ge \frac{{{{\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)}^2}}}{3}\]
Suy ra \(\frac{{{x^4} + {y^4} + {z^4}}}{{xyz}} \ge \frac{{{{\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)}^2}}}{{3xyz}} \ge \frac{{{{\left[ {\frac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{3}} \right]}^2}}}{{\frac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^3}}}{{3.3}}}}\)
\(\frac{{{x^4} + {y^4} + {z^4}}}{{xyz}} \ge \frac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^4}}}{{{{\left( {x + y + z} \right)}^3}}} = x + y + z\)
Do đó \(\frac{{{x^3}}}{{yz}} + \frac{{{y^3}}}{{xz}} + \frac{{{z^3}}}{{xy}} \ge x + y + z\)
Vậy \(\frac{{{x^3}}}{{yz}} + \frac{{{y^3}}}{{xz}} + \frac{{{z^3}}}{{xy}} \ge x + y + z\).
Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
Hàm số y = 3f(x + 2) – x3 + 3x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Hình bình hành ABCD có AC ⊥ AD và AD = 3,5; \(\widehat D = 50^\circ \). Tính diện tích ABCD.
Cho a là số thực dương, a ≠ 1 và \(P = {\log _{\sqrt[3]{a}}}{a^3}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3f(x2 – 4x) = m có ít nhất ba nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng (0; +∞)?
Cho x, y là các số thực dương và m, n là hai số thực tùy ý. Đẳng thức nào sau đây là sai?
Với a, b, c là các số dương, chứng minh rằng
\(\left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \ge 9\).
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x3 + x2 + mx + 1 đồng biến trên khoảng (–∞; +∞)
Chứng minh \(\frac{1}{{1 + {a^3}}} + \frac{1}{{1 + {b^3}}} + \frac{1}{{1 + {c^3}}} \ge \frac{3}{{1 + abc}}\) với a, b, c ≥ 1.
