Cho x > 0, y > 0 và x + y = 1. Chứng minh: \(8\left( {{x^4} + {y^4}} \right) + \frac{1}{{xy}} \ge 5\).
Giải bởi Vietjack
Ta có:
(a – b)2 ≥ 0
⇔ a2 – 2ab + b2 ≥ 0
⇔ a2 + b2 ≥ 2ab
⇔ 2(a2 + b2) ≥ 2ab + a2 + b2
⇔ 2(a2 + b2) ≥ (a + b)2
\( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{2}\)
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có
\(8\left( {{x^4} + {y^4}} \right) \ge 8\left[ {\frac{{{{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}^2}}}{2}} \right]\)
\( \Leftrightarrow 8\left( {{x^4} + {y^4}} \right) \ge 4{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow 8\left( {{x^4} + {y^4}} \right) \ge 4{\left[ {\frac{{\left( {x + {y^2}} \right)}}{2}} \right]^2} = 1\) (vì x + y = 1)
Lại có (x + y)2 ≥ 4xy
⇔ 1 ≥ 4xy (vì x + y = 1)
\( \Leftrightarrow xy \le \frac{1}{4}\)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{{xy}} \ge 4\)
Suy ra \(8\left( {{x^4} + {y^4}} \right) + \frac{1}{{xy}} \ge 1 + 4 = 5\)
Vậy \(8\left( {{x^4} + {y^4}} \right) + \frac{1}{{xy}} \ge 5\).
Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
Hàm số y = 3f(x + 2) – x3 + 3x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Hình bình hành ABCD có AC ⊥ AD và AD = 3,5; \(\widehat D = 50^\circ \). Tính diện tích ABCD.
Cho a là số thực dương, a ≠ 1 và \(P = {\log _{\sqrt[3]{a}}}{a^3}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3f(x2 – 4x) = m có ít nhất ba nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng (0; +∞)?
Cho x, y là các số thực dương và m, n là hai số thực tùy ý. Đẳng thức nào sau đây là sai?
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x3 + x2 + mx + 1 đồng biến trên khoảng (–∞; +∞)
Với a, b, c là các số dương, chứng minh rằng
\(\left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \ge 9\).
Chứng minh \(\frac{1}{{1 + {a^3}}} + \frac{1}{{1 + {b^3}}} + \frac{1}{{1 + {c^3}}} \ge \frac{3}{{1 + abc}}\) với a, b, c ≥ 1.
