Biết $I = \int\limits_0^4 {x\ln \left( {2{\rm{x}} + 1} \right)d{\rm{x}} = \frac{a}{b}\ln 3 - c}$, trong đó a, b, c là các số nguyên dường và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính S = a + b + c.

Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có đáy là hình vuông, BD = 2a, góc giữa hai mặt phẳng (A′BD) và (ABCD) bằng 30°. Thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho bằng:

Tập giá trị của hàm số y = cos2x là

Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, BC. Đẳng thức nào sau đây sai?

Cho hai học sinh lớp A, ba học sinh lớp B và bốn học sinh lớp C xếp thành một hàng ngang sao cho giữa hai học sinh lớp A không có học sinh nào lớp B. Hỏi có bao nhiêu cách xếp hàng như vậy?

Cho hình thoi ABCD có AC = 8 và BD = 6. Tính $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}$.

Cho tam giác đều ABC cạnh a. Biết rằng tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức $\left| {2\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MB} + 4\overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MA} } \right|$ là đường tròn cố định có bán kính R. Tính bán kính R theo a.

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thuộc đoạn [0; 2π] của phương trình f(cosx) = –2 là:

Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thuộc đoạn [–π; 2π] của phương trình 2f(sinx) + 3 = 0 là:

Cho hai số thực a và b với 1 < a < b. Khẳng định nào dưới đây là đúng?

Có bao nhiêu cách xếp 5 sách Văn khác nhau và 7 sách Toán khác nhau trên một kệ sách dài nếu các sách Văn phải xếp kề nhau?

Biết rằng phương trình ${\left[ {{{\log }_{\frac{1}{3}}}\left( {9{\rm{x}}} \right)} \right]^2} + {\log _3}\frac{{{x^2}}}{{81}} - 7 = 0$ có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂. Tính P = x₁x₂.

Cho tam giác ABC vuông tại A, $BC = a\sqrt 3$, M là trung điểm của BC và có $\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} = \frac{{{a^2}}}{2}$. Tính cạnh AB, AC.

Trong khôn gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; –4). Gọi H là trực tâm tam giác ABC. Tìm phương trình tham số của đường thẳng OH trong các phương án sau:

Gọi S là tập hợp tất cả các số nguyên dương của tham số m sao cho bất phương trình 4^x – m . 2^x – m + 15 ≥ 0 có nghiệm đúng với mọi x ∈ [1; 2]. Tính số phần tử của S.