Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 6 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $P=\frac{x{y}^3}{y^3+4}+\frac{y{z}^3}{z^3+4}+\frac{z{x}^3}{x^3+4}$.

Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O;R) . Kẻ AH vuông góc với BC tại H, HK vuông góc với AB tại K và HI vuông góc với AC tại I.

a) Chứng minh tứ giác AKHI nội tiếp.

b) Gọi E là giao điếm của AH với KI Chứng minh rằng $EA\cdot EH=EK\cdot EI.$

c) Chứng minh KJ vuông góc với AO.

d) Giả sử điểm A và đường tròn (O;R) cố định, còn dây cung BC thay đổi sao cho $AB\cdot AC=3R^2.$ Xác định vị trí của dây cung BC sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất.

Một hình nón có diện tích đáy bằng $16\pi \left({\text{cm}}^2\right)$ và có chiều cao gấp ba lần bán kính đáy. Tính thể tích của hình nón đó.

Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}mx+y=3\\ -x+y=2\end{array}\right.$ (với m là tham số).

1) Giải hệ phương trình vời m = 2.

2) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn $x^2+y^2=10.$

Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz cho parabol $\left(P\right):y=2x^2$ và đường thẳng $\left(d\right):y=x+m$ (với m là tham số).

1) Tìn m để (d) đi qua điểm A (2;8).

2) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1,x_2$ thỏa mãn $x_1+x_2-3x_1{x}_2=5.$

Cho hai biểu thức $P=\left(\frac{x-6\sqrt{x}+1}{x-1}-\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\right):\frac{x+4}{1-x}$ và $Q=\frac{\sqrt{x}}{x+4}$ (với $x\ge 0;x\ne 1).$

1) Tính giá tri biểu thức Q với x = 4.

2) Chứng minh rằng $P=4Q.$

3) Tìm tất cả các giá trị của x để P nhận giá trị là các số nguyên.