Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy là hình vuông cạnh \(a\,,\,\,SA \bot \left( {ABCD} \right),\,\,SA = x.\) Xác định \(x\) để hai mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) hợp với nhau góc bằng \(60^\circ \).
Ta có \(SB = SD = \sqrt {S{A^2} + A{D^2}} = \sqrt {{a^2} + {x^2}} .\)
\[\Delta SDC = \Delta SBC;BM \bot SC\,\,;\,\,DM \bot SC\,;\,\,BM = DM\,;\,\,M \in SC.\]
\[SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = \sqrt {{x^2} + 2{a^2}} \,,\,\,MD = \frac{{SD \cdot CD}}{{SC}} = \frac{{a\sqrt {{x^2} + {a^2}} }}{{\sqrt {{x^2} + 2{a^2}} }}\]
Mặt khác \[\left( {\left( {SBC} \right)\,;\,\,\left( {SDC} \right)} \right) = \widehat {\left( {BM\,;\,\,BD} \right)} = 60^\circ \]• TH1: \(\widehat {BMD} = 60^\circ \Rightarrow MD = BD \Leftrightarrow \frac{{a\sqrt {{x^2} + {a^2}} }}{{\sqrt {{x^2} + 2{a^2}} }} = a\sqrt 2 \) (vô nghiệm).
• TH2: \(\widehat {BMD} = 120^\circ \Rightarrow BD = MD\sqrt 3 \Leftrightarrow a\sqrt 2 = \frac{{a\sqrt 3 \sqrt {{x^2} + {a^2}} }}{{\sqrt {{x^2} + 2{a^2}} }} \Leftrightarrow x = a.\) Chọn B.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 4x - 2.\) Gọi \(S\) là tống tất cả các giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y = g\left( x \right) = \left| {{f^2}\left( x \right) - 2f\left( x \right) + m} \right|\) đạt giá trị lớn nhất trên đoạn \(\left[ { - 1\,;\,\,3} \right]\) bằng 15. Tổng \(S\) thuộc khoảng nào sau đây?
Tiếp tuyến với đồ thị hàm số \(y = - \frac{1}{4}{x^4} + 2{x^2} + 3\) tại điểm cực tiểu của đồ thị cắt đồ thị ở A, B khác tiếp điểm. Tính độ dài đoạn thẳng AB ?
Biết \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{\sin x}}{{1 + 3\cos x}}\) và \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 2.\) Tính \(F\left( 0 \right).\)
Cho đường tròn có đường kính bằng 4 và 2 Elip lần lượt nhận 2 đường kính vuông góc với nhau của đường tròn làm trục lớn, trục bé của mỗi Elip đều bằng 1. Diện tích \[S\] phần hình phẳng ở bên trong đường tròn và bên ngoài 2 Elip (phần gạch tô màu trên hình vẽ) gần với kết quả nào nhất trong 4 kết quả dưới đây?
Trong không gian \[Oxyz,\] cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có toạ độ các điểm \(A\left( {0\,;\,\,0\,;\,\,0} \right),\)\(B\left( {a\,;\,\,0\,;\,\,0} \right)\), \(D\left( {0\,;\,\,2a\,;\,\,0} \right),\,\,A'\left( {0\,;\,\,0\,;\,\,2a} \right)\) với \(a \ne 0.\) Độ dài đoạn thẳng \(AC'\) là
Cho tập hợp \(A = \left[ {4\,;\,\,7} \right]\) và \(B = \left[ {2a + 3b - 1\,;\,\,3a - b + 5} \right]\) với \(a,\,\,b \in \mathbb{R}.\) Khi \(A = B\) thì giá trị biểu thức \(M = {a^2} + {b^2}\) bằng
Cho các số thực a, b thỏa mãn \(\frac{{2a - 1}}{{b - 2}} = {\log _2}3.\) Giá trị của \(\frac{{{3^b}}}{{{4^a}}}\) bằng