Điều kiện: \(\frac{{{x^3} - 2{x^2} + 2}}{{{x^2} + m}} > 0.\)
Do \({x^3} - 2{x^2} + 2 > 0\,;\,\,\forall x \in \left[ {0\,;\,\,3} \right]\) nên chỉ cần xét điều kiện \({x^2} + m > 0\).
Với điều kiện (*) ta có:
Bất phương trình \( \Leftrightarrow \ln \left( {{x^3} - 2{x^2} + 2} \right) - \ln \left( {{x^2} + m} \right) + {x^3} - 3{x^2} + 2 - m \ge 0\)
\( \Leftrightarrow \ln \left( {{x^3} - 2{x^2} + 2} \right) + {x^3} - 2{x^2} + 2 \ge \ln \left( {{x^2} + m} \right) + {x^2} + m\)
Xét hàm: \(f\left( t \right) = \ln t + t\) trên \(\left( {0\,;\,\, + \infty } \right).\)
Ta có \(f'\left( t \right) = \frac{1}{t} + t > 0\,\,\forall t \in \left( {0\,;\,\, + \infty } \right) \Rightarrow f\left( t \right)\) là hàm đồng biến trên \(\left( {0\,;\,\, + \infty } \right).\)
Do đó \((1) \Leftrightarrow {x^3} - 2{x^2} + 2 \ge {x^2} + m \Leftrightarrow m \le {x^3} - 3{x^2} + 2.\)
Đặt \(g(x) = {x^3} - 3{x^2} + 2.\)
BPT đã cho nghiệm đúng \[\forall x \in \left[ {0\,;\,\,3} \right]\] khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + m > 0\,;\,\,\forall x \in \left[ {0\,;\,\,3} \right]}\\{m \le \min { _{\left[ {0\,;\,\,3} \right]}}\,g\left( x \right)}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > 0}\\{m \le - 2}\end{array}} \right.} \right.\).
Vậy không tồn tại giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án: 0.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 4x - 2.\) Gọi \(S\) là tống tất cả các giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y = g\left( x \right) = \left| {{f^2}\left( x \right) - 2f\left( x \right) + m} \right|\) đạt giá trị lớn nhất trên đoạn \(\left[ { - 1\,;\,\,3} \right]\) bằng 15. Tổng \(S\) thuộc khoảng nào sau đây?
Tiếp tuyến với đồ thị hàm số \(y = - \frac{1}{4}{x^4} + 2{x^2} + 3\) tại điểm cực tiểu của đồ thị cắt đồ thị ở A, B khác tiếp điểm. Tính độ dài đoạn thẳng AB ?
Biết \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{\sin x}}{{1 + 3\cos x}}\) và \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 2.\) Tính \(F\left( 0 \right).\)
Cho đường tròn có đường kính bằng 4 và 2 Elip lần lượt nhận 2 đường kính vuông góc với nhau của đường tròn làm trục lớn, trục bé của mỗi Elip đều bằng 1. Diện tích \[S\] phần hình phẳng ở bên trong đường tròn và bên ngoài 2 Elip (phần gạch tô màu trên hình vẽ) gần với kết quả nào nhất trong 4 kết quả dưới đây?
Trong không gian \[Oxyz,\] cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có toạ độ các điểm \(A\left( {0\,;\,\,0\,;\,\,0} \right),\)\(B\left( {a\,;\,\,0\,;\,\,0} \right)\), \(D\left( {0\,;\,\,2a\,;\,\,0} \right),\,\,A'\left( {0\,;\,\,0\,;\,\,2a} \right)\) với \(a \ne 0.\) Độ dài đoạn thẳng \(AC'\) là
Cho tập hợp \(A = \left[ {4\,;\,\,7} \right]\) và \(B = \left[ {2a + 3b - 1\,;\,\,3a - b + 5} \right]\) với \(a,\,\,b \in \mathbb{R}.\) Khi \(A = B\) thì giá trị biểu thức \(M = {a^2} + {b^2}\) bằng
Cho các số thực a, b thỏa mãn \(\frac{{2a - 1}}{{b - 2}} = {\log _2}3.\) Giá trị của \(\frac{{{3^b}}}{{{4^a}}}\) bằng