Xác định các hệ số \[a,\,\,b,\,\,c\] để đồ thị hàm số \(y = {x^3} + a{x^2} + bx + c\) đi qua điểm \(\left( {1\,;\,\,0} \right)\) và có điểm cực trị \[\left( { - 2\,;\,\,0} \right).\] Giá trị biểu thức \(T = {a^2} + {b^2} + {c^2}\) là

Giả sử khi một cơn sóng biển đi qua một cái cọc ở ngoài khơi, chiều cao của nước được mô hình hóa bởi hàm số \(h\left( t \right) = 90\cos \left( {\frac{\pi }{{10}}t} \right)\), trong đó \[h\left( t \right)\] là độ cao tính bằng centimét trên mực nước biển trung bình tại thời điểm \(t\) giây. Chiều cao của sóng (tức là khoảng cách theo phương thẳng đứng giữa đáy và đỉnh của sóng) bằng

Cho hàm số , với \(m\) là tham số. Gọi \({m_1},\,\,{m_2}\,\,\left( {{m_1} < {m_2}} \right)\) là các giá trị của tham số \(m\) thỏa mãn \(2{\max _{\left[ {0\,;\,\,2} \right]}}f\left( x \right) - {\min _{\left[ {0\,;\,\,2} \right]}}f\left( x \right) = 8.\) Tổng \(2{m_1} + 3{m_2}\) bằng

Trong không gian \[Oxyz,\] cho hai điểm \(A\left( {2\,;\,\, - 2\,;\,\,1} \right),\,\,B\left( {0\,;\,\,1\,;\,\,2} \right).\) Tọa độ điểm \(M\) thuộc mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) sao cho ba điểm \[A,\,\,B,\,\,M\] thẳng hàng là

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm là \(f'\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {x - m} \right)\) với \(m\) là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty \,;\,\, + \infty } \right)\)?

Trong không gian \[Oxyz,\] cho điểm \(H\left( {1\,;\,\,2\,;\,\, - 2} \right).\) Mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] đi qua \[H\] và cắt các trục \[Ox,\,\,Oy,\,\,Oz\] tại \[A,\,\,B,\,\,C\] sao cho H là trực tâm tam giác \[ABC.\] Phương trình mặt cầu tâm \(O\) và tiếp xúc với mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] là

Gọi \(S\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y = {x^2} + 2x - 1\) và các đường thẳng \(y = m\,,\,\,x = 0\,,\,\,x = 1.\) Để \(S \le 2021\) thì có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { - 4040\,;\,\, - 3} \right]?\)