Trong không gian \[Oxyz,\] cho hai điểm \(A\left( {2\,;\,\, - 2\,;\,\,6} \right),\,\,B\left( {3\,;\,\,3\,;\,\, - 9} \right)\) và mặt phẳng \((P):2x + 2y - z - 12 = 0\). Điểm \(M\) di động trên \(\left( P \right)\) sao cho \[MA,\,\,MB\] luôn tạo với \(\left( P \right)\) các góc bằng nhau. Biết rằng điểm \(M\) luôn thuộc một đường tròn cố định. Tung độ của tâm đường tròn đó bằng
Đặt \(M\left( {a\,;\,\,b\,;\,\,c} \right)\), gọi \[E,\,\,F\] là các chân đường vuông góc từ \[A,\,\,B\] hạ xuống \(\left( P \right).\)
Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì \(\sin \widehat {AME} = \sin \widehat {BMF}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{AE}}{{AM}} = \frac{{BF}}{{BM}} \Leftrightarrow \frac{{d\left( {A;\,\,\left( P \right)} \right)}}{{AM}} = \frac{{d\left( {B;\,\,\left( P \right)} \right)}}{{BM}} \Leftrightarrow \frac{6}{{AM}} = \frac{3}{{BM}} \Leftrightarrow M{A^2} = 4M{B^2}\)
\[ \Leftrightarrow {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b + 2} \right)^2} + {\left( {c - 6} \right)^2} = 4\left[ {{{\left( {a - 3} \right)}^2} + {{\left( {b - 3} \right)}^2} + {{\left( {c + 9} \right)}^2}} \right]\]
\( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - \frac{{20}}{3}a - \frac{{28}}{3}b + 28c + \frac{{352}}{3} = 0\). Suy ra \(M \in \left( S \right)\) tâm \(I\left( {\frac{{10}}{3}\,;\,\,\frac{{14}}{3}\,;\,\, - 14} \right)\).
Mà \(M \in (P)\) nên quỹ tích điểm \(M\) là một đường tròn \(\left( C \right)\) thiết diện tạo bởi mặt cắt giữa mặt phẳng \((P)\) và mặt cầu với tâm đường tròn \(E\) là hình chiếu của \(I\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Khi đó, phương trình đường thẳng \(\left( d \right)\) qua \(I\), vuông góc \(\left( P \right)\).
Mà \(E \in \left( d \right) \cap \left( P \right)\) nên suy ra \(2\left( {\frac{{10}}{3} + 2t} \right) + 2\left( {\frac{{14}}{3} + 2t} \right) - \left( { - 14 - t} \right) - 12 = 0\)
\( \Leftrightarrow t = - 2 \Rightarrow {y_E} = \frac{{14}}{3} + 2 \cdot \left( { - 2} \right) = \frac{2}{3}{\rm{. }}\)
Đáp án: \(\frac{2}{3}.\)
Cho hàm số , với \(m\) là tham số. Gọi \({m_1},\,\,{m_2}\,\,\left( {{m_1} < {m_2}} \right)\) là các giá trị của tham số \(m\) thỏa mãn \(2{\max _{\left[ {0\,;\,\,2} \right]}}f\left( x \right) - {\min _{\left[ {0\,;\,\,2} \right]}}f\left( x \right) = 8.\) Tổng \(2{m_1} + 3{m_2}\) bằng
Giả sử khi một cơn sóng biển đi qua một cái cọc ở ngoài khơi, chiều cao của nước được mô hình hóa bởi hàm số \(h\left( t \right) = 90\cos \left( {\frac{\pi }{{10}}t} \right)\), trong đó \[h\left( t \right)\] là độ cao tính bằng centimét trên mực nước biển trung bình tại thời điểm \(t\) giây. Chiều cao của sóng (tức là khoảng cách theo phương thẳng đứng giữa đáy và đỉnh của sóng) bằng
Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị nguyên của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {x + 2} }}{{\sqrt {{x^2} - 6x + 2m} }}\) có hai đường tiệm cận đứng. Số phần tử của \(S\) là
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm là \(f'\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {x - m} \right)\) với \(m\) là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty \,;\,\, + \infty } \right)\)?
Mỗi học sinh lớp 10B đều chơi bóng đá hoặc bóng chuyền. Biết rằng có 25 bạn chơi bóng đá, 20 bạn chơi bóng chuyền và 10 bạn chơi cả hai môn. Hỏi lớp 10B có bao nhiêu học sinh?
Cho hàm số \(y = \frac{{x + 2}}{{2x + 3}}\) (1). Đường thẳng \(d:y = ax + b\) là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1). Biết \(d\) cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm \[A,\,\,B\] sao cho \(\Delta OAB\) cân tại \[O.\] Khi đó \(a + b\) bằng
Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số \(m\) để hàm số \(y = \left| {{x^5} + 2{x^4} - m{x^2} + 3x - 20} \right|\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty \,;\,\, - 2} \right)\)?
Cho \[x,\,\,y\] là các số thực lớn hơn 1 thỏa mãn \({x^2} - 6{y^2} = xy.\) Tính \(M = \frac{{1 + {{\log }_{12}}x + {{\log }_{12}}y}}{{2{{\log }_{12}}\left( {x + 3y} \right)}}.\)
Gọi \(S\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y = {x^2} + 2x - 1\) và các đường thẳng \(y = m\,,\,\,x = 0\,,\,\,x = 1.\) Để \(S \le 2021\) thì có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { - 4040\,;\,\, - 3} \right]?\)
Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^2} + c\,\,\left( {a,\,\,b,\,\,c \in \mathbb{R}} \right)\) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm thực phân biệt của phương trình \(f'\left( {f\left( x \right)} \right) = 0\) là
Trong không gian \[Oxyz,\] cho hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) cùng thỏa mãn các điều kiện sau: đi qua hai điểm \(A\left( {1\,;\,\,1\,;\,\,1} \right)\) và \(B\left( {0\,;\,\, - 2\,;\,\,2} \right)\), đồng thời cắt các trục tọa độ \[Ox,\,\,Oy\] tại hai điểm cách đều O. Giả sử \(\left( P \right)\) có phương trình \(x + {b_1}y + {c_1}z + {d_1} = 0\) và \((Q)\) có phương trình \(x + {b_2}y + {c_2}z + {d_2} = 0.\) Giá trị của biểu thức \({b_1}{b_2} + {c_1}{c_2}\) bằng
Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + c\) và \(g\left( x \right) = x + \frac{4}{{{x^2}}}.\) Trên đoạn \[\left[ {1\,;\,\,4} \right],\] hai hàm số \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) có cùng giá trị nhỏ nhất và đạt tại cùng một điểm. Biết rằng điểm \(A\left( {1\,;\,\,4} \right)\) thuộc đồ thị của hàm số \(f\left( x \right).\) Giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \[\left[ {1\,;\,\,4} \right]\] là