Một loại kẹo có hình dạng là khối cầu với bán kính đáy bằng \[1{\rm{ }}cm\] được đặt trong vỏ kẹo có hình dạng là hình chóp tứ giác đều (các mặt của vỏ tiếp xúc với kẹo). Biết rằng khối chóp đều tạo thành từ vỏ kẹo đó có thể tích bé nhất. Tổng diện tích tất cả các mặt xung quanh của vỏ kẹo bằng
Giải bởi Vietjack
Giả sử vỏ kẹo có hình dạng là hình chóp tứ giác đều \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình vuông tâm \(O\), cạnh \[a,\] đường cao \(SO = h.\)
Loại kẹo có hình dạng là khối cầu có tâm \[I.\]
Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \[CD\]; \(K\) là hình chiếu của \(I\) trên \(SM\) nên \(K\) là hình chiếu của \(I\) trên \(\left( {SCD} \right).\) Suy ra \(OI = IK = 1.\)Dễ thấy suy ra \(\frac{{SI}}{{SM}} = \frac{{OK}}{{OM}} \Rightarrow \frac{{SO - OI}}{{\sqrt {S{O^2} + O{M^2}} }} = \frac{{IK}}{{OM}}.\)
Suy ra \(\frac{{h - 1}}{{\sqrt {{h^2} + \frac{{{a^2}}}{4}} }} = \frac{1}{{\frac{a}{2}}} \Leftrightarrow ah - a = \sqrt {4{h^2} + {a^2}} \Leftrightarrow {(ah - a)^2} = 4{h^2} + {a^2}\)
\( \Leftrightarrow {a^2}{h^2} - 2{a^2}h + {a^2} = 4{h^2} + {a^2} \Leftrightarrow \left( {{a^2} - 4} \right){h^2} - 2{a^2}h = 0 \Rightarrow h = \frac{{2{a^2}}}{{{a^2} - 4}}.\)
Thể tích khối chóp \[S.ABCD\] là: \(V = \frac{1}{3}SO \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{2{a^2}}}{{{a^2} - 4}} \cdot {a^2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{{{a^4}}}{{{a^2} - 4}}\)
Lại có \(\frac{{{a^4}}}{{{a^2} - 4}} = \frac{{{a^4} - 16 + 16}}{{{a^2} - 4}} = \frac{{\left( {{a^2} - 4} \right)\left( {{a^2} + 4} \right) + 16}}{{{a^2} - 4}} = {a^2} + 4 + \frac{{16}}{{{a^2} - 4}}\)
\( = \left( {{a^2} - 4 + \frac{{16}}{{{a^2} - 4}}} \right) + 8 \ge 2\sqrt {\left( {{a^2} - 4} \right) \cdot \frac{{16}}{{{a^2} - 4}}} + 8 = 2 \cdot \sqrt {16} + 8 = 16.{\rm{ }}\)
Suy ra \(V \ge \frac{2}{3} \cdot 16 = \frac{{32}}{3}.\) Dấu xảy ra khi \(a = 2\sqrt 2 \Rightarrow h = 4 \Rightarrow OM = \sqrt 2 \,,\,\,SM = 3\sqrt 2 .\)
Vậy tổng diện tích tất cả các mặt xung quanh của vỏ kẹo là \(S = 4 \cdot {S_{SCD}} = 24\;\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).\)
Đáp án: 24.
Giả sử khi một cơn sóng biển đi qua một cái cọc ở ngoài khơi, chiều cao của nước được mô hình hóa bởi hàm số \(h\left( t \right) = 90\cos \left( {\frac{\pi }{{10}}t} \right)\), trong đó \[h\left( t \right)\] là độ cao tính bằng centimét trên mực nước biển trung bình tại thời điểm \(t\) giây. Chiều cao của sóng (tức là khoảng cách theo phương thẳng đứng giữa đáy và đỉnh của sóng) bằng
Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị nguyên của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {x + 2} }}{{\sqrt {{x^2} - 6x + 2m} }}\) có hai đường tiệm cận đứng. Số phần tử của \(S\) là
Cho hàm số , với \(m\) là tham số. Gọi \({m_1},\,\,{m_2}\,\,\left( {{m_1} < {m_2}} \right)\) là các giá trị của tham số \(m\) thỏa mãn \(2{\max _{\left[ {0\,;\,\,2} \right]}}f\left( x \right) - {\min _{\left[ {0\,;\,\,2} \right]}}f\left( x \right) = 8.\) Tổng \(2{m_1} + 3{m_2}\) bằng
Hỗn hợp X gồm 2 ester đơn chức (không chứa nhóm chức nào khác). Cho 0,08 mol X tác dụng hết với dung dịch \[AgN{O_3}/N{H_3}\]thu được 0,16 mol Ag. Mặt khác thủy phân hoàn toàn 0,08 mol X bằng dung dịch NaOH dư thu được dung dịch chứa 9,34 gam hỗn hợp 2 muối và 1,6 gam \[C{H_3}OH.\]Phần trăm khối lượng ester có phân tử khối lớn hơn trong X là
Mỗi học sinh lớp 10B đều chơi bóng đá hoặc bóng chuyền. Biết rằng có 25 bạn chơi bóng đá, 20 bạn chơi bóng chuyền và 10 bạn chơi cả hai môn. Hỏi lớp 10B có bao nhiêu học sinh?
Trong không gian \[Oxyz,\] cho hai điểm \(A\left( {2\,;\,\, - 2\,;\,\,1} \right),\,\,B\left( {0\,;\,\,1\,;\,\,2} \right).\) Tọa độ điểm \(M\) thuộc mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) sao cho ba điểm \[A,\,\,B,\,\,M\] thẳng hàng là
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}.\) Gọi \(F\left( x \right)\) và \(G\left( x \right)\) là hai nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(F\left( {10} \right) + G\left( 1 \right) = - 11\) và \(F\left( 0 \right) + G\left( {10} \right) = 1.\) Tích phân \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\cos } \,2x \cdot f\left( {\sin 2x} \right)dx\) bằng
Cho \[x,\,\,y\] là các số thực lớn hơn 1 thỏa mãn \({x^2} - 6{y^2} = xy.\) Tính \(M = \frac{{1 + {{\log }_{12}}x + {{\log }_{12}}y}}{{2{{\log }_{12}}\left( {x + 3y} \right)}}.\)
Cho hàm số \(y = \frac{{x + 2}}{{2x + 3}}\) (1). Đường thẳng \(d:y = ax + b\) là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1). Biết \(d\) cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm \[A,\,\,B\] sao cho \(\Delta OAB\) cân tại \[O.\] Khi đó \(a + b\) bằng
Gọi \(S\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y = {x^2} + 2x - 1\) và các đường thẳng \(y = m\,,\,\,x = 0\,,\,\,x = 1.\) Để \(S \le 2021\) thì có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { - 4040\,;\,\, - 3} \right]?\)
Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số \(m\) để hàm số \(y = \left| {{x^5} + 2{x^4} - m{x^2} + 3x - 20} \right|\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty \,;\,\, - 2} \right)\)?
Trong không gian \[Oxyz,\] cho điểm \(H\left( {1\,;\,\,2\,;\,\, - 2} \right).\) Mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] đi qua \[H\] và cắt các trục \[Ox,\,\,Oy,\,\,Oz\] tại \[A,\,\,B,\,\,C\] sao cho H là trực tâm tam giác \[ABC.\] Phương trình mặt cầu tâm \(O\) và tiếp xúc với mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] là
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm là \(f'\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {x - m} \right)\) với \(m\) là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty \,;\,\, + \infty } \right)\)?
