Cho phương trình \({x^2} - \left( {2m - 1} \right)x + {m^2} - 1 = 0\) (với \(m\) là tham số).
1) Giải phương trình với \(m = 1.\)
2) Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn:
\(\left( {{x_1} - 2{x_2}} \right)\left( {{x_2} - 2{x_1}} \right) = 9.\)
Giải bởi Vietjack
1) Với \(m = 1,\) thay vào phương trình ta được:
\({x^2} - x = 0\) hay \(x\left( {x - 1} \right) = 0\) nên \(x = 0\) hoặc \(x = 1.\)
Vậy với \(m = 1\) thì phương trình có hai nghiệm là \(x = 0;\,\,x = 1.\)
2) Phương trình \({x^2} - \left( {2m - 1} \right)x + {m^2} - 1 = 0\) có:
\(\Delta = {\left[ { - \left( {2m - 1} \right)} \right]^2} - 4\left( {{m^2} - 1} \right) = 4{m^2} - 4m + 1 - 4{m^2} + 4 = - 4m + 5.\)
Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta > 0,\) tức là \( - 4m + 5 > 0\) hay \(m < \frac{5}{4}.\)
Như vậy, với \(m < \frac{5}{4}\) thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}.\)
Theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m - 1\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 1.\end{array} \right.\)
Theo bài, \(\left( {{x_1} - 2{x_2}} \right)\left( {{x_2} - 2{x_1}} \right) = 9\)
\({x_1}{x_2} - 2x_1^2 - 2x_2^2 + 4{x_1}{x_2} = 9\)
\(5{x_1}{x_2} - 2\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) = 9\)
\(9{x_1}{x_2} - 2\left( {x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2} \right) - 9 = 0\)
\(9{x_1}{x_2} - 2{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 9 = 0.\,\,\,\left( * \right)\)
Thay \[{x_1} + {x_2} = 2m - 1\] và \[{x_1}{x_2} = {m^2} - 1\] vào \(\left( * \right)\) ta được:
\(9\left( {{m^2} - 1} \right) - 2{\left( {2m - 1} \right)^2} - 9 = 0\)
\(9{m^2} - 9 - 2\left( {4{m^2} - 4m + 1} \right) - 9 = 0\)
\({m^2} + 8m - 20 = 0\)
\(m = 2\) hoặc \(m = - 10.\)
Ta thấy chỉ có giá trị \(m = - 10\) thỏa mãn \(m < \frac{5}{4}.\)
Vậy \(m = - 10.\)
1) Chứng minh đẳng thức \(\frac{4}{{\sqrt 5 - \sqrt 3 }} - \sqrt {12} = 2\sqrt 5 .\)
2) Rút gọn biểu thức \(F = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \frac{1}{{x - \sqrt x }}} \right):\left( {\frac{1}{{\sqrt x + 1}} + \frac{2}{{x - 1}}} \right)\) với \(x > 0\) và \(x \ne 1.\)
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 5\\2x + y = - 5\end{array} \right.\) có nghiệm \(\left( {x;y} \right)\) là
Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 5} + 3{\left( {y - 1} \right)^2} = 4\\2\sqrt {x - 5} + {y^2} - 2y = 2.\end{array} \right.\)
Tính diện tích của mảnh vườn (phần tô đậm).
2) Cho \(\Delta ABC\) nhọn nội tiếp đường tròn \(\left( O \right),\,\,AB < AC.\) Tiếp tuyến với \(\left( O \right)\) tại \(A\) cắt đường thẳng \(BC\) tại \(M.\) Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC.\)
a) Chứng minh rằng các điểm \(A,\,\,O,\,\,H,\,\,M\) cùng nằm trên một đường tròn và \(M{A^2} = MB \cdot MC.\)
b) Từ điểm \(C\) kẻ đường thẳng song song với \(MO\) cắt đường kính \(AD\) của đường tròn \(\left( O \right)\) tại \[K.\] Chứng minh \(HK\) đi qua trung điểm của đoạn thẳng \(CD.\)
1) Giải phương trình \(2\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = 3\sqrt {{x^3} + 8} .\)
2) Cho các số thực dương \(x,\,\,y\) thỏa mãn \(x + y \le 2.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(P = \frac{3}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{{10}}{{xy}} + 8xy + 3.\)
