Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 5} + 3{\left( {y - 1} \right)^2} = 4\\2\sqrt {x - 5} + {y^2} - 2y = 2.\end{array} \right.\)
Giải bởi Vietjack
Xét hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 5} + 3{\left( {y - 1} \right)^2} = 4\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\2\sqrt {x - 5} + {y^2} - 2y = 2\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Điều kiện xác định: \(x \ge 5.\)
Từ phương trình \(\left( 2 \right)\) ta có \(2\sqrt {x - 5} + {y^2} - 2y + 1 = 3\) hay \(2\sqrt {x - 5} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 3.\,\,\,\left( 3 \right)\)
Do đó ta có hệ phương trình mới là: \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 5} + 3{\left( {y - 1} \right)^2} = 4\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\2\sqrt {x - 5} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 3\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\)
Nhân cả hai vế của phương trình \(\left( 3 \right)\) với \(3,\) ta được hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 5} + 3{\left( {y - 1} \right)^2} = 4\\6\sqrt {x - 5} + 3{\left( {y - 1} \right)^2} = 9.\end{array} \right.\)
Trừ từng vế phương trình thứ hai và phương trình thứ nhất của hệ trên, ta được:
\(5\sqrt {x - 5} = 5,\) suy ra \(\sqrt {x - 5} = 1,\) do đó \(x - 5 = 1\) nên \(x = 6\) (thỏa mãn \(x \ge 5).\)
Thay \(\sqrt {x - 5} = 1\) vào phương trình \(\left( 1 \right),\) ta được: \(1 + 3{\left( {y - 1} \right)^2} = 4,\) nên \({\left( {y - 1} \right)^2} = 1.\)
Do đó \(y - 1 = 1\) hoặc \(y - 1 = - 1\)
Suy ra \(y = 2\) hoặc \(y = 0.\)
1) Chứng minh đẳng thức \(\frac{4}{{\sqrt 5 - \sqrt 3 }} - \sqrt {12} = 2\sqrt 5 .\)
2) Rút gọn biểu thức \(F = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \frac{1}{{x - \sqrt x }}} \right):\left( {\frac{1}{{\sqrt x + 1}} + \frac{2}{{x - 1}}} \right)\) với \(x > 0\) và \(x \ne 1.\)
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 5\\2x + y = - 5\end{array} \right.\) có nghiệm \(\left( {x;y} \right)\) là
Cho phương trình \({x^2} - \left( {2m - 1} \right)x + {m^2} - 1 = 0\) (với \(m\) là tham số).
1) Giải phương trình với \(m = 1.\)
2) Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn:
\(\left( {{x_1} - 2{x_2}} \right)\left( {{x_2} - 2{x_1}} \right) = 9.\)
Tính diện tích của mảnh vườn (phần tô đậm).
2) Cho \(\Delta ABC\) nhọn nội tiếp đường tròn \(\left( O \right),\,\,AB < AC.\) Tiếp tuyến với \(\left( O \right)\) tại \(A\) cắt đường thẳng \(BC\) tại \(M.\) Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC.\)
a) Chứng minh rằng các điểm \(A,\,\,O,\,\,H,\,\,M\) cùng nằm trên một đường tròn và \(M{A^2} = MB \cdot MC.\)
b) Từ điểm \(C\) kẻ đường thẳng song song với \(MO\) cắt đường kính \(AD\) của đường tròn \(\left( O \right)\) tại \[K.\] Chứng minh \(HK\) đi qua trung điểm của đoạn thẳng \(CD.\)
1) Giải phương trình \(2\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = 3\sqrt {{x^3} + 8} .\)
2) Cho các số thực dương \(x,\,\,y\) thỏa mãn \(x + y \le 2.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(P = \frac{3}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{{10}}{{xy}} + 8xy + 3.\)
