1) Một mảnh đất có dạng hình chữ nhật với chu vi bằng \[52{\rm{ m}}.\] Trên mảnh đất đó, người ta làm một vườn rau có dạng hình chữ nhật với diện tích \(112{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}\) và một lối đi xung quanh vườn rau rộng \[1{\rm{ m}}\] (Hình 1). Tính các kích thước của mảnh đất đó.

2) Người ta thả một viên bi hình cầu không thấm nước, có bán kính bằng \[3{\rm{ cm}}\] ngập hoàn toàn trong một ly nước hình trụ có bán kính đáy bằng \[5{\rm{ cm,}}\] ly được đặt thẳng đứng so với mặt nằm ngang và đủ to để nước không tràn ra ngoài (Hình 2). Hỏi sau khi thả viên bi vào thì mục nước trong ly dâng lên bao nhiêu centimet? Biết thể tích của hình cầu có

Bán kính \(R\) là \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3}\), thể tích hình trụ có bán kính đáy \(r\) và chiều cao \(h\) là \(V = \pi {r^2}h.\)

1) Gọi \(x,y\,\,\left( m \right)\) lần lượt là chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đã cho \[\left( {x,y > 0\,;\,\,x > y} \right).\]

Nửa chu vi mảnh đất hình chữ nhật là: \(52:2 = 26\,\,\left( {\rm{m}} \right)\) hay \(x + y = 26. & \left( 1 \right)\)

Diện tích mảnh đất hình chữ nhật là: \(\left( {x - 2} \right)\left( {y - 2} \right) = 112\) hay \(xy - 2\left( {x + y} \right) = 108.\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Thay \[\left( 1 \right)\] vào \[\left( 2 \right)\] ta có \(xy - 2 \cdot 26 = 108\) nên \(xy = 160. & \left( 3 \right)\)

Từ \[\left( 1 \right)\] và \(\left( 3 \right)\) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 26\\xy = 160\end{array} \right.\).

Từ phương trình thứ nhất ta có \(y = 26 - x\). Thế vào phương trình thứ hai, ta được

\(x\left( {26 - x} \right) = 160\) hay \({x^2} - 26x + 160 = 0 & \left( * \right)\)

Giải phương trình \(\left( * \right)\), ta được: \(x = 16\) hoặc \(x = 10\).

– Với \(x = 16\) thì \(y = 26 - 16 = 10\) (thỏa mãn điều kiện \[x > y).\]

– Với \(x = 10\) thì \(y = 26 - 10 = 16\) (không thỏa mãn điều kiện \[x > y).\]

Vậy chiều dài ban đầu của khu vườn là \(10\,\,{\rm{m}}\) và chiều rộng ban đầu của khu vườn là \(16\,\,{\rm{m}}{\rm{.}}\)

2) Thể tích của viên bi là: \({V_{bi}} = \frac{4}{3}\pi  \cdot {3^3} = 36\pi \left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).

Phần thể tích nước tăng lên sau khi thả viên bi là:

\({V_t} = \pi {R^2}h = \pi  \cdot {5^2} \cdot h = 25\pi h\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right).\)

Vì phần thể tích nước tăng bằng thể tích của viên bi nên \(25\pi h = 36\pi \), suy ra \(h = \frac{{36}}{{25}}\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Vậy sau khi thả viên bi vào thì mực nước trong ly dâng lên \(\frac{{36}}{{25}}\,\,{\rm{cm}}.\)