Với mọi số thực \[a,\,\,b,\,\,c \in \;\mathbb{R}\], ta có:
A. \[2{a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 2a\left( {b + c} \right)\].
B. \[2{a^2} + {b^2} + {c^2} \le 2a\left( {b + c} \right)\].
C. \[2{a^2} + {b^2} + {c^2} > 2a\left( {b + c} \right)\].
D. \[2{a^2} + {b^2} + {c^2} < 2a\left( {b + c} \right)\].
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là: A
Xét hiệu \(2{a^2} + {b^2} + {c^2} - 2a\left( {b + c} \right)\) ta có:
\(2{a^2} + {b^2} + {c^2} - 2a\left( {b + c} \right)\)
\( = \left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) + \left( {{a^2} - 2ac + {c^2}} \right)\)
\( = {\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {a - c} \right)^2}\).
Do \({\left( {a - b} \right)^2} \ge \) và \({\left( {a - c} \right)^2} \ge 0\) nên \({\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {a - c} \right)^2} \ge 0\) hay \(2{a^2} + {b^2} + {c^2} - 2a\left( {b + c} \right) \ge 0\).
Từ đó suy ra \[2{a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 2a\left( {b + c} \right)\].
Vậy \[2{a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 2a\left( {b + c} \right)\] với mọi số thực \[a,\,\,b,\,\,c \in \;\mathbb{R}\], dấu xảy ra khi \(a = b = c\).
II. Thông hiểu
So sánh hai số \(a\) và \(b\), nếu \[a + 2024 < b + 2024\].
Một tam giác có độ dài các cạnh là \[1,{\rm{ }}2,{\rm{ }}x\] (\[x\] là số nguyên). Khi đó
Cho bất đẳng thức \[a > b\] và số thực \[c > 0\]. Xác định dấu của hiệu: \[ac--bc\].
Cho \[a - 2 \le b - 1\]. So sánh hai biểu thức \[2a--4\] và \[2b--2\].
III. Vận dụng
So sánh giá trị hai biểu thức \({a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2}\) và \(a\left( {b + c + d + e} \right)\) với \(a,b,c,d,e\) là các só thực bất kỳ.
Cho bất đẳng thức \[a > b\] và cho số thực\[c\]. Xác định dấu của hiệu:\[\left( {a + c} \right)--\left( {b + c} \right)\] .
