Đáp án đúng là: A

Để diễn tả \[x\] nhỏ hơn 5, ta có bất đẳng thức \[x < 5\].

Đáp án đúng là: D

Ta có \(a\) không lớn hơn \(b\) khi \(a\) nhỏ hơn hoặc \(a\) bằng \(b\).

Do đó, để diễn tả \(a\) không lớn hơn \(b\), ta có bất đẳng thức \[a \le b\].

Đáp án đúng là: A

Áp dụng tính chất liên hệ với phép cộng của bất đẳng thức.

Cộng cả 2 vế của bất đẳng thức \[a > b\] với 2 ta được \[a + 2 > b + 2\].

Vậy \[a + 2 > b + 2\].

Đáp án đúng là: A

Vế trái của bất đẳng thức trên là \({x^3} + 3\), vế phải của bất đẳng thức trên là \(x - \frac{1}{2}\).

Đáp án đúng là: C

Khi cộng hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số thì dấu của bất đẳng thức không đổi. Vì vậy nếu \(a \le b\) thì \(a + c \le b + c\).

Đáp án đúng là: A

Ta có:

\[a + 2024 < b + 2024\]

Suy ra:

\[a + 2024--2024 < b + 2024--2024\] (trừ hai vế của bất đẳng thức cho 2014)

\[a < b\].

Vậy \[a < b\].

Đáp án đúng là: B

Áp dụng định lý giữa các cạnh trong tam giác, ta có:

\[2--1 < x < 2 + 1\]

\[1 < x < 3\]

Vậy \[x = 2\].

Đáp án đúng là: A

Do \[a > b\] nên \[a--b > 0\].

Ta xét hiệu:\[\left( {a + c} \right)--\left( {b + c} \right) = a + c--b--c = a--b > 0\].

Vậy \[\left( {a + c} \right)--\left( {b + c} \right) > 0\].

Đáp án đúng là: B

Do \[a > b\] nên \[a--b > 0\].

Xét hiệu \[ac--bc = c\left( {a--b} \right)\].

Vì \[c > 0\] và \[a--b > 0\] nên \[c\left( {a--b} \right) > 0\], suy ra \[ac--bc > 0\].

Vậy \[ac--bc > 0\].

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(m - \frac{1}{2} = n\)

\(m - n = \frac{1}{2}\)

\(m - n > 0\)

\(m > n\)

Vậy \(m > n\).

Đáp án đúng là: B

Ta có \[3 < 4\]. Cộng hai vế của bất đẳng thức với \[{23^{2024}}\], ta được:

\[3 + {23^{2024}} < 4 + {23^{2024}}\]

Vậy \[3 + {23^{2024}} < 4 + {23^{2024}}\].

Đáp án đúng là: C

Ta có \[a - 2 \le b--1\]

\[2(a--2) \le 2(b--1)\]

\[2a--4 \le 2b--2\]

Vậy \[2a--4 \le 2b--2\].

Đáp án đúng là: C

Xét hiệu \(4\left[ {{a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} - a\left( {b + c + d + e} \right)} \right]\) ta có:

\(4\left[ {{a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} - a\left( {b + c + d + e} \right)} \right]\)

\( = 4{a^2} + 4{b^2} + 4{c^2} + 4{d^2} - 4ab - 4ac - 4ad - 4ae\)

\( = \left( {{a^2} - 4ab + 4{b^2}} \right) + \left( {{a^2} - 4ac + 4{c^2}} \right) + \left( {{a^2} - 4ad + 4{d^2}} \right) + \left( {{a^2} - 4ae + 4{e^2}} \right)\)

\( = {\left( {a - 2b} \right)^2} + {\left( {a - 2c} \right)^2} + {\left( {a - 2d} \right)^2} + {\left( {a - 2e} \right)^2}\)

Do \({\left( {a - 2b} \right)^2} \ge 0\), \({\left( {a - 2c} \right)^2} \ge 0\), \({\left( {a - 2d} \right)^2} \ge 0\), \({\left( {a - 2e} \right)^2} \ge 0\)

Nên \({\left( {a - 2b} \right)^2} + {\left( {a - 2c} \right)^2} + {\left( {a - 2d} \right)^2} + {\left( {a - 2e} \right)^2} \ge 0\)

Hay \(4\left[ {{a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} - a\left( {b + c + d + e} \right)} \right] \ge 0\).

Từ đó suy ra \({a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} - a\left( {b + c + d + e} \right) \ge 0\) (chia cả hai vế bất đẳng thức cho 4)

Hay \({a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} \ge a\left( {b + c + d + e} \right)\).

Vậy \({a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} \ge a\left( {b + c + d + e} \right)\), dấu xảy ra khi \(a = 2b = 2c = 2d = 2e\).

Đáp án đúng là: C

Xét hiệu \[{a^2} + {\rm{ }}{b^2}--ab\], ta có:

\[{a^2} + {\rm{ }}{b^2}--ab = {a^2} - 2a.\frac{b}{2} + \frac{{{b^2}}}{4} + \frac{{3{a^2}}}{4} = {\left( {a - \frac{b}{2}} \right)^2} + \frac{{3{b^2}}}{4}\]

Do \[{\left( {a - \frac{b}{2}} \right)^2} \ge 0\] và \[\frac{{3{b^2}}}{4} \ge 0\] nên \[{\left( {a - \frac{b}{2}} \right)^2} + \frac{{3{b^2}}}{4} \ge 0\] hay \[{a^2} + {b^2}--ab \ge 0\].

Vậy \[{a^2} + {b^2} \ge ab\]. Dấu xảy ra khi \[a = b = 0\].

Đáp án đúng là: A

Xét hiệu \(2{a^2} + {b^2} + {c^2} - 2a\left( {b + c} \right)\) ta có:

\(2{a^2} + {b^2} + {c^2} - 2a\left( {b + c} \right)\)

\( = \left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) + \left( {{a^2} - 2ac + {c^2}} \right)\)

\( = {\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {a - c} \right)^2}\).

Do \({\left( {a - b} \right)^2} \ge \) và \({\left( {a - c} \right)^2} \ge 0\) nên \({\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {a - c} \right)^2} \ge 0\) hay \(2{a^2} + {b^2} + {c^2} - 2a\left( {b + c} \right) \ge 0\).

Từ đó suy ra \[2{a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 2a\left( {b + c} \right)\].

Vậy \[2{a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 2a\left( {b + c} \right)\] với mọi số thực \[a,\,\,b,\,\,c \in \;\mathbb{R}\], dấu xảy ra khi \(a = b = c\).