III. Vận dụng

Tích các nghiệm của phương trình \(\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x + 5} \right)\left( {x + 6} \right) = 504\) là

Đáp án đúng là: C

Ta có \(\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x + 5} \right)\left( {x + 6} \right) = 504\)

\(\left[ {\left( {x + 2} \right)\left( {x + 6} \right)} \right]\left[ {\left( {x + 5} \right)\left( {x + 6} \right)} \right] = 504\)

\(\left( {{x^2} + 8x + 12} \right)\left( {{x^2} + 8x + 15} \right) = 504\,\,\,\left( * \right)\)

Đặt \(t = {x^2} + 8x\), phương trình \(\left( * \right)\) trở thành \(\left( {t + 12} \right)\left( {t + 15} \right) = 420\)

\({t^2} + 27t + 180 = 504\)

\({t^2} + 27t - 324 = 0\)

\(\left( {t - 9} \right)\left( {t + 36} \right) = 0\)

\(t = 9\) hoặc \(t = - 32.\)

Ta xét hai trường hợp sau:

Với \(t = 9\) ta có: \({x^2} + 8x = 9\) \({x^2} + 8x - 9 = 0\) \(\left( {x - 1} \right)\left( {x + 9} \right) = 0\) \(x = 1\) hoặc \(x = - 9.\)

Với \(t = - 32\) ta có: \({x^2} + 8x = - 32\) \({x^2} + 8x + 32 = 0\) \(\left( {{x^2} + 8x + 16} \right) + 16 = 0\) \({\left( {x + 4} \right)^2} + 16 = 0\,\,\,\left( {***} \right)\)

Vì \({\left( {x + 4} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R},\) nên phương trình \(\left( {***} \right)\) vô nghiệm.

Vậy tích các nghiệm của phương trình đã cho là: \(1.\left( { - 9} \right) = - 9.\)