Cho hàm số y=fx thỏa mãn f0=23 và x+x+1f'x=1,∀x≥−1. Biết rằng ∫01fxdx=a2+b15 với a,b∈ℤ. Tính T=a+b.

Phương pháp giải: - Rút f'x từ giả thiết đề bài cho. - Tìm fx=∫f'xdx, sử dụng công thức tính nguyên hàm: ∫xdx=23xx+C. - Từ giả thiết f0=23 tìm hằng số C và suy ra hàm số fx. - Tính ∫01fxdx với hàm fx vừa tìm được, đưa kết quả về dạng a2+b15. Đồng nhất hệ số tìm a,b và tính tổng T=a+b. Giải chi tiết: Ta có: x+x+1f'x=1∀x≥−1 ⇔f'x=1x+x+1∀x≥−1 ⇔f'x=x+1−x∀x≥−1 ⇒fx=∫x+1−xdx=23x+1x+1−xx+C Mà f0=23 ⇒231−0+C=23⇒C=0 ⇒fx=23x+1x+1−xx Khi đó ta có: ∫01fxdx=23∫01x+1x+1−xxdx =23.25x+12x+1−x2x01 =41542−1−1−0 =162−815 ⇒a=16b=−8 Vậy T=a+b=16+−8=8.

Câu hỏi:

20/07/2024 77

Cho hàm số $y = f (x)$ thỏa mãn $f (0) = \frac{2}{3}$ và $(\sqrt{x} + \sqrt{x + 1}) f^{'} (x) = 1, \forall x \geq - 1$ . Biết rằng $\int_{0}^{1} f (x) d x = \frac{a \sqrt{2} + b}{15}$ với $a, b \in ℤ$ . Tính $T = a + b$ .

A. -8

B. -24

C. 24

D. 8

Đáp án chính xác

Xem lời giải

Bắt Đầu Thi Thử

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Phương pháp giải: - Rút $f^{'} (x)$ từ giả thiết đề bài cho.

- Tìm $f (x) = \int f^{'} (x) d x$ , sử dụng công thức tính nguyên hàm: $\int \sqrt{x} d x = \frac{2}{3} x \sqrt{x} + C$ .

- Từ giả thiết $f (0) = \frac{2}{3}$ tìm hằng số $C$ và suy ra hàm số $f (x)$ .

- Tính $\int_{0}^{1} f (x) d x$ với hàm $f (x)$ vừa tìm được, đưa kết quả về dạng $\frac{a \sqrt{2} + b}{15}$ . Đồng nhất hệ số tìm $a, b$ và tính tổng $T = a + b$ .

Giải chi tiết: Ta có:

$(\sqrt{x} + \sqrt{x + 1}) f^{'} (x) = 1 \forall x \geq - 1$

$\Leftrightarrow f^{'} (x) = \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x + 1}} \forall x \geq - 1$

$\Leftrightarrow f^{'} (x) = \sqrt{x + 1} - \sqrt{x} \forall x \geq - 1$

$\Rightarrow f (x) = \int (\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}) d x = \frac{2}{3} ((x + 1) \sqrt{x + 1} - x \sqrt{x}) + C$

Mà $f (0) = \frac{2}{3}$ $\Rightarrow \frac{2}{3} (1 - 0) + C = \frac{2}{3} \Rightarrow C = 0$

$\Rightarrow f (x) = \frac{2}{3} ((x + 1) \sqrt{x + 1} - x \sqrt{x})$

Khi đó ta có: $\int_{0}^{1} f (x) d x = \frac{2}{3} \int_{0}^{1} ((x + 1) \sqrt{x + 1} - x \sqrt{x}) d x$

$= \frac{2}{3} . \frac{2}{5} {({(x + 1)}^{2} \sqrt{x + 1} - x^{2} \sqrt{x})|}_{0}^{1}$

$= \frac{4}{15} [(4 \sqrt{2} - 1) - (1 - 0)]$

$= \frac{16 \sqrt{2} - 8}{15}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} a = 16 \\ b = - 8 \end{cases}$

Vậy $T = a + b = 16 + (- 8) = 8$ .

Câu trả lời này có hữu ích không?

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Trong không gian $Ox y z$ , cho hai điểm $A (2; - 3; - 1), B (4; 5; 1)$ . Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB là:

Xem đáp án » 23/06/2022 303

Câu 2:

Chính sách đối ngoại của Mĩ sau Chiến tranh thế giới thứ hai biểu hiện trong chiến lược nào sau đây?

Xem đáp án » 23/06/2022 189

Câu 3:

Có bao nhiêu giá trị m nguyên bé hơn −6 để phương trình $\sqrt{2 x^{2} - 2 x - m} = x + 2$ có nghiệm?

Xem đáp án » 23/06/2022 169

Câu 4:

Có 10 học sinh, gồm 5 bạn lớp 12A và 5 bạn lớp 12B tham gia một trò chơi. Để thực hiện trò chơi, người điều khiển ghép ngẫu nhiên 10 học sinh đó thành 5 cặp. Xác suất để không có cặp nào gồm hai học sinh cùng lớp bằng:

Xem đáp án » 23/06/2022 162

Câu 5:

Sự kiện nào đã đánh dấu Nguyễn Ái Quốc bước đầu tìm ra con đường cứu nước đúng đắn cho dân tộc Việt Nam?

Xem đáp án » 23/06/2022 147

Câu 6:

Ông A dự định sử dụng hết 5m² kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Xem đáp án » 23/06/2022 145

Câu 7:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm A, B như hình vẽ bên.

Trung điểm của đoạn thẳng AB biểu diễn số phức

Xem đáp án » 23/06/2022 139

Câu 8:

Chủ tịch Hồ Chí Minh không chỉ là tấm gương của một vĩ nhân, một lãnh tụ cách mạng vĩ đại, ở Người còn toát lên hình ảnh một con người rất đỗi giản dị, khiêm tốn, thân thiết với nhân dân.

Xem đáp án » 23/06/2022 137

Câu 9:

Cho hàm số $f (x) = \frac{1}{2 x - 1}$ . Tính $f^{''} (1)$

Xem đáp án » 23/06/2022 134

Câu 10:

Nghiệm của phương trình $\log_{3} (2 x - 3) = 2$ là:

Xem đáp án » 23/06/2022 132

Câu 11:

Trong không gian $Ox y z$ , tọa độ điểm đối xứng với điểm $Q (2; 7; 5)$ qua mặt phẳng $(O x z)$ là

Xem đáp án » 23/06/2022 127

Câu 12:

Nội dung căn bản nhất trong quan hệ quốc tế từ sau Chiến tranh thế giới thứ hai đến những năm 80 của thế kỷ XX là

Xem đáp án » 23/06/2022 127

Câu 13:

Đọc đoạn trích sau đây và trả lời các câu hỏi:

“Thôn Đoài ngồi nhớ thôn Đông

Một người chín nhớ mười mong một người

Gió mưa là bệnh của trời

Tương tư là bệnh của tôi yêu nàng”

(Tương tư – Nguyễn Bính, Ngữ văn 11, Tập hai, NXB Giáo dục)
Cụm từ “một người” trong đoạn trích trên là dùng để chỉ ai?

Xem đáp án » 23/06/2022 124

Câu 14:

Nhiệt phân hoàn toàn 22,2 gam muối nitrat của kim loại có hóa trị không đổi thu được oxit kim loại và hỗn hợp khí X. Hòa tan hỗn hợp khí X trong 3 lít nước thu được dung dịch axit có . Công thức hóa học của muối là

Xem đáp án » 13/10/2022 123

Câu 15:

Người đọc khi đến với các tác phẩm văn học có nhiều trạng thái vui buồn khác nhau, có trình độ văn hóa khác nhau, có thái độ, __________ hoặc vô tư, phóng khoáng khác nhau.

Xem đáp án » 23/06/2022 118

Xem thêm các câu hỏi khác »

Đề thi liên quan

Xem thêm »

Top 10 đề thi Đánh giá năng lực trường ĐHQG Hà Nội năm 2022 có đáp án

11 đề 9664 lượt thi Thi thử
Top 5 đề thi Đánh giá năng lực trường ĐHQG Hà Nội có đáp án

6 đề 4777 lượt thi Thi thử
Tìm và phát hiện lỗi sai

2 đề 2116 lượt thi Thi thử
Câu hỏi kết hợp

2 đề 1850 lượt thi Thi thử
Đại cương về dao động điều hòa

2 đề 1715 lượt thi Thi thử
Hàm số bậc hai

2 đề 1646 lượt thi Thi thử
Vị trí địa lí, phạm vi lãnh thổ

2 đề 1610 lượt thi Thi thử
Bài toán lãi kép

2 đề 1604 lượt thi Thi thử
Thiết lập công thức phân tử hợp chất hữu cơ

3 đề 1416 lượt thi Thi thử
Quang hợp ở thực vật

2 đề 1405 lượt thi Thi thử

Xem thêm »

Hỏi bài

Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »