Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(−1;2);B(3;4) và đường thẳng \[{\rm{\Delta }}:\,\,x - 2y - 2 = 0\]. Tìm điểm \[M \in \Delta \] sao cho \[2A{M^2} + M{B^2}\] có giá trị nhỏ nhất.
A.\[M\left( {\frac{{26}}{{15}}; - \frac{2}{{15}}} \right)\]
B. \[M\left( {\frac{{26}}{{15}};\frac{2}{{15}}} \right)\]
C. \[M\left( {\frac{{29}}{{15}};\frac{{28}}{{15}}} \right)\]
D. \[M\left( {\frac{{29}}{{15}}; - \frac{{28}}{{15}}} \right)\]
Giải bởi Vietjack
Gọi điểm I(a;b) thỏa mãn
\[2\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \vec 0 \Leftrightarrow 2\left( { - 1 - a;\;2 - b} \right) + \left( {3 - a;\;4 - b} \right) = \vec 0\]
\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2( - 1 - a) + 3 - a = 0}\\{2(2 - b) + 4 - b = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3a + 1 = 0}\\{ - 3b + 8 = 0}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{1}{3}}\\{b = \frac{8}{3}}\end{array}} \right. \Rightarrow I\left( {\frac{1}{3},\frac{8}{3}} \right)\)
Ta có: \[2A{M^2} + M{B^2} = 2{\left( {\overrightarrow {IM} - \overrightarrow {IA} } \right)^2}\]
\[\begin{array}{*{20}{l}}{ = 2\left( {I{M^2} - 2\overrightarrow {IM} .\overrightarrow {IA} + I{A^2}} \right) + I{B^2} - 2\overrightarrow {IB} .\overrightarrow {IM} + I{M^2}}\\{ = 3I{M^2} + 2I{A^2} + I{B^2} - 2\overrightarrow {IM} \left( {2\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} } \right)}\\{ = 3I{M^2} + 2I{A^2} + I{B^2}}\end{array}\]
\[2I{A^2} + I{B^2}\]không thay đổi nên \[2A{M^2} + M{B^2}\]nhỏ nhất khi IM nhỏ nhất
⇔ là hình chiếu vuông góc của I lên \[\Delta \]
\[\Delta \] có VTPT là\[\vec n = \left( {1; - 2} \right)\]
Gọi d là đường thẳng đi qua I vuông góc với \[{\rm{\Delta }}\]
⇒ d nhận\[\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;\;1} \right)\] àm VTPT
⇒Phương trình tổng quát của d là:
\[2\left( {x - \frac{1}{3}} \right) + \left( {y - \frac{8}{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - \frac{{10}}{3} = 0\]
M là giao điểm của d và \[\Delta \Rightarrow \] tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + y - \frac{{10}}{3} = 0}\\{x - 2y - 2 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{26}}{{15}}}\\{y = - \frac{2}{{15}}}\end{array}} \right. \Rightarrow M\left( {\frac{{26}}{{15}}, - \frac{2}{{15}}} \right)\)
Vậy \[M\left( {\frac{{26}}{{15}}; - \frac{2}{{15}}} \right)\] thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Đáp án cần chọn là: A
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1;2), B(0;3) và C(4;0). Chiều cao của tam giác kẻ từ đỉnh A bằng:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng đi qua hai điểm A(1;2), B(4;6), tìm tọa độ điểm M trên trục Oy sao cho diện tích \[\Delta MAB\] bằng 1.
Trên mặt phẳng tọa độOxy, cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là A(2;3),B(5;0) và C(−1;0). Tìm tọa độ điểm M thuộc cạnh BC sao cho diện tích tam giác MAB bằng hai lần diện tích tam giác MAC
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác trong góc A là d1:x+y+2=0, phương trình đường cao vẽ từ B là d2:2x−y+1=0, cạnh AB đi qua M(1;−1). Tìm phương trình cạnh AC.
Cho \[d:x + 3y - 6 = 0;d':3x + y + 2 = 0.\]. Lập phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi d và d′
Lập phương trình đường phân giác trong của góc A của ΔABC biết A(2;0);B(4;1);C(1;2)
Cho đường thẳng \[\left( {\rm{\Delta }} \right):3x - 2y + 1 = 0\]. Viết PTĐT (d) đi qua điểm M(1;2) và tạo với \[\left( \Delta \right)\;\;\]một góc \({45^0}\)
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật có hai cạnh nằm trên đường thẳng có phương trình lần lượt là \[2x - y + 3 = 02x - y + 3 = 0;\;\] và tọa độ một đỉnh là (2;3). Diện tích hình chữ nhật đó là:
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng \[(d):3x - 4y - 12 = 0\]Phương trình đường thẳng \[\left( \Delta \right)\;\]đi qua M(2;−1) và tạo với (d) một góc \[{45^o}\] có dạng \[ax + by + 5 = 0\], trong đó a,b cùng dấu. Khẳng định nào sau đây đúng?
Cho đường thẳng \[{d_1}:x + 2y - 7 = 0\] và \[{d_2}:2x - 4y + 9 = 0\]. Tính cosin của góc tạo bởi giữa hai đường thẳng đã cho.
Khoảng cách từ giao điểm của hai đường thẳng \[x - 3y + 4 = 0\] và \[2x + 3y - 1 = 0\;\]đến đường thẳng \[\Delta :3x + y + 4 = 0\;\] bằng:
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để khoảng cách từ điểm A(−1;2) đến đường thẳng \[\Delta :mx + y - m + 4 = 0\;\] bằng \[2\sqrt 5 \].
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(x0;y0) và đường thẳng \[\Delta :ax + by + c = 0\]. Khoảng cách từ điểm M đến \[\Delta \] được tính bằng công thức:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho \[\Delta ABC\] cân có đáy là BC.BC. Đỉnh A có tọa độ là các số dương, hai điểm B và C nằm trên trục Ox, phương trình cạnh AB: \[y = 3\sqrt 7 (x - 1)\] Biết chu vi của \[\Delta ABC\] bằng 18, tìm tọa độ các đỉnh A,B,C.
Tính góc tạo bởi giữa hai đường thẳng \[{d_1}:6x - 5y + 15 = 0\] và \({d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 10 - 6t}\\{y = 1 + 5t}\end{array}} \right.\).
