Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(−1;2);B(3;4) và đường thẳng \[{\rm{\Delta }}:\,\,x - 2y - 2 = 0\]. Tìm điểm \[M \in \Delta \] sao cho \[2A{M^2} + M{B^2}\] có giá trị nhỏ nhất.
A.\[M\left( {\frac{{26}}{{15}}; - \frac{2}{{15}}} \right)\]
B. \[M\left( {\frac{{26}}{{15}};\frac{2}{{15}}} \right)\]
C. \[M\left( {\frac{{29}}{{15}};\frac{{28}}{{15}}} \right)\]
D. \[M\left( {\frac{{29}}{{15}}; - \frac{{28}}{{15}}} \right)\]
Giải bởi Vietjack
Gọi điểm I(a;b) thỏa mãn
\[2\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \vec 0 \Leftrightarrow 2\left( { - 1 - a;\;2 - b} \right) + \left( {3 - a;\;4 - b} \right) = \vec 0\]
\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2( - 1 - a) + 3 - a = 0}\\{2(2 - b) + 4 - b = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3a + 1 = 0}\\{ - 3b + 8 = 0}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{1}{3}}\\{b = \frac{8}{3}}\end{array}} \right. \Rightarrow I\left( {\frac{1}{3},\frac{8}{3}} \right)\)
Ta có: \[2A{M^2} + M{B^2} = 2{\left( {\overrightarrow {IM} - \overrightarrow {IA} } \right)^2}\]
\[\begin{array}{*{20}{l}}{ = 2\left( {I{M^2} - 2\overrightarrow {IM} .\overrightarrow {IA} + I{A^2}} \right) + I{B^2} - 2\overrightarrow {IB} .\overrightarrow {IM} + I{M^2}}\\{ = 3I{M^2} + 2I{A^2} + I{B^2} - 2\overrightarrow {IM} \left( {2\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} } \right)}\\{ = 3I{M^2} + 2I{A^2} + I{B^2}}\end{array}\]
\[2I{A^2} + I{B^2}\]không thay đổi nên \[2A{M^2} + M{B^2}\]nhỏ nhất khi IM nhỏ nhất
⇔ là hình chiếu vuông góc của I lên \[\Delta \]
\[\Delta \] có VTPT là\[\vec n = \left( {1; - 2} \right)\]
Gọi d là đường thẳng đi qua I vuông góc với \[{\rm{\Delta }}\]
⇒ d nhận\[\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;\;1} \right)\] àm VTPT
⇒Phương trình tổng quát của d là:
\[2\left( {x - \frac{1}{3}} \right) + \left( {y - \frac{8}{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - \frac{{10}}{3} = 0\]
M là giao điểm của d và \[\Delta \Rightarrow \] tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + y - \frac{{10}}{3} = 0}\\{x - 2y - 2 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{26}}{{15}}}\\{y = - \frac{2}{{15}}}\end{array}} \right. \Rightarrow M\left( {\frac{{26}}{{15}}, - \frac{2}{{15}}} \right)\)
Vậy \[M\left( {\frac{{26}}{{15}}; - \frac{2}{{15}}} \right)\] thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Đáp án cần chọn là: A
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1;2), B(0;3) và C(4;0). Chiều cao của tam giác kẻ từ đỉnh A bằng:
Cho \[d:x + 3y - 6 = 0;d':3x + y + 2 = 0.\]. Lập phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi d và d′
Lập phương trình đường phân giác trong của góc A của ΔABC biết A(2;0);B(4;1);C(1;2)
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác trong góc A là d1:x+y+2=0, phương trình đường cao vẽ từ B là d2:2x−y+1=0, cạnh AB đi qua M(1;−1). Tìm phương trình cạnh AC.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng đi qua hai điểm A(1;2), B(4;6), tìm tọa độ điểm M trên trục Oy sao cho diện tích \[\Delta MAB\] bằng 1.
Trên mặt phẳng tọa độOxy, cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là A(2;3),B(5;0) và C(−1;0). Tìm tọa độ điểm M thuộc cạnh BC sao cho diện tích tam giác MAB bằng hai lần diện tích tam giác MAC
Khoảng cách từ giao điểm của hai đường thẳng \[x - 3y + 4 = 0\] và \[2x + 3y - 1 = 0\;\]đến đường thẳng \[\Delta :3x + y + 4 = 0\;\] bằng:
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng \[(d):3x - 4y - 12 = 0\]Phương trình đường thẳng \[\left( \Delta \right)\;\]đi qua M(2;−1) và tạo với (d) một góc \[{45^o}\] có dạng \[ax + by + 5 = 0\], trong đó a,b cùng dấu. Khẳng định nào sau đây đúng?
Cho đường thẳng \[{d_1}:x + 2y - 7 = 0\] và \[{d_2}:2x - 4y + 9 = 0\]. Tính cosin của góc tạo bởi giữa hai đường thẳng đã cho.
Cho đường thẳng \[\left( {\rm{\Delta }} \right):3x - 2y + 1 = 0\]. Viết PTĐT (d) đi qua điểm M(1;2) và tạo với \[\left( \Delta \right)\;\;\]một góc \({45^0}\)
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để khoảng cách từ điểm A(−1;2) đến đường thẳng \[\Delta :mx + y - m + 4 = 0\;\] bằng \[2\sqrt 5 \].
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho \[\Delta ABC\] cân có đáy là BC.BC. Đỉnh A có tọa độ là các số dương, hai điểm B và C nằm trên trục Ox, phương trình cạnh AB: \[y = 3\sqrt 7 (x - 1)\] Biết chu vi của \[\Delta ABC\] bằng 18, tìm tọa độ các đỉnh A,B,C.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(x0;y0) và đường thẳng \[\Delta :ax + by + c = 0\]. Khoảng cách từ điểm M đến \[\Delta \] được tính bằng công thức:
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật có hai cạnh nằm trên đường thẳng có phương trình lần lượt là \[2x - y + 3 = 02x - y + 3 = 0;\;\] và tọa độ một đỉnh là (2;3). Diện tích hình chữ nhật đó là:
Cho hai đường thẳng \[{d_1}:3x + 4y + 12 = 0\] và \[{d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + at}\\{y = 1 - 2t}\end{array}} \right.\]. Tìm các giá trị của tham số a để d1 và d2 hợp với nhau một góc bằng 450.
