Cho hàm số \[f\left( x \right) = \frac{1}{{3 + {2^x}}} + \frac{1}{{3 + {2^{ - x}}}}\]. Trong các khẳng định, có bao nhiêu khẳng định đúng?
1) \[f\prime (x) \ne 0,\forall x \in R\]
2) \[f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + ... + f\left( {2017} \right) = 2017\]
3) \[f({x^2}) = \frac{1}{{3 + {4^x}}} + \frac{1}{{3 + {4^{ - x}}}}\]
A.0
B.1
C.2
D.3
Giải bởi Vietjack
Ta có:
\[f'\left( x \right) = \frac{{ - {2^x}\ln 2}}{{{{\left( {3 + {2^x}} \right)}^2}}} + \frac{{{2^{ - x}}\ln 2}}{{{{\left( {3 + {2^{ - x}}} \right)}^2}}} \Rightarrow f'\left( 0 \right) = 0\] nên khẳng định (1) sai.
\[f\left( x \right) = \frac{{{2^x} + {2^{ - x}} + 6}}{{\left( {3 + {2^x}} \right)\left( {3 + {2^{ - x}}} \right)}} = \frac{{{2^x} + {2^{ - x}} + 6}}{{3\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right) + 10}}\]
Đặt \[t = {2^x} + {2^{ - x}} \ge 2\sqrt {{2^x}{{.2}^{ - x}}} = 2\] thì\[\frac{{{2^x} + {2^{ - x}} + 6}}{{3\left( {{3^x} + {2^{ - x}}} \right) + 10}} = \frac{{t + 6}}{{3t + 10}}\]
Xét\[g\left( t \right) = \frac{{t + 6}}{{3t + 10}},g'\left( t \right) = - \frac{8}{{{{\left( {3t + 10} \right)}^2}}} < 0\] nên hàm số nghịch biến trên\[\left[ {2; + \infty } \right)\]
\[ \Rightarrow g\left( t \right) \le g\left( 2 \right) = \frac{{2 + 6}}{{3.2 + 10}} = \frac{1}{2} < 1\] hay\[f\left( x \right) < 1,\forall x\]
Suy ra\[f\left( 1 \right) < 1,f\left( 2 \right) < 1,...,f\left( {2017} \right) < 1\]
\[ \Rightarrow f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + ... + f\left( {2017} \right) < 2017\] nên (2) sai.
\[f\left( {{x^2}} \right) = \frac{1}{{3 + {2^{{x^2}}}}} + \frac{1}{{3 + {2^{ - {x^2}}}}} \ne \frac{1}{{3 + {4^x}}} + \frac{1}{{3 + {4^{ - x}}}}\] (chẳng hạn x=1) nên (3) sai.
Do đó không có khẳng định nào đúng.
Đáp án cần chọn là: A
Hàm số nào sau đây nghịch biến trên \[\left( { - \infty ; + \infty } \right)\]?
Cho các đồ thị hàm số \[y = {a^x},y = {b^x},y = {c^x}(0 < a,b,c \ne 1)\] chọn khẳng định đúng:
Cho hai hàm số \[y = {a^x},y = {b^x}\] với \[1 \ne a,b > 0\;\]lần lượt có đồ thị là (C1),(C2) như hình bên. Mệnh đề nào đúng?
Cho hàm số \[f(x) = {(3 - \sqrt 2 )^{{x^3}}} - {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{ - {x^2}}}\]. Xét các khẳng định sau:
Khẳng định 1: \[f(x) > 0 \Leftrightarrow {x^3} + {x^2} > 0\]
Khẳng định 2: \[f(x) > 0 \Leftrightarrow x > - 1\]
Khẳng định 3: \[f(x) < 3 - \sqrt 2 \Leftrightarrow {(3 - \sqrt 2 )^{{x^3} - 1}} < 1 + {\left( {\frac{{3 + \sqrt 2 }}{7}} \right)^{{x^2} + 1}}\]
Khẳng định 4:\[f(x) < 3 + \sqrt 2 \Leftrightarrow {(3 - \sqrt 2 )^{{x^3} + 1}} < {(3 - \sqrt 2 )^{1 - {x^2}}} + 7\]
Trong các khẳng định trên, có bao nhiêu khẳng định đúng?
Cho a là số thực dương khác 1. Xét hai số thực x1, x2. Phát biểu nào sau đây là đúng?
Cho các số thực dương a,b khác 1. Biết rằng đường thẳng y=2 cắt đồ thị các hàm số \[y = {a^x};y = {b^x}\;\] và trục tung lần lượt tại A,B,C sao cho C nằm giữa A và B, và AC=2BC. Khẳng định nào dưới đây đúng?
Tính đạo hàm của hàm số \[y = f\left( x \right) = {x^\pi }.{\pi ^x}\] tại điểm x=1.
