Tập nghiệm của bất phương trình\[{\log _2}\left( {x\sqrt {{x^2} + 2} + 4 - {x^2}} \right) + 2x + \sqrt {{x^2} + 2} \le 1\] là \(\left( { - \sqrt a ; - \sqrt b } \right)\).Khi đó abab bằng
A.\[\frac{{12}}{5}\]
B. \[\frac{5}{{12}}\]
C. \[\frac{{15}}{{16}}\]
D. \[\frac{{16}}{{15}}\]
Giải bởi Vietjack
Điều kiện :
\[x\sqrt {{x^2} + 2} + 4 - {x^2} > 0 \Leftrightarrow x\left( {\sqrt {{x^2} + 2} - x} \right) + 4 > 0 \Leftrightarrow x.\frac{2}{{\sqrt {{x^2} + 2} + x}} + 4 > 0\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{2x}}{{\sqrt {{x^2} + 2} + x}} + \frac{{4\left( {\sqrt {{x^2} + 2} + x} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 2} + x}} > 0 \Rightarrow 6x + 4\sqrt {{x^2} + 2} > 0\] (vì \[\sqrt {{x^2} + 2} > x;\,\forall x\])
\[ \Leftrightarrow 2\sqrt {{x^2} + 2} > - 3x \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3x < 0}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3x \ge 0}\\{4({x^2} + 2) > {{( - 3x)}^2}}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\]</>
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \le 0}\\{5{x^2} < 8}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0}\\{ - \frac{{\sqrt {40} }}{5} < x \le 0}\end{array}} \right.\)
Khi đó ta có\[{\log _2}\left( {x\sqrt {{x^2} + 2} + 4 - {x^2}} \right) + 2x + \sqrt {{x^2} + 2} \le 1\]
\[\begin{array}{*{20}{l}}{ \Leftrightarrow {{\log }_2}\left( {x\left( {\sqrt {{x^2} + 2} - x} \right) + 4} \right) + 2x + \sqrt {{x^2} + 2} \le 1}\\{ \Leftrightarrow {{\log }_2}\left( {\frac{{2x}}{{\sqrt {{x^2} + 2} + x}} + 4} \right) + 2x + \sqrt {{x^2} + 2} \le 1}\\{ \Leftrightarrow {{\log }_2}\left( {\frac{{6x + 4\sqrt {{x^2} + 2} }}{{\sqrt {{x^2} + 2} + x}}} \right) + 2x + \sqrt {{x^2} + 2} \le 1}\end{array}\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow lo{g_2}(6x + 4\sqrt {{x^2} + 2} ) - lo{g_2}(\sqrt {{x^2} + 2 + x} ) + 2x + \sqrt {{x^2} + 2} \le 1\\ \Leftrightarrow lo{g_2}[2(3x + 2\sqrt {{x^2} + 2} )] - lo{g_2}(\sqrt {{x^2} + 2} + x) + 2x + \sqrt {{x^2} + 2} \le 1\\ \Leftrightarrow lo{g_2}2 + lo{g_2}(3x + 2\sqrt {{x^2} + 2} ) - lo{g_2}(\sqrt {{x^2} + 2} + x) + 2x + \sqrt {{x^2} + 2} \le 1\\ \Leftrightarrow 1 + lo{g_2}(3x + 2\sqrt {{x^2} + 2} ) - lo{g_2}(\sqrt {{x^2} + 2} + x) + 2x + \sqrt {{x^2} + 2} \le 1\\ \Leftrightarrow lo{g_2}(3x + 2\sqrt {{x^2} + 2} ) + 3x + 2\sqrt {{x^2} + 2} \le lo{g_2}(\sqrt {{x^2} + 2} + x) + x + \sqrt {{x^2} + 2} ( * )\end{array}\]
Xét hàm số \[f\left( t \right) = t + {\log _2}t\,\] với t>0 ta có \[f'\left( t \right) = 1 + \frac{1}{{t.\ln 2}} > 0;\,\forall t > 0\] nên f(t) là hàm đồng biến trên\[\left( {0; + \infty } \right)\]Từ đó
\[\begin{array}{l}( * ) \Leftrightarrow f(3x + 2\sqrt {{x^2} + 2} ) \le f(\sqrt {{x^2} + 2} + x)\\ \Leftrightarrow 3x + 2\sqrt {{x^2} + 2} \le \sqrt {{x^2} + 2} + x\\ \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 2} \le - 2x\end{array}\]
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2x \ge 0}\\{{x^2} + 2 \le 4{x^2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \le 0}\\{3{x^2} \ge 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \le 0}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge \frac{{\sqrt 6 }}{3}}\\{x \le - \frac{{\sqrt 6 }}{3}}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x \le - \frac{{\sqrt 6 }}{3}\)
Kết hợp điều kiện \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0}\\{ - \frac{{\sqrt {40} }}{5} < x \le 0}\end{array}} \right.\) ta có\[ - \frac{{\sqrt {40} }}{5} < x \le - \frac{{\sqrt 6 }}{3}\] hay\[ - \sqrt {\frac{8}{5}} < x \le - \sqrt {\frac{2}{3}} \]
Tập nghiệm bất phương trình\[S = \left( { - \sqrt {\frac{8}{5}} ; - \sqrt {\frac{2}{3}} } \right]\] nên\[a = \frac{8}{5};b = \frac{2}{3} \Rightarrow a.b = \frac{8}{5}.\frac{2}{3} = \frac{{16}}{{15}}.\]
Đáp án cần chọn là: D
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của y sao cho tương ứng với mọi y luôn tồn tại không quá 63 số nguyên x thỏa mãn điều kiện \[{\log _{2020}}\left( {x + {y^2}} \right) + {\log _{2021}}\left( {{y^2} + y + 64} \right) \ge {\log _4}\left( {x - y} \right)\]
Xét bất phương trình \[\log _2^22x - 2\left( {m + 1} \right){\log _2}x - 2 < 0\]. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng \[\left( {\sqrt 2 ; + \infty } \right).\]
Tập nghiệm của bất phương trình \[\log \left( {{x^2} + 25} \right) > \log \left( {10x} \right)\] là:
Cho \[m = {\log _a}\sqrt {ab} \] với a,b>1 và \[P = \log _a^2b + 54{\log _b}a\]. Khi đó giá trị của m để P đạt giá trị nhỏ nhất là:
Tập hợp nghiệm của bất phương trình \(\)\[{\log _{\frac{1}{3}}}\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) < {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x - 1} \right)\] là:
Một người tham gia chương trình bảo hiểm An sinh xã hội của công ty Bảo Việt với thể lệ như sau: Cứ đến tháng 9 hàng năm người đó đóng vào công ty là 12 triệu đồng với lãi suất hàng năm không đổi là 6% / năm. Hỏi sau đúng 18 năm kể từ ngày đóng, người đó thu về được tất cả bao nhiêu tiền? Kết quả làm tròn đến hai chữ số phần thập phân.
Tập nghiệm của bất phương trình \[{9^{\log _9^2x}} + {x^{{{\log }_9}x}} \le 18\]là:
Cho phương trình \[{\log _7}\left( {{x^2} + 2x + 2} \right) + 1 > {\log _7}\left( {{x^2} + 6x + 5 + m} \right)\]. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình trên có tập nghiệm chứa khoảng (1;3)?
Tập nghiệm của bất phương trình \[{\log _3}x \le {\log _{\frac{1}{3}}}(2x)\] là nửa khoảng \[(a;b]\]. Giá trị của \[{a^2} + {b^2}\;\] bằng
Xác định tập nghiệm S của bất phương trình \[\ln {x^2} > \ln \left( {4x - 4} \right)\]
Số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn \[{\log _2}\left( {5x - 3} \right) > 5\] là:
Bất phương trình \[{\log _{\frac{4}{{25}}}}(x + 1) \ge {\log _{\frac{2}{5}}}x\] tương đương với bất phương trình nào dưới đây?
Cho hàm số y=f(x). Hàm số y=f′(x) có đồ thị như hình bên. Biết \[f\left( { - 1} \right) = 1,f( - \frac{1}{e}) = 2.\]. Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình \[f(x) < ln( - x) + m\;\] nghiệm đúng với mọi \[x \in ( - 1; - \frac{1}{e}).\]
Tập nghiệm của phương trình \[{\log _3}\left( {{{\log }_{\frac{1}{2}}}x} \right) < 1\] là
Tìm tập hợp nghiệm S của bất phương trình: \[lo{g_{\frac{\pi }{4}}}({x^2} + 1) < lo{g_{\frac{\pi }{4}}}(2x + 4)\]
