IMG-LOGO

Câu hỏi:

07/07/2024 107

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[A = {\left( {\frac{1}{5}} \right)^{{{\sin }^2}x}} + {\left( {\frac{1}{5}} \right)^{{{\cos }^2}x}}\] là:

A.2 

B. \(\frac{1}{2}\)

C. \[\frac{2}{{\sqrt 5 }}\]

Đáp án chính xác

D. \[\frac{2}{5}\]

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \[{\left( {\frac{1}{5}} \right)^{{{\sin }^2}x}};{\left( {\frac{1}{5}} \right)^{{{\cos }^2}x}}\]  ta có:

\[A = {\left( {\frac{1}{5}} \right)^{{{\sin }^2}x}} + {\left( {\frac{1}{5}} \right)^{{{\cos }^2}x}} = {5^{ - {{\sin }^2}x}} + {5^{ - {{\cos }^2}x}} \ge 2\sqrt {{5^{ - {{\sin }^2}x}}{{.5}^{ - {{\cos }^2}x}}} = 2\sqrt {{5^{ - \left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)}}} = 2\sqrt {{5^{ - 1}}} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\]

Dấu “=” xảy ra khi

\[{\left( {\frac{1}{5}} \right)^{{{\sin }^2}x}} = {\left( {\frac{1}{5}} \right)^{{{\cos }^2}x}} \Leftrightarrow {\sin ^2}x = {\cos ^2}x \Leftrightarrow \cos 2x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\]

Vậy GTNN của A là \[\frac{2}{{\sqrt 5 }}\]Đáp án cần chọn là: C

Câu trả lời này có hữu ích không?

0

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho số thực a thỏa mãn \[{\left( {2 - a} \right)^{\frac{3}{4}}} > {\left( {2 - a} \right)^2}\]. Chọn khẳng định đúng:

Xem đáp án » 13/10/2022 218

Câu 2:

Với \[a > 1,m > 0,m \in Z\;\] thì:

Xem đáp án » 13/10/2022 164

Câu 3:

Mệnh đề nào đúng với mọi số thực x,y?

Xem đáp án » 13/10/2022 158

Câu 4:

Với giá trị nào của a thì đẳng thức \[\,\,\,\,\,\sqrt {a.\sqrt[3]{{a.\sqrt[4]{a}}}} = \sqrt[{24}]{{{2^5}}}.\frac{1}{{\sqrt {{2^{ - 1}}} }}\]đúng?

Xem đáp án » 13/10/2022 152

Câu 5:

 Đơn giản biểu thức \[A = {a^{\sqrt 2 }}{\left( {\frac{1}{a}} \right)^{\sqrt 2 - 1}}\] ta được:

Xem đáp án » 13/10/2022 144

Câu 6:

Cho \[n \in Z,n > 0\], với điều kiện nào của aa thì đẳng thức sau xảy ra: \[{a^{ - n}} = \frac{1}{{{a^n}}}\]?

Xem đáp án » 13/10/2022 142

Câu 7:

Tính giá trị của biểu thức \[P = {\left( {2\sqrt 6 - 5} \right)^{2020}}{\left( {2\sqrt 6 + 5} \right)^{2021}}\].

Xem đáp án » 13/10/2022 142

Câu 8:

Cho \[m,n \in Z\], khi đó:

Xem đáp án » 13/10/2022 140

Câu 9:

Giá trị biểu thức \[P = \frac{{{{125}^6}.\left( { - {{16}^3}} \right)2.\left( { - {2^3}} \right)}}{{{{25}^3}.{{\left( { - {5^2}} \right)}^4}}}\] là:

Xem đáp án » 13/10/2022 139

Câu 10:

Cho \[a > 0,n \in Z,n \ge 2\], chọn khẳng định đúng:

Xem đáp án » 13/10/2022 137

Câu 11:

Rút gọn biểu thức \[P = \left( {\sqrt {ab} - \frac{{ab}}{{a + \sqrt {ab} }}} \right):\frac{{\sqrt[4]{{ab}} - \sqrt b }}{{a - b}}\left( {a > 0,b > 0,a \ne b} \right)\] ta được kết quả là:

Xem đáp án » 13/10/2022 134

Câu 12:

Đơn giản biểu thức \[P = \left( {{a^{\frac{1}{4}}} - {b^{\frac{1}{4}}}} \right)\left( {{a^{\frac{1}{4}}} + {b^{\frac{1}{4}}}} \right)\left( {{a^{\frac{1}{2}}} + {b^{\frac{1}{2}}}} \right)\,\,\,\,(a,b > 0)\] ta được:

Xem đáp án » 13/10/2022 131

Câu 13:

Với \[1 < a < b,m \in {N^ * }\]thì:

Xem đáp án » 13/10/2022 127

Câu 14:

Nếu \[{\left( {a - 2} \right)^{ - \frac{1}{4}}} \le {\left( {a - 2} \right)^{ - \frac{1}{3}}}\]thì khẳng định đúng là:

Xem đáp án » 13/10/2022 125

Câu 15:

Rút gọn biểu thức \[B = \frac{{{a^{2\sqrt 2 }} - {b^{2\sqrt 3 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}} + 1\] ta được kết quả là:

Xem đáp án » 13/10/2022 122

Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »
Xem thêm »