Trong Công viên Toán học có những mảnh đất hình dáng khác nhau. Mỗi mảnh được trồng một loài hoa và nó được tạo thành bởi một trong những đường cong đẹp nhất trong toán học. Ở đó có mảnh đất mang tên Bernoulli, nó được tạo thành từ đường Lemniscate có phương trình trong hệ tọa độ Oxy là \[16{y^2} = {x^2}(25 - {x^2})\;\]như hình vẽ bên. Tính diện tích S của mảnh đất Bernoulli biết rằng mỗi đơn vị trong hệ trục tọa độ Oxy tương ứng với chiều dài 1 mét

Hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành là\[x = 0;x = 5;x = - 5\]

Ta thấy diện tích mảnh đất Bernoulli bao gồm diện tích 44 mảnh đất nhỏ bằng nhau.

Xét diện tích S mảnh đất nhỏ trong góc phần tư thứ nhất ta có

\[\begin{array}{*{20}{l}}{4y = x\sqrt {25 - {x^2}} ;x \in \left[ {0;5} \right]}\\{ \Rightarrow S = \frac{1}{4}\mathop \smallint \limits_0^5 x\sqrt {25 - {x^2}} d{\rm{x}} = \frac{{125}}{{12}}}\\{ \Rightarrow S = 4.\frac{{125}}{{12}} = \frac{{125}}{3}\left( {{m^2}} \right)}\end{array}\]

Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\] và hai đường thẳng \[x = a,x = b(a < b)\;\] là:

Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), đường thẳng y=0 và hai đường thẳng \[x = a,x = b(a < b)\] là:

Cho hàm số \[y = {x^4} - 3{x^2} + m\] có đồ thị là (Cm) (m là tham số thực). Giả sử (Cm) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt. Gọi \[{S_1},{S_2}\;\] là diện tích của hai hình phẳng nằm dưới trục Ox và S3 là diện tích của hình phẳng nằm trên trục Ox được tạo bởi (Cm) với trục Ox. Biết rằng tồn tại duy nhất giá trị \[m = \frac{a}{b}\] (với \[a,b \in {\mathbb{N}^*}\;\] và tối giản) để \[{S_1} + {S_2} = {S_3}\]. Giá trị của 2a−b bằng:

Cho hai hàm số \[f\left( x \right) = m{x^3} + n{x^2} + px - \frac{5}{2}\left( {m,n,p \in \mathbb{R}} \right)\]và\(g\left( x \right) = {x^2} + 3x - 1\) có đồ thị cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là −3;−1;1( tham khảo hình vẽ bên). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số f(x)và g(x) bằng

Gọi S  là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường  \[y = {x^3},y = 2 - x\]và y = 0. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Cho parabol \[\left( P \right):y = {x^2} + 1\]và đường thẳng \[(d):y = mx + 2\]. Biết rằng tồn tại m để diện tích hình phẳng giới hạn bới (P)  và (d)  đạt giá trị nhỏ nhất, tính diện tích nhỏ nhất đó.

Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = (x - 1){e^x}\], trục hoành, đường thẳng x=0 và x=1

Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \[y = {x^2} - 4\;\] và \[y = x - 4\]

Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right) = {x^2} - 1\], trục hoành và hai đường thẳng x=−1;x=−3 là:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \[y = {x^3} - x;y = 2x\] và các đường thẳng \[x = - 1;x = 1\;\] được xác định bởi công thức:

Cho hàm số f(x) có đồ thị trên đoạn \[\left[ { - 3;3} \right]\;\]là đường gấp khúc ABCD như hình vẽ.

Tính \[\mathop \smallint \limits_{ - 3}^3 f\left( x \right)dx\]

Gọi SS là diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y=f(x), trục hoành và hai đường thẳng x=−1,x=2 (như hình vẽ). Đặt \[a = \mathop \smallint \limits_{ - 1}^0 f(x)dx,b = \mathop \smallint \limits_0^2 f(x)dx\].  Mệnh đề nào sau đây đúng?

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường: \[y = \left| {{x^2} - 4x + 3} \right|\,\,\,;\,\,y = x + 3\]

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi nửa đường tròn \[{x^2} + {y^2} = 2,y > 0\] và parabol \[y = {x^2}\;\] bằng: