Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông tại A. Cạnh BC=2a và \[\angle ABC = {60^0}\]. Biết tứ giác BCC′B′ là hình thoi có \[\angle B\prime BC\;\] nhọn. Mặt phẳng \[(BCC\prime B\prime )\;\]vuông góc với (ABC) và mặt phẳng \[(ABB\prime A\prime )\;\]tạo với (ABC) góc 450. Thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′ bằng:
A.\[\frac{{\sqrt 7 {a^3}}}{7}\]
B. \[\frac{{3\sqrt 7 {a^3}}}{7}\]
C. \[\frac{{6\sqrt 7 {a^3}}}{7}\]
D. \[\frac{{\sqrt 7 {a^3}}}{{21}}\]
Giải bởi Vietjack
Trong (BCC′B′) kẻ \[B'H \bot BC\,\,\left( {H \in BC} \right)\] (do \[\angle B'BC\] nhọn).
Trong \[\left( {ABC} \right)\]kẻ\[HK\parallel AC \Rightarrow HK \bot AB\]ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AB \bot HK}\\{AB \bot B\prime H}\end{array}} \right. \Rightarrow AB \bot (B\prime HK) \Rightarrow AB \bot B\prime K\)
Ta có:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{(ABB\prime A\prime ) \cap (ABC) = AB}\\{B\prime K \subset (ABB\prime A\prime ),B\prime K \bot AB}\\{HK \subset (ABC),HK \bot AB}\end{array}} \right.\)
\[ \Rightarrow \angle \left( {\left( {ABB'A'} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {B'K;HK} \right) = \angle B'HK = {45^0}\]
\[ \Rightarrow {\rm{\Delta }}B'HK\] vuông cân tại\[H \Rightarrow B'H = HK = x\]
Xét tam giác vuông BB′H có: \[BH = \sqrt {B{B^{\prime 2}} - B{H^{\prime 2}}} = \sqrt {4{a^2} - {x^2}} \]
Xét tam giác vuông ABC có: \[AC = BC.\sin {60^0} = a\sqrt 3 ,AB = BC.\cos {60^0} = a\]
Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \[\frac{{BH}}{{BC}} = \frac{{HK}}{{AC}} \Rightarrow \frac{{\sqrt {4{a^2} - {x^2}} }}{{2a}} = \frac{x}{{a\sqrt 3 }}\]
\[\begin{array}{*{20}{l}}{ \Leftrightarrow 3\left( {4{a^2} - {x^2}} \right) = 4{x^2}}\\{ \Leftrightarrow 12{a^2} - 3{x^2} = 4{x^2}}\\{ \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{12{a^2}}}{7}}\\{ \Leftrightarrow x = \frac{{2a\sqrt {21} }}{7} = B'H}\end{array}\]
\[{S_{{\rm{\Delta }}ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}.a.a\sqrt 3 = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\]
Vậy\[{V_{ABC.A'B'C'}} = B'H.{S_{{\rm{\Delta }}ABC}} = \frac{{2a\sqrt {21} }}{7}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3{a^3}\sqrt 7 }}{7}\]Đáp án cần chọn là: B
Công thức tính thể tích lăng trụ có diện tích đáy SS và chiều cao hh là:
Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ có AB=2a,AC=a,\(AA' = \frac{{a\sqrt {10} }}{2},\widehat {BAC} = {120^0}\). Hình chiếu vuông góc của C′ lên (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′ theo a?
Cho lăng trụ xiên tam giác ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, biết cạnh bên là \(a\sqrt 3 \) và hợp với đáy ABC một góc 600. Thể tích khối lăng trụ là:
Thể tích khối hộp chữ nhật có diện tích đáy S và độ dài cạnh bên a là:
Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ mà mặt bên ABB′A′ có diện tích bằng 4. Khoảng cách giữa CC′ và mặt phẳng (ABB′A′) bằng 7. Thể tích khối lăng trụ là:
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′có AB=a, đường thẳng A′B tạo với mặt phẳng \[(BCC\prime B\prime )\;\]một góc 300. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′.
Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có thể tích V. Trên đáy A′B′C′ lấy điểm M bất kì. Thể tích khối chóp M.ABC tính theo V bằng:
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có diện tích đáy bằng 12 và chiều cao bằng 66. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của CB,CA và P,Q,R lần lượt là tâm các hình bình hành ABB′A′, BCC′B′, CAA′C′. Thể tích của khối đa diện PQRABMN bằng:
\[\]Đề thi THPT QG – 2021 lần 1– mã 104
Thể tích của khối lập phương cạnh 2a bằng:
Cho đa diện ABCDEF có AD,BE,CF đôi một song song. AD⊥(ABC), AD+BE+CF=5, diện tích tam giác ABC bằng 10. Thể tích đa diện ABCDEF bằng
Cho khối lập phương có thể tích bằng 27, diện tích toàn phần của khối lập phương đã cho bằng:
Cho hình lăng trụ ABCD.A′B′C′D′ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc \(\widehat A = {60^0}\). Chân đường cao hạ từ B′ xuống (ABCD) trùng với giao điểm 2 đường chéo, biết BB′=a . Thể tích khối lăng trụ là:
Cho hình lăng trụ ABCD.A′B′C′D′ có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Hình chiếu vuông góc của điểm A′ trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm I của cạnh AB. Biết A′C tạo với mặt phẳng đáy một góc α với \[tan\alpha = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\]. Thể tích khối chóp A′.ICD là:
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, \(\widehat {ACB} = {60^0}\), cạnh BC=a, đường chéo A′B tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 300. Thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′ là:
