Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC), tam giác ABC vuông tại BB có cạnh AB=3, BC=4và góc giữa DC và mặt phẳng (ABC) bằng 450. Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
A.\[V = \frac{{125\sqrt 3 }}{3}\pi \]
B. \[V = \frac{{25\sqrt 2 }}{3}\pi \]
C. \[V = \frac{{125\sqrt 2 }}{3}\pi \]
D. \[V = \frac{{5\sqrt 2 }}{3}\pi \]
Giải bởi Vietjack
Ta có : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{BC \bot BA}\\{BC \bot DA}\end{array}} \right. \Rightarrow BC \bot (ABD) \Rightarrow BC \bot BD \Rightarrow \Delta BCD\) vuông tại B.
Gọi I là trung điểm của CD thì \[IB = IC = ID = \frac{1}{2}CD\]
Tam giác ACD vuông tại A nên \[IA = IC = ID = \frac{1}{2}CD\]
Do đó \[IA = IB = IC = ID \Rightarrow I\] là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCDABCD.
Tam giác ABC vuông tại B nên \[AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5\] (Định lí Pytago).
Vì\[DA \bot \left( {ABC} \right)\] nên ACAC là hình chiếu của DCDC lên (ABC).\[ \Rightarrow \angle \left( {DC;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {DC;AC} \right) = \angle DCA = {45^0}\]
Tam giác DAC vuông tại A có \[\widehat {DCA} = {45^0}\] nên là tam giác vuông cân
\[ \Rightarrow DC = AC\sqrt 2 = 5\sqrt 2 \]
\[ \Rightarrow R = IA = \frac{1}{2}DC = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\]
Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là :\[V = \frac{4}{3}\pi I{A^3} = \frac{4}{3}\pi .{\left( {\frac{{5\sqrt 2 }}{2}} \right)^3} = \frac{{125\sqrt 2 }}{3}\pi \]
Đáp án cần chọn là: C
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a, \[SA \bot (ABCD)\;\] và SA = 2a. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy là:
Một thùng rượu vang có dạng hình tròn xoay có hai đáy là hai hình tròn bằng nhau, khoảng cách giữa hai đáy bằng 80(cm). Đường sinh của mặt xung quanh thùng là một phần đường tròn có bán kính 60(cm)(tham khảo hình minh họa bên). Hỏi thùng đó có thể đựng bao nhiêu lít rượu?(làm tròn đến hàng đơn vị)
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AA’ = 2a, BC = a. Gọi M là trung điểm BB’. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp M.A’B’C’ bằng:
Cho hai khối cầu (S1),(S2) có cùng bán kính 2 thỏa mãn tính chất: tâm của (S1) thuộc (S2) và ngược lại. Tính thể tích phần chung V của hai khối cầu tạo bởi (S1) và (S2).
Cho ba hình cầu có bán kính lần lượt là R1,R2,R3 đôi một tiếp xúc nhau và cùng tiếp xúc với mặt phẳng (P). Các tiếp điểm của ba hình cầu với mặt phẳng (P) lập thành một tam giác có độ dài cạnh lần lượt là 2, 3, 4. Tính tổng R1+R2+R3:
Trục đa giác đáy là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy tại:
Cho tứ diện ABCD có AB = a;AC = BC = AD = BD =\(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\). Gọi M,N là trung điểm của AB,CD. Góc giữa hai mặt phẳng (ABD);(ABC) là \[\alpha \] . Tính \[cos\alpha \] biết mặt cầu đường kính MN tiếp xúc với cạnh AD.
Cho một lập phương có cạnh bằng a. Tính diện tích mặt cầu nội tiếp hình lập phương đó
