Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng \[d:\,\,\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y - 4}}{1} = \frac{{z - 2}}{1}\] và 2 điểm A(6;3;−2); B(1;0;−1). Gọi \[\Delta \] là đường thẳng đi qua B, vuông góc với d và thỏa mãn khoảng cách từ A đến \[\Delta \] là nhỏ nhất. Một vectơ chỉ phương của \[\Delta \] có tọa độ :
A.(1;1;−3)
B.(1;−1;−1)
C.(1;2;−4)
D. (2;−1;−3)
Giải bởi Vietjack
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua B và vuông góc với\[d \Rightarrow \left( P \right):\,\,2x + y + z - 1 = 0\]
\[{\rm{\Delta }}\] đi qua B và vuông góc với\[d \Rightarrow {\rm{\Delta }} \subset \left( P \right)\]
Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của A lên (P) và \[{\rm{\Delta }}\] ta có \[AH \le AK\]
Do đó để khoảng cách từ A đến \[{\rm{\Delta }}\] là nhỏ nhất\[ \Rightarrow H \in {\rm{\Delta }}\]
Phương trình AH đi qua A và nhận\[\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;1;1} \right)\] là 1 VTCP là\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 6 + 2t}\\{y = 3 + t}\\{z = - 2 + t}\end{array}} \right.\)\[\begin{array}{*{20}{l}}{H \in AH \Rightarrow H\left( {6 + 2t;3 + t; - 2 + t} \right)}\\{H \in \left( P \right) \Rightarrow 2\left( {6 + 2t} \right) + 3 + t - 2 + t - 1 = 0 \Leftrightarrow 6t + 12 = 0 \Leftrightarrow t = - 2}\\{ \Rightarrow H\left( {2;1; - 4} \right)}\end{array}\]
\[{\rm{\Delta }}\] đi qua B,H nhận\[\overrightarrow {BH} \left( {1;1; - 3} \right)\] là 1 VTCP.
Đáp án cần chọn là: A
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(0;0;2), B(1;0;0), C(2;2;0) và D(0;m;0). Điều kiện cần và đủ của m để khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 2 là:
Công thức tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d′ đi qua điểm M′ và có VTCP \(\overrightarrow {u'} \)là:
Cho d,d′ là các đường thẳng có VTCP lần lượt là \[\overrightarrow u ,\overrightarrow u \prime ,M \in d,M\prime \in d\prime .\]Nếu \[\left[ {\vec u,\overrightarrow {u'} } \right]\overrightarrow {MM'} \ne 0\]thì:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
\[{d_1}:\frac{{x - 3}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 1}}{1}\;\]và \({d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = 2}\\{z = 2 + t}\end{array}} \right.\) Vị trí tương đối của d1 và d2 là:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1 + 2t}\\{y = - t}\\{z = - 2 - t}\end{array}} \right.\). Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào vuông góc với d?
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 - 3t}\\{y = - t}\\{z = 1 - 2t}\end{array}} \right.\) và \[{d_2}:\frac{{x - 1}}{{ - 3}} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 3}}{2}\].
Vị trí tương đối của d1 và d2 là:
Cho \[d,d'\] là các đường thẳng có VTCP lần lượt là \[\overrightarrow u ,\overrightarrow {u\prime } ,M \in d,M\prime \in d\prime \]Khi đó \[d \equiv d\prime \;\] nếu:
Khoảng cách từ điểm M(2;0;1) đến đường thẳng \[\Delta :\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 2}}{1}\;\] là:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình \[\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{{ - 4}}\;\] và \[d\prime :\frac{{x + 1}}{4} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{2}\;\;\]. Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng d nhưng thuộc đường thẳng d′?
Cho hình lập phương A(0;0;0),B(1;0;0),D(0;1;0),A′(0;0;1). Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB,CD. Khoảng cách giữa MN và A′C là:
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(−2;−2;1),A(1;2;−3) và đường thẳng \[d:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 5}}{2} = \frac{z}{{ - 1}}.\] Gọi \[\Delta \] là đường thẳng qua M, vuông góc với đường thẳng d, đồng thời cách điểm A một khoảng bé nhất. Khoảng cách bé nhất đó là
Góc giữa hai đường thẳng có các VTCP lần lượt là \(\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} \) thỏa mãn:
Cho hai điểm A(1;−2;0),B(0;1;1), độ dài đường cao OH của tam giác OAB là:
Cho hai đường thẳng \[\Delta ,\Delta \prime \;\] có VTCP lần lượt là \(\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} \) và đi qua các điểm M,M′. Khi đó:
