21 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Các bài toán về mối quan hệ giữa hai đường thẳng

Câu 1:

Cho \[d,d'\] là các đường thẳng có VTCP lần lượt là \[\overrightarrow u ,\overrightarrow {u\prime } ,M \in d,M\prime \in d\prime \]Khi đó \[d \equiv d\prime \;\] nếu:

A.\[\left[ {\vec u,\overrightarrow {u'} } \right] = \vec 0\]

B. \[\left[ {\vec u,\overrightarrow {u'} } \right] = \left[ {\vec u,\overrightarrow {MM'} } \right]\]

C. \[\left[ {\vec u,\overrightarrow {u'} } \right] = \left[ {\vec u,\overrightarrow {MM'} } \right] = \overrightarrow 0 \]

D. \[\left[ {\vec u,\overrightarrow {u'} } \right] \ne \left[ {\vec u,\overrightarrow {MM'} } \right]\]

Xem đáp án

\[d \equiv d' \Leftrightarrow \vec u,\overrightarrow {u'} ,\overrightarrow {MM'} \] đôi một cùng phương\[ \Leftrightarrow \left[ {\vec u,\overrightarrow {u'} } \right] = \left[ {\vec u,\overrightarrow {MM'} } \right] = \vec 0\]

Đáp án cần chọn là: C

Câu 2:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 - 3t}\\{y = - t}\\{z = 1 - 2t}\end{array}} \right.\) và \[{d_2}:\frac{{x - 1}}{{ - 3}} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 3}}{2}\].

Vị trí tương đối của d₁ và d₂ là:

A.Song song.

B.Trùng nhau.

C.Cắt nhau.

D.Chéo nhau.

Xem đáp án

Đường thẳng\[{d_1}\] đi qua\[{M_1}\left( { - 1;0;1} \right)\] và có VTCP\[\overrightarrow {{u_1}} = \left( {3; - 1; - 2} \right)\]

Đường thẳng\[{d_2}\] đi qua \[{M_2}\left( {1;2;3} \right)\] và có VTCP\[\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 3;1;2} \right)\]

Ta có\[\frac{3}{{ - 3}} = \frac{{ - 1}}{1} = \frac{{ - 2}}{2}\] nên\[\overrightarrow {{u_1}} \parallel \overrightarrow {{u_2}} \](1)

\[\frac{{ - 1 - 1}}{{ - 3}} \ne \frac{{0 - 2}}{1} \ne \frac{{1 - 3}}{2}\] nên\[{M_1} \notin {d_2}\](2)

Từ (1) và (2), suy ra d₁ và d₂ song song.

Đáp án cần chọn là: A

Câu 3:

Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng cắt nhau là:

A.\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\vec u,\overrightarrow {u'} } \right] \ne \vec 0}\\{\left[ {\vec u,\overrightarrow {u'} } \right]\overrightarrow {MM'} = 0}\end{array}} \right.\)

B. \[\left[ {\vec u,\overrightarrow {u'} } \right] \ne \vec 0\]

C. \[\left[ {\vec u,\overrightarrow {u'} } \right]\overrightarrow {MM'} = 0\]

D. \[\left[ {\vec u,\overrightarrow {u'} } \right] = \vec 0\]

Xem đáp án

d cắt\[d' \Leftrightarrow \vec u,\overrightarrow {u'} \] không cùng phương và\[\vec u,\overrightarrow {u'} ,\overrightarrow {MM'} \] đồng phẳng

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\vec u,\overrightarrow {u'} } \right] \ne \vec 0}\\{\left[ {\vec u,\overrightarrow {u'} } \right]\overrightarrow {MM'} = 0}\end{array}} \right.\)

Đáp án cần chọn là: A

Câu 4:

Cho d,d′ là các đường thẳng có VTCP lần lượt là \[\overrightarrow u ,\overrightarrow u \prime ,M \in d,M\prime \in d\prime .\]Nếu \[\left[ {\vec u,\overrightarrow {u'} } \right]\overrightarrow {MM'} \ne 0\]thì:

A.d//d′

B.d≡d′

C.d cắt d′

D.d chéo d′

Xem đáp án

Ta có: d chéo\[d' \Leftrightarrow \vec u,\overrightarrow {u'} ,\overrightarrow {MM'} \] không đồng phẳng \[ \Leftrightarrow \left[ {\vec u,\overrightarrow {u'} } \right]\overrightarrow {MM'} \ne 0\]

Đáp án cần chọn là: D

Câu 5:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

\[{d_1}:\frac{{x - 3}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 1}}{1}\;\]và \({d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = 2}\\{z = 2 + t}\end{array}} \right.\) Vị trí tương đối của d₁ và d₂ là:

A.Song song.

B.Trùng nhau.

C.Cắt nhau.

D.Chéo nhau.

Xem đáp án

Đường thẳng d1 đi qua \[{M_1}\left( {3;2;1} \right)\] và có VTCP\[\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1;2;1} \right)\]

Đường thẳng d2 đi qua\[{M_2}\left( {0;2;2} \right)\] và có VTCP\[\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;0;1} \right)\]

Ta có\[\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {2;0; - 2} \right),\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \left( { - 3;0;1} \right)\]

Suy ra\[\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = - 6 + 0 - 2 = - 8 \ne 0\]

Do đó d1 và d2 chéo nhau.

Đáp án cần chọn là: D

Câu 6:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1 + 2t}\\{y = - t}\\{z = - 2 - t}\end{array}} \right.\). Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào vuông góc với d?

A.\({d_1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3t}\\{y = 1 + t}\\{z = 5t}\end{array}} \right.\)

B. \({d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2}\\{y = 2 + t}\\{z = 1 + t}\end{array}} \right.\)

C. \[{d_3}:\frac{{x - 2}}{3} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 5}}\]

D. \[{d_4}:\frac{{x + 2}}{2} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{2}\]

Xem đáp án

Đường thẳng d1 có VTCP\[{\vec u_{_1}} = \left( {3;1;5} \right)\] đường thẳng d có VTCP\[{\vec u_{_d}} = \left( {2; - 1; - 1} \right)\]

Vì\[{\vec u_{_d}}.{\vec u_{_1}} = 3.2 - 1.1 - 5.1 = 0\]

Đáp án cần chọn là: A

Câu 7:

Công thức tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d′ đi qua điểm M′ và có VTCP \(\overrightarrow {u'} \)là:

A.\[d\left( {A,d'} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AM'} ,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {u'} } \right|}}\]

B. \[d\left( {A,d'} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AM'} ,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}}{{\overrightarrow {u'} }}\]

C. \[d\left( {A,d'} \right) = \frac{{\left[ {\overrightarrow {AM'} ,\overrightarrow {u'} } \right]}}{{\overrightarrow {u'} }}\]

D. \[d\left( {A,d'} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {AM'} .\overrightarrow {u'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {u'} } \right|}}\]

Xem đáp án

Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d′ được tính theo công thức

\[d\left( {A,d'} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AM'} ,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {u'} } \right|}}\]

Đáp án cần chọn là: A

Câu 8:

Khoảng cách từ điểm M(2;0;1) đến đường thẳng \[\Delta :\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 2}}{1}\;\] là:

A.\(\sqrt 2 \)

B. \(\sqrt 3 \)

C. \[2\sqrt 3 \]

D. \[\frac{5}{{\sqrt {17} }}\]

Xem đáp án

Đường thẳng \[{\rm{\Delta }}\] đi qua A(1;0;2) và có VTCP\[\vec u = \left( {1;2;1} \right)\] Khi đó:

\[\overrightarrow {MA} = \left( { - 1;0;1} \right),\vec u = \left( {1;2;1} \right)\]

\[ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {MA} ,\vec u} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{l}}0\\2\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{l}}1\\1\end{array}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{l}}1\\1\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{l}}{ - 1}\\1\end{array}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{l}}{ - 1}\\1\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{l}}0\\2\end{array}}\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 2;2; - 2} \right)\]

Vậy\[d\left( {M,{\rm{\Delta }}} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MA} ,\vec u} \right]} \right|}}{{\left| {\vec u} \right|}} = \frac{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {2^2}} }}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \sqrt 2 \]

Đáp án cần chọn là: A

Câu 9:

Cho hai điểm A(1;−2;0),B(0;1;1), độ dài đường cao OH của tam giác OAB là:

A.\[3\sqrt {19} \]

B. \[\frac{{3\sqrt {19} }}{{13}}\]

C. \[\sqrt 6 \]

D. \[\frac{{\sqrt {66} }}{{11}}\]

Xem đáp án

Ta có:\[\overrightarrow {OA} = \left( {1; - 2;0} \right),\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;3;1} \right)\]

\[ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2}\\3\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{l}}0\\1\end{array}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{l}}0\\1\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{l}}1\\{ - 1}\end{array}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{l}}1\\{ - 1}\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2}\\3\end{array}}\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 2; - 1;1} \right)\]

Do đó\[OH = d\left( {O,AB} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {AB} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}} = \frac{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} }}{{\sqrt {{1^2} + {3^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt {66} }}{{11}}\]

Đáp án cần chọn là: D

Câu 10:

Cho hai đường thẳng \[\Delta ,\Delta \prime \;\] có VTCP lần lượt là \(\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} \) và đi qua các điểm M,M′. Khi đó:

A.\[d\left( {{\rm{\Delta }},{\rm{\Delta '}}} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\vec u,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'} } \right|}}{{\left| {\left[ {\vec u,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}}\]

B. \[d\left( {{\rm{\Delta }},{\rm{\Delta '}}} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MM'} ,\overrightarrow {u'} } \right].\vec u} \right|}}{{\left| {\left[ {\vec u,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}}\]

C. \[d\left( {{\rm{\Delta }},{\rm{\Delta '}}} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\vec u,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'} } \right|}}{{\left| {\left[ {\vec u,\overrightarrow {MM'} } \right]} \right|}}\]

D. \[d\left( {{\rm{\Delta }},{\rm{\Delta '}}} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\vec u,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {MM'} } \right|}}\]

Xem đáp án

Khoảng cách giữa hai đường thẳng:\[d\left( {{\rm{\Delta }},{\rm{\Delta '}}} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\vec u,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'} } \right|}}{{\left| {\left[ {\vec u,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}}\]

Đáp án cần chọn là: A

Câu 11:

Khoảng cách giữa hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + 2t}\\{y = - 1 + t}\\{z = 1}\end{array}} \right.,{d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{y = 1 + t}\\{z = 3 - t}\end{array}} \right.\) là:

A.9

B.3

C.\(\frac{1}{3}\)

D.1

Xem đáp án

Đường thẳng d1 đi qua\[{M_1}\left( {2; - 1;1} \right)\] và có VTCP\[\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;1;0} \right)\]

Đường thẳng d2 đi qua\[{M_2}\left( {1;1;3} \right)\] và có VTCP\[\overrightarrow {{u_2}} = \left( {0;1; - 1} \right)\]

Suy ra

\[\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \left( { - 1;2;2} \right);\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{l}}1\\1\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{l}}0\\{ - 1}\end{array}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{l}}0\\{ - 1}\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{l}}2\\0\end{array}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{l}}2\\0\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{l}}1\\1\end{array}}\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 1;2;2} \right)\]

Vậy

\[d\left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}} = \frac{{\left| {\left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right) + 2.2 + 2.2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = 3\]

Đáp án cần chọn là: B

Câu 12:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

\[{d_1}:\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{1},{d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 - t}\\{y = 1 + 2t}\\{z = - 1 + t}\end{array}} \right.\] và điểm A(1;2;3).

Đường thẳng Δ qua A, vuông góc với d1 và cắt d2 có phương trình là:

A.\[\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 3}} = \frac{{z - 3}}{{ - 5}}\]

B. \[\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{{ - 3}} = \frac{{z - 3}}{{ - 5}}\]

C. \[\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 3}}{5}\]

D. \[\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 3}}{{ - 5}}\]

Xem đáp án

Đường thẳng d1 có vectơ chỉ phương\[\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2; - 1;1} \right)\]

Gọi\[B = {\rm{\Delta }} \cap {d_2}\] suy ra\[B \in {d_2}\] nên\[B\left( {1 - t;1 + 2t; - 1 + t} \right)\]

Đường thẳng \[{\rm{\Delta }}\] có vectơ chỉ phương\[\overrightarrow {AB} = \left( { - t;2t - 1;t - 4} \right)\]

Theo giả thiết, ta có \[{\rm{\Delta }} \bot {d_1}\] nên

\[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_1}} = 0 \Leftrightarrow 2\left( { - t} \right) - 1\left( {2t - 1} \right) + \left( {t - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow t = - 1 \Rightarrow B\left( {2; - 1; - 2} \right)\]

Khi đó \[{\rm{\Delta }}\] đi qua hai điểm A(1;2;3) và B(2;−1;−2) nên

Đáp án cần chọn là: A

Câu 13:

Góc giữa hai đường thẳng có các VTCP lần lượt là \(\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} \) thỏa mãn:

A.\[\cos \varphi = \frac{{\left| {\vec u.\overrightarrow {u'} } \right|}}{{\left| {\vec u} \right|.\left| {\overrightarrow {u'} } \right|}}\]

B. \[\cos \varphi = \frac{{\vec u.\overrightarrow {u'} }}{{\left| {\vec u} \right|.\left| {\overrightarrow {u'} } \right|}}\]

C. \[\cos \varphi = - \frac{{\vec u.\overrightarrow {u'} }}{{\left| {\vec u} \right|.\left| {\overrightarrow {u'} } \right|}}\]

D. \[\cos \varphi = - \frac{{\left| {\vec u.\overrightarrow {u'} } \right|}}{{\left| {\vec u} \right|.\left| {\overrightarrow {u'} } \right|}}\]

Xem đáp án

Góc giữa hai đường thẳng có các VTCP lần lượt là\[\vec u,\overrightarrow {u'} \]

\[\cos \varphi = \left| {\cos \left( {\vec u,\overrightarrow {u'} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\vec u.\overrightarrow {u'} } \right|}}{{\left| {\vec u} \right|.\left| {\overrightarrow {u'} } \right|}}\]

Đáp án cần chọn là: A

Câu 14:

Cho hình lập phương A(0;0;0),B(1;0;0),D(0;1;0),A′(0;0;1). Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB,CD. Khoảng cách giữa MN và A′C là:

A.\[\frac{1}{{\sqrt 2 }}\]

B. \[\frac{{\sqrt 2 }}{4}\]

C. \(\frac{1}{2}\)

D. \[\frac{3}{{\sqrt 2 }}\]

Xem đáp án

Gọi C(x;y;z) ta có

\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 - 0 = x - 0}\\{0 - 0 = y - 1}\\{0 - 0 = z - 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{y = 1}\\{z = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow C(1;1;0)\)

Lại có

\[\begin{array}{*{20}{l}}{M\left( {\frac{1}{2};0;0} \right),N\left( {\frac{1}{2};1;0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {0;1;0} \right),\overrightarrow {A'C} = \left( {1;1; - 1} \right),\overrightarrow {MA'} = \left( { - \frac{1}{2};0;1} \right)}\\{ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {A'C} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{l}}1\\1\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{l}}0\\{ - 1}\end{array}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{l}}0\\{ - 1}\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{l}}0\\1\end{array}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{l}}0\\1\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{l}}1\\1\end{array}}\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 1;0; - 1} \right)}\end{array}\]

Vậy

\[d\left( {MN,A'C} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {A'C} } \right].\overrightarrow {MA'} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {A'C} } \right]} \right|}} = \frac{{\left| {\left( { - 1} \right).\left( { - \frac{1}{2}} \right) + 0.0 + \left( { - 1} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{2\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\]

Đáp án cần chọn là: B

Câu 15:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(0;0;2), B(1;0;0), C(2;2;0) và D(0;m;0). Điều kiện cần và đủ của m để khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 2 là:

A.\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 4}\\{m = - 2}\end{array}} \right.\)

B. \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = - 4}\\{m = 2}\end{array}} \right.\)

C. \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 4}\\{m = 2}\end{array}} \right.\)

D. \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = - 4}\\{m = - 2}\end{array}} \right.\)

Xem đáp án

Ta có\[\overrightarrow {AB} = \left( {1;0; - 2} \right),\overrightarrow {CD} = \left( { - 2;m - 2;0} \right)\] và\[\overrightarrow {AC} = \left( {2;2; - 2} \right)\]

Suy ra\[\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right] = \left( {2m - 4;4;m - 2} \right)\]

Do đó

\[d\left[ {AB,CD} \right] = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right].\overrightarrow {AC} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right]} \right|}} \Leftrightarrow \frac{{\left| {2\left( {2m - 4} \right) + 8 - 2\left( {m - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {2m - 4} \right)}^2} + {4^2} + {{\left( {m - 2} \right)}^2}} }} = 2\]

\[ \Leftrightarrow |2m + 4| = 2\sqrt {5{m^2} - 20m + 36} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 4}\\{m = 2}\end{array}} \right.\]

Đáp án cần chọn là: C

Câu 16:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình \[\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{{ - 4}}\;\] và \[d\prime :\frac{{x + 1}}{4} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{2}\;\;\]. Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng d nhưng thuộc đường thẳng d′?

A.N(4;0;−1)

B.M(1;−2;3) .

C.P(7;2;1) .

D.Q(7;2;3)

Xem đáp án

A:\[\frac{{4 - 1}}{3} = \frac{{0 + 2}}{2} = \frac{{ - 1 - 3}}{{ - 4}} = 1 \Rightarrow N \in d\]

B:\[\frac{{1 - 1}}{3} = \frac{{ - 2 + 2}}{2} = \frac{{3 - 3}}{{ - 4}} = 0 \Rightarrow M \in d\]

C:\[\frac{{7 - 1}}{3} = \frac{{2 + 2}}{2} \ne \frac{{1 - 3}}{{ - 4}} \Rightarrow P \notin d\] và\[\frac{{7 + 1}}{4} = \frac{2}{1} \ne \frac{{1 + 1}}{2} \Rightarrow P \notin d'\]

D:\[\frac{{7 - 1}}{3} = \frac{{2 + 2}}{2} \ne \frac{{3 - 3}}{{ - 4}} \Rightarrow Q \notin d\] và \[\frac{{7 + 1}}{4} = \frac{2}{1} = \frac{{3 + 1}}{2} \Rightarrow Q \in d'\]

Đáp án cần chọn là: D

Câu 17:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \({d_1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y = 2 + t}\\{z = 3}\end{array}} \right.\)và \({d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{y = 2 + 7t}\\{z = 3 + t}\end{array}} \right.\). Phương trình đường phân giác của góc nhọn giữa d1 và d2 là:

A.\[\frac{{x - 1}}{5} = \frac{{y - 2}}{{ - 12}} = \frac{{z - 3}}{1}\]

B. \[\frac{{x - 1}}{{ - 5}} = \frac{{y - 2}}{{12}} = \frac{{z - 3}}{1}\]

C. \[\frac{{x - 1}}{5} = \frac{{y - 2}}{{12}} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}\]

D. \[\frac{{x - 1}}{5} = \frac{{y - 2}}{{12}} = \frac{{z - 3}}{1}\]

Xem đáp án

\({d_1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y = 2 + t}\\{z = 3}\end{array}} \right.\) có 1 VTCP là\[\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1;1;0} \right),\,\,\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right| = \sqrt 2 \]

\({d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{y = 2 + 7t}\\{z = 3 + t}\end{array}} \right.\) có 1 VTCP là\[\overrightarrow {{u_2}} = \left( {0;7;1} \right),\,\,\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right| = 5\sqrt 2 \]

Ta có: \[\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} = 0 + 7 + 0 > 0 \Rightarrow \left( {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right) < {90^0}\]

⇒Đường phân giác góc nhọn giữa d₁ và d₂ có 1 VTCP\[\vec u = 5.\overrightarrow {{u_1}} + \overrightarrow {{u_2}} = \left( {5;12;1} \right)\]

Phương trình đường phân giác của góc nhọn giữa d₁ và d₂ là:

\[\frac{{x - 1}}{5} = \frac{{y - 2}}{{12}} = \frac{{z - 3}}{1}\]

Đáp án cần chọn là: D

Câu 18:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(−2;−2;1),A(1;2;−3) và đường thẳng \[d:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 5}}{2} = \frac{z}{{ - 1}}.\] Gọi \[\Delta \] là đường thẳng qua M, vuông góc với đường thẳng d, đồng thời cách điểm A một khoảng bé nhất. Khoảng cách bé nhất đó là

A.\[\sqrt {29} \]

B. 6

C. 5

D. \[\frac{{\sqrt {34} }}{9}\]

Xem đáp án

Gọi (P) là mặt phẳng qua M(−2;−2;1) và nhận\[\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;2; - 1} \right)\] làm VTPT

Phương trình mặt phẳng\[\left( P \right):2\left( {x + 2} \right) + 2\left( {y + 2} \right) - \left( {z - 1} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow 2x + 2y - z + 9 = 0\]

Suy ra\[{\rm{\Delta }} \subset \left( P \right)\]. Khi đó ta có \[d\left( {A,{\rm{\Delta }}} \right) \ge d\left( {A,\left( P \right)} \right)\]

Lại có\[d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.1 + 2.2 - \left( { - 3} \right) + 9} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 6\]

Vậy khoảng cách nhỏ nhất là d=6.

Đáp án cần chọn là: B

Câu 19:

Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng \[d:\,\,\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y - 4}}{1} = \frac{{z - 2}}{1}\] và 2 điểm A(6;3;−2); B(1;0;−1). Gọi \[\Delta \] là đường thẳng đi qua B, vuông góc với d và thỏa mãn khoảng cách từ A đến \[\Delta \] là nhỏ nhất. Một vectơ chỉ phương của \[\Delta \] có tọa độ :

A.(1;1;−3)

B.(1;−1;−1)

C.(1;2;−4)

D. (2;−1;−3)

Xem đáp án

Gọi (P) là mặt phẳng đi qua B và vuông góc với\[d \Rightarrow \left( P \right):\,\,2x + y + z - 1 = 0\]

\[{\rm{\Delta }}\] đi qua B và vuông góc với\[d \Rightarrow {\rm{\Delta }} \subset \left( P \right)\]

Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của A lên (P) và \[{\rm{\Delta }}\] ta có \[AH \le AK\]

Do đó để khoảng cách từ A đến \[{\rm{\Delta }}\] là nhỏ nhất\[ \Rightarrow H \in {\rm{\Delta }}\]

Phương trình AH đi qua A và nhận\[\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;1;1} \right)\] là 1 VTCP là\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 6 + 2t}\\{y = 3 + t}\\{z = - 2 + t}\end{array}} \right.\)\[\begin{array}{*{20}{l}}{H \in AH \Rightarrow H\left( {6 + 2t;3 + t; - 2 + t} \right)}\\{H \in \left( P \right) \Rightarrow 2\left( {6 + 2t} \right) + 3 + t - 2 + t - 1 = 0 \Leftrightarrow 6t + 12 = 0 \Leftrightarrow t = - 2}\\{ \Rightarrow H\left( {2;1; - 4} \right)}\end{array}\]

\[{\rm{\Delta }}\] đi qua B,H nhận\[\overrightarrow {BH} \left( {1;1; - 3} \right)\] là 1 VTCP.

Đáp án cần chọn là: A

Câu 20:

Trong không gian Oxyz cho điểm A(1;1;−2) và đường thẳng \[d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{{ - 2}}\]. Đường thẳng qua A và song song với d có phương trình tham số là

A.\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2t}\\{y = 1 - t}\\{z = - 2 - 2t}\end{array}} \right.\)

B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2t}\\{y = 1 + t}\\{z = - 2 - 2t}\end{array}} \right.\)

C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + t}\\{y = 1 + t}\\{z = 2 - 2t}\end{array}} \right.\)

D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + t}\\{y = 1 + t}\\{z = - 2 - 2t}\end{array}} \right.\)

Xem đáp án

Đường thẳng\[d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{{ - 2}}\] có 1 VTCP là \[\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;1; - 2} \right)\] đây cũng là VTCP của đường thẳng đi qua A và song song với d.

Đường thẳng qua A và song song với d nhận\[\vec u = \left( {2;1; - 2} \right)\] là VTCP, có phương trình tham số: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2t}\\{y = 1 + t}\\{z = - 2 - 2t}\end{array}} \right.\)

Đáp án cần chọn là: B

Câu 21:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y = 2 - t}\\{z = 1 - 3t}\end{array}} \right.\). Đường thẳng \[\Delta \] đi qua gốc tọa độ O, vuông góc với trục hoành Ox và vuông góc với đường thẳng d có phương trình là:

A.\(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{y = - 3t}\\{z = - t}\end{array}} \right.\)

B. \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = - 3t}\\{z = t}\end{array}} \right.\)

C. \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = - 3t}\\{z = - t}\end{array}} \right.\)

D. \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{y = - 3t}\\{z = t}\end{array}} \right.\)

Xem đáp án

Đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y = 2 - t}\\{z = 1 - 3t}\end{array}} \right.\) có 1 VTCP là\[\overrightarrow {{u_d}} = \left( {1; - 1; - 3} \right)\] trục Ox có 1 VTCP là\[\vec i = \left( {1;0;0} \right)\]

Gọi\[\overrightarrow {{u_{\rm{\Delta }}}} \] là 1 VTCP của đường thẳng \[{\rm{\Delta }}\], ta có

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\Delta \bot Ox}\\{\Delta \bot d}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {{u_\Delta }} .\overrightarrow i = 0}\\{\overrightarrow {{u_\Delta }} .\overrightarrow {{u_d}} = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }} = \left[ {\overrightarrow i ;\overrightarrow {{u_d}} } \right] = (0; - 3;1)\)

Vậy phương trình đường thẳng \[{\rm{\Delta }}\] đi qua O(0;0;0) và có 1 VTCP\[\overrightarrow {{u_{\rm{\Delta }}}} = \left( {0; - 3;1} \right)\] là:

\(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{y = - 3t}\\{z = t}\end{array}} \right.\)

Đáp án cần chọn là: D