Thứ năm, 28/03/2024
IMG-LOGO

Các quy tắc tính đạo hàm

Các quy tắc tính đạo hàm

  • 289 lượt thi

  • 38 câu hỏi

  • 30 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Tính đạo hàm của hàm số sau: \[y = {x^4} - 3{x^2} + 2x - 1\]v

Xem đáp án
\[y = {x^4} - 3{x^2} + 2x - 1 \Rightarrow y' = 4{x^3} - 3.2x + 2 = 4{x^3} - 6x + 2\]

Đáp án cần chọn là: D


Câu 2:

Tính đạo hàm của hàm số sau \[y = \frac{{2x + 1}}{{x + 2}}\]

Xem đáp án
\[y' = \frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^\prime }.\left( {x + 2} \right) - \left( {2x + 1} \right){{\left( {x + 2} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{2\left( {x + 2} \right) - 2x - 1}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{3}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\]

Đáp án cần chọn là: C


Câu 3:

Cho hàm số \[f\left( x \right) = \sqrt[3]{x}\]. Giá trị của  f′(8) bằng:

Xem đáp án

\[f\left( x \right) = \sqrt[3]{x} = {x^{\frac{1}{3}}} \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{1}{3}.{x^{\frac{1}{3} - 1}} = \frac{1}{3}{x^{ - \frac{2}{3}}} = \frac{1}{3}\frac{1}{{{x^{\frac{2}{3}}}}} = \frac{1}{3}\frac{1}{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}\]

\[ \Rightarrow f'\left( 8 \right) = \frac{1}{3}.\frac{1}{{\sqrt[3]{{{8^2}}}}} = \frac{1}{{12}}\]

Đáp án cần chọn là: B


Câu 4:

Cho hàm số \[y = \frac{3}{{1 - x}}\] thì x nhận các giá trị thuộc tập nào sau đây?

Xem đáp án

Bước 1:

\[y' = \frac{{3'\left( {1 - x} \right) - 3{{\left( {1 - x} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}} = \frac{{ - 3.\left( { - 1} \right)}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}} = \frac{3}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}\]

Bước 2:

Ta có\[y' = \frac{3}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}} > 0\,\,\forall x \ne 1\]

⇒Tập nghiệm của bất phương trình y′<0 là \[\emptyset \].

</0 là \[\emptyset>

Đáp án cần chọn là: C


Câu 5:

Hàm số nào sau đây có \[y' = 2x + \frac{1}{{{x^2}}}\]?

Xem đáp án

Đáp án B:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{y = \frac{{3\left( {x + 1} \right)}}{{{x^2}}}}\\{ \Rightarrow y' = 3.\frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^\prime }.{x^2} - \left( {x + 1} \right){{\left( {{x^2}} \right)}^\prime }}}{{{x^4}}}}\\{ = 3\frac{{{x^2} - 2x\left( {x + 1} \right)}}{{{x^4}}}}\\{ = 3\frac{{ - {x^2} - 2x}}{{{x^4}}} = - 3\frac{{x + 2}}{{{x^3}}}}\end{array}\]

Đáp án C: \[y' = \frac{{{{\left( {{x^3} + 5x - 1} \right)}^\prime }.x - \left( {{x^3} + 5x - 1} \right).x'}}{{{x^2}}}\]

\[ = \frac{{\left( {3{x^2} + 5} \right).x - {x^3} - 5x + 1}}{{{x^2}}} = \frac{{2{x^3} + 1}}{{{x^2}}} = 2x + \frac{1}{{{x^2}}}\]

Đáp án cần chọn là: C


Câu 6:

Đạo hàm của hàm số \[y = \frac{1}{{{x^3}}} - \frac{1}{{{x^2}}}\] là

Xem đáp án
\[\begin{array}{*{20}{l}}{y = \frac{1}{{{x^3}}} - \frac{1}{{{x^2}}} = {x^{ - 3}} - {x^{ - 2}}}\\{ \Rightarrow y' = - 3{x^{ - 4}} - \left( { - 2} \right){x^{ - 3}} = \frac{{ - 3}}{{{x^4}}} + \frac{2}{{{x^3}}}}\end{array}\]

Đáp án cần chọn là: B


Câu 7:

Đạo hàm của hàm số \[y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\,\,\left( {ac \ne 0} \right)\] là:

Xem đáp án
\[\begin{array}{*{20}{l}}{y' = \frac{{{{\left( {ax + b} \right)}^\prime }\left( {cx + d} \right) - \left( {ax + b} \right){{\left( {cx + d} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}} = \frac{{a\left( {cx + d} \right) - c\left( {ax + b} \right)}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}}}\\{ = \frac{{acx + ad - acx - bc}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}} = \frac{{ad - bc}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}}}\end{array}\]

Đáp án cần chọn là: B


Câu 8:

Tính đạo hàm của hàm số \[y = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}}\] ta được:

Xem đáp án
\[\begin{array}{*{20}{l}}{y' = \frac{{{{\left( {{x^2} - x + 1} \right)}^\prime }\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} - x + 1} \right){{\left( {x - 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {2x - 1} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} - x + 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}}\\{ = \frac{{2{x^2} - 2x - x + 1 - {x^2} + x - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}}\end{array}\]

Đáp án cần chọn là: A


Câu 9:

Tính đạo hàm của hàm số \[y = {\left( {{x^7} + x} \right)^2}\]

Xem đáp án
\[\begin{array}{*{20}{l}}{y = {{\left( {{x^7} + x} \right)}^2} = {x^{14}} + 2{x^8} + {x^2}}\\{ \Rightarrow y' = 14{x^{13}} + 2.8{x^7} + 2x}\\{ = 14{x^{13}} + 16{x^7} + 2x}\\{ = 2\left( {7{x^{13}} + 8{x^7} + x} \right)}\\{ = 2\left( {7{x^{13}} + 7{x^7} + {x^7} + x} \right)}\\{ = 2\left[ {7{x^6}\left( {{x^7} + x} \right) + {x^7} + x} \right]}\\{ = 2\left( {{x^7} + x} \right)\left( {7{x^6} + 1} \right)}\end{array}\]

Đáp án cần chọn là: D


Câu 10:

Đạo hàm của hàm số \[y = \frac{1}{{x\sqrt x }}\] là:

Xem đáp án
\[\begin{array}{*{20}{l}}{y = \frac{1}{{x\sqrt x }} = \frac{1}{{x.{x^{\frac{1}{2}}}}} = \frac{1}{{{x^{1 + \frac{1}{2}}}}} = \frac{1}{{{x^{\frac{3}{2}}}}} = {x^{ - \frac{3}{2}}}}\\{ \Rightarrow y' = - \frac{3}{2}{x^{ - \frac{3}{2} - 1}} = - \frac{3}{2}{x^{ - \frac{5}{2}}} = - \frac{3}{2}\frac{1}{{{x^{\frac{5}{2}}}}} = - \frac{3}{2}\frac{1}{{{x^2}\sqrt x }}}\end{array}\]

Đáp án cần chọn là: D


Câu 11:

Đạo hàm của hàm số \[y = \sin 2x\] là:

Xem đáp án

Bước 1:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{y = \sin 2x = 2\sin x\cos x}\\{ \Rightarrow y' = {{\left( {2\sin x\cos x} \right)}^\prime }}\\{ = 2{{\left( {\sin x\cos x} \right)}^\prime }}\\{ = 2\left[ {{{\left( {\sin x} \right)}^\prime }.\cos x + \sin x.{{\left( {\cos x} \right)}^\prime }} \right]}\end{array}\]

Bước 2:

\[ = 2\left( {{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right) = 2\cos 2x\]

Đáp án cần chọn là: C


Câu 12:

Cho hàm số \[y = \frac{{2{x^2} + 3x - 1}}{{{x^2} - 5x + 2}}\]. Đạo hàm y’ của hàm số là:

Xem đáp án

\[y\prime = \frac{{(2{x^2} + 3x - 1)\prime ({x^2} - 5x + 2) - (2{x^2} + 3x - 1)({x^2} - 5x + 2)\prime }}{{{{({x^2} - 5x + 2)}^2}}}\]

\[y\prime = \frac{{(4x + 3)({x^2} - 5x + 2) - (2{x^2} + 3x - 1)(2x - 5)}}{{{{({x^2} - 5x + 2)}^2}}}\]

\( = \frac{{4{x^3} - 20{x^2} + 8x + 3{x^2} - 15x + 6 - 4{x^3} - 6{x^2} + 2x + 10{x^2} + 15x - 5}}{{{{({x^2} - 5x + 2)}^2}}}\)

\[y\prime = \frac{{ - 13{x^2} + 10x + 1}}{{{{({x^2} - 5x + 2)}^2}}}\]

Đáp án cần chọn là: D


Câu 13:

Cho hàm số \[f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 1\]. Đạo hàm của hàm số f(x) âm khi và chỉ khi

Xem đáp án

Có: \[f'\left( x \right) = 3{x^2} - 3.2x = 3{x^2} - 6x\]

\[f'\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x < 0 \Leftrightarrow 0 < x < 2\]

Đáp án cần chọn là: A


Câu 14:

Cho hàm số \[f\left( x \right) = {\left( {\sqrt x - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^3}\]. Hàm số có đạo hàm f′(x) bằng:

Xem đáp án

\[f(x) = {(\sqrt x - \frac{1}{{\sqrt x }})^3} = {(\sqrt x )^3} - 3{(\sqrt x )^2}.\frac{1}{{\sqrt x }} + 3\sqrt x {(\frac{1}{{\sqrt x }})^2} - {(\frac{1}{{\sqrt x }})^3}\]

\[f(x) = {x^{\frac{3}{2}}} - 3\sqrt x + \frac{3}{{\sqrt x }} - \frac{1}{{{x^{\frac{3}{2}}}}}\]

\[f(x) = {x^{\frac{3}{2}}} - 3\sqrt x + 3{x^{ - \frac{1}{2}}} - {x^{ - \frac{3}{2}}}\]

\[f\prime (x) = \frac{3}{2}{x^{\frac{3}{2} - 1}} - \frac{3}{{2\sqrt x }} + 3.( - \frac{1}{2}){x^{ - \frac{1}{2} - 1}} + \frac{3}{2}{x^{ - \frac{3}{2} - 1}}\]

\[f\prime (x) = \frac{3}{2}\sqrt x - \frac{3}{{2\sqrt x }} - \frac{3}{2}{x^{ - \frac{3}{2}}} + \frac{3}{2}{x^{ - \frac{5}{3}}}\]

\[f\prime (x) = \frac{3}{2}(\sqrt x - \frac{1}{{\sqrt x }} - \frac{1}{{x\sqrt x }} + \frac{1}{{{x^2}\sqrt x }})\]

Đáp án cần chọn là: D


Câu 15:

Đạo hàm của hàm số \[y = {\tan ^2}x - co{t^2}x\] là:

Xem đáp án

\[y = ta{n^2}x - co{t^2}x = (tanx - cotx)(tanx + cotx)\]

\[y\prime = (tanx - cotx)\prime (tanx + cotx) + (tanx - cotx)(tanx + cotx)\prime \]

\[y\prime = (\frac{1}{{co{s^2}x}} + \frac{1}{{si{n^2}x}})(tanx + cotx) + (tanx - cotx)(\frac{1}{{co{s^2}x}} - \frac{1}{{si{n^2}x}})\]

\[y\prime = \frac{{tanx}}{{co{s^2}x}} + \frac{{cotx}}{{co{s^2}x}} + \frac{{tanx}}{{si{n^2}x}} + \frac{{cotx}}{{si{n^2}x}} + \frac{{tanx}}{{co{s^2}x}} - \frac{{tanx}}{{si{n^2}x}} - \frac{{cotx}}{{co{s^2}x}} + \frac{{cotx}}{{si{n^2}x}}\]

\[y\prime = 2\frac{{tanx}}{{co{s^2}x}} + 2\frac{{cotx}}{{si{n^2}x}}\]

Đáp án cần chọn là: A


Câu 16:

Cho hàm số \[f\left( x \right) = \tan \left( {x - \frac{{2\pi }}{3}} \right)\]. Giá trị f′(0) bằng:

Xem đáp án

\[f(x) = tan(x - \frac{{2\pi }}{3}) = \frac{{tanx - tan\frac{{2\pi }}{3}}}{{1 + tanx.tan\frac{{2\pi }}{3}}} = \frac{{tanx + \sqrt 3 }}{{1 - \sqrt 3 tanx}}.(tanx + \sqrt 3 )\prime (1 - \sqrt 3 tanx)\]

\[f\prime (x) = \frac{{ - (tanx + \sqrt 3 )(1 - \sqrt 3 tanx)\prime }}{{{{\left( {1 - \sqrt 3 tanx} \right)}^2}}}\]

\[f\prime (x) = \frac{{\frac{1}{{co{s^2}x}}(1 - \sqrt 3 tanx) - (tanx + \sqrt 3 )( - \frac{{\sqrt 3 }}{{co{s^2}x}})}}{{{{(1 - \sqrt 3 tanx)}^2}}}\]

\[f\prime (x) = \frac{{\frac{1}{{co{s^2}x}} - \frac{{\sqrt 3 tanx}}{{co{s^2}x}} + \frac{{\sqrt 3 tanx}}{{co{s^2}x}} + \frac{3}{{co{s^2}x}}}}{{{{(1 - \sqrt 3 tanx)}^2}}}\]

\(f\prime (x) = \frac{4}{{co{s^2}x{{(1 - \sqrt 3 tanx)}^2}}}\)

\[ \Rightarrow f\prime (0) = \frac{4}{{1\left( {1 - \sqrt 3 .0} \right)}} = 4\]

Đáp án cần chọn là: B


Câu 17:

Hàm số \[y = {\tan ^2}\frac{x}{2}\] có đạo hàm là:

Xem đáp án

Bước 1:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( {{{\tan }^2}\frac{x}{2}} \right)}^\prime } = 2\tan \frac{x}{2}{{\left( {\tan \frac{x}{2}} \right)}^\prime }}\end{array}\]

Bước 2:

\[ = 2\tan \frac{x}{2}.\frac{{{{\left( {\frac{x}{2}} \right)}^\prime }}}{{{{\cos }^2}\frac{x}{2}}}\]

\[ = 2\tan \frac{x}{2}.\frac{{\frac{1}{2}}}{{{{\cos }^2}\frac{x}{2}}} = \frac{{\sin \frac{x}{2}}}{{\cos \frac{x}{2}}}.\frac{1}{{{{\cos }^2}\frac{x}{2}}} = \frac{{\sin \frac{x}{2}}}{{{{\cos }^3}\frac{x}{2}}}\]

Đáp án cần chọn là: C


Câu 18:

Đạo hàm của hàm số \[y = x\left( {2x - 1} \right)\left( {3x + 2} \right){\left( {\sin x - \cos x} \right)^\prime }\]là:

Xem đáp án

\[y = x(2x - 1)(3x + 2)(sinx - cosx)\prime \]

\[ = (6{x^3} + {x^2} - 2x)(sinx + cosx)\]

\[ \Rightarrow y\prime = (6{x^3} + {x^2} - 2x)\prime (sinx + cosx) + (6{x^3} + {x^2} - 2x)(sinx + cosx)\prime \]

\[y\prime = (18{x^2} + 2x - 2)(sinx + cosx) + (6{x^3} + {x^2} - 2x)(cosx - sinx)\]

\[y\prime = sinx(18{x^2} + 2x - 2 - 6{x^3} - {x^2} + 2x) + cosx(18{x^2} + 2x - 2 + 6{x^3} + {x^2} - 2x)\]

\[y\prime = sinx( - 6{x^3} + 17{x^2} + 4x - 2) + cosx(6{x^3} + 19{x^2} - 2)\]

Đáp án cần chọn là: A


Câu 19:

Tính đạo hàm của hàm số sau: \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - 3x + 1\,khi\,x > 1}\\{2x + 2\,\,khi\,x \le 1}\end{array}} \right.\) ta được:

Xem đáp án

Với x>1 ta có:\[f\left( x \right) = {x^2} - 3x + 1 \Rightarrow f'\left( x \right) = 2x - 3\]

Với x<1 ta có : \[f\left( x \right) = 2x + 2 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = 2\]

Với x=1 ta có :\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^2} - 3x + 1} \right) = - 1 \ne f\left( 1 \right) = 4\] Hàm số không liên tục tại x=1, do đó không có đạo hàm tại x=1.

Vậy\(f'\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - 3\,khi\,x > 1}\\{2\,khi\,x < 1}\end{array}} \right.\)

Đáp án cần chọn là: B


Câu 20:

Tìm m để hàm số \[y = \frac{{m{x^3}}}{3} - m{x^2} + \left( {3m - 1} \right)x + 1\] có \[y\prime \le 0\forall x \in R\]

Xem đáp án

\[\begin{array}{*{20}{l}}{y = \frac{{m{x^3}}}{3} - m{x^2} + \left( {3m - 1} \right)x + 1}\\{ \Rightarrow y' = m{x^2} - 2mx + 3m - 1}\\{y' \le 0,\forall x \in R \Rightarrow m{x^2} - 2mx + 3m - 1 \le 0,\forall x \in R}\end{array}\]

TH1: \[m = 0,\] khi đó \[BPT \Leftrightarrow - 1 \le 0\] đúng\[\forall x \in R\]

TH2:

\[m \ne 0 \Leftrightarrow y\prime \le 0\forall x \in R \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = m < 0}\\{\Delta \prime = {m^2} - m(3m - 1) \le 0}\end{array}} \right.\]

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m < 0}\\{ - 2{m^2} + m \le 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m < 0}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \le 0}\\{m \ge \frac{1}{2}}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\)

\[ \Leftrightarrow m < 0\]

Kết hợp cả 2 trường hợp ta có\[m \le 0\] là những giá trị cần tìm.

Đáp án cần chọn là: C


Câu 21:

Cho \[u = u(x)\] và \[v = v(x)\;\] là các hàm số có đạo hàm. Khẳng định nào sau đây sai

Xem đáp án
\[{\left( {\frac{u}{v}} \right)^\prime } = \frac{{uv - vu}}{{{v^2}}}\]

Đáp án cần chọn là: D


Câu 22:

Đạo hàm của hàm số \[y = x + {\sin ^2}x\] là

Xem đáp án
\[y' = x' + {\left( {{{\sin }^2}x} \right)^\prime } = 1 + 2.\sin x.\cos x = 1 + \sin 2x\]

Đáp án cần chọn là: B


Câu 23:

Đạo hàm của hàm số \[y = {(5x - 1)^2}\] là

Xem đáp án
\[y' = 2.(5x - 1)'.(5x - 1) = 2.5.\left( {5x - 1} \right) = 50x - 10\]

Đáp án cần chọn là: B


Câu 24:

Đạo hàm của hàm số \[y = \frac{1}{{{x^2}}}\] là

Xem đáp án

Bước 1:

\[\frac{1}{{{x^2}}} = {x^{ - 2}}\]

Bước 2:

\[ \Rightarrow y' = {\left( {{x^{ - 2}}} \right)^\prime } = - 2.{x^{ - 3}} = \frac{{ - 2}}{{{x^3}}}\]

Đáp án cần chọn là: C


Câu 25:

Đạo hàm của hàm số \[y = 2\sin x - 3\cos x\] là

Xem đáp án

\[y' = {\left( {2\sin x - 3\cos x} \right)^\prime }\]

\[ = {\left( {2\sin x} \right)^\prime } - {\left( {3\cos x} \right)^\prime }\]

\[ = 2(\sin x)' - 3(\cos x)'\]

\[ = 2.\cos x + 3\sin x\]

Đáp án cần chọn là: A


Câu 26:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm \[f\prime (x) = 2x + 4\;\] với mọi \[x \in \mathbb{R}\]. Hàm số \[g(x) = 2f(x) + 3x - 1\;\] có đạo hàm là

Xem đáp án

\[g'\left( x \right) = 2.f'\left( x \right) + 3 = 2.\left( {2x + 4} \right) + 3 = 4x + 11\]

Đáp án cần chọn là: D


Câu 27:

Cho hàm số \[f(x) = {(2x - 1)^3}\]. Giá trị của f′(1) bằng

Xem đáp án

Bước 1:

Ta có:\[f'\left( x \right) = 3.{\left( {2x - 1} \right)^\prime }.{\left( {2x - 1} \right)^2} = 3.2.{\left( {2x - 1} \right)^2} = 6.{\left( {2x - 1} \right)^2}\]

Bước 2:

\[f'\left( 1 \right) = 6.{\left( {2.1 - 1} \right)^2} = 6.1 = 6\]

Đáp án cần chọn là: B


Câu 28:

Khẳng định nào sau đây sai

Xem đáp án

\[{\left( {\frac{1}{x}} \right)^\prime } = - \frac{1}{{{x^2}}}\]

=> Đáp án A sai.

Đáp án cần chọn là: A


Câu 29:

Đạo hàm của hàm số \[y = \tan x - \cot x\] là

Xem đáp án
\[y' = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}} = \frac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x}} = \frac{1}{{{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x}}\]

Đáp án cần chọn là: A


Câu 30:

Tính đạo hàm của hàm số \[y = (3x - 1)\sqrt {{x^2} + 1} \]

Xem đáp án

Bước 1:

\[y' = {\left( {3x - 1} \right)^\prime }.\sqrt {{x^2} + 1} + \left( {3x - 1} \right).{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right)^\prime }\]

Bước 2:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{ = 3.\sqrt {{x^2} + 1} + \left( {3x - 1} \right).\frac{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^\prime }}}{{2.\sqrt {{x^2} + 1} }}}\\{ = 3.\sqrt {{x^2} + 1} + \left( {3x - 1} \right).\frac{{2x}}{{2.\sqrt {{x^2} + 1} }}}\\{ = 3.\sqrt {{x^2} + 1} + \left( {3x - 1} \right).\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}}\end{array}\]

Bước 3:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{ = \frac{{3.\left( {{x^2} + 1} \right) + 3{x^2} - x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}}\\{ = \frac{{6{x^2} - x + 3}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}}\end{array}\]

Đáp án cần chọn là: D


Câu 31:

Cho hàm số \[y = \sqrt {10x - {x^2}} \]. Giá trị của y′(2) bằng

Xem đáp án

Bước 1:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{y' = \frac{{{{\left( {10x - {x^2}} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {10x - {x^2}} }} = \frac{{10 - 2x}}{{2\sqrt {10x - {x^2}} }}}\\{ = \frac{{5 - x}}{{\sqrt {10x - {x^2}} }}}\end{array}\]

Bước 2:

Thay x=2 vào y′:

\[y'(2) = \frac{{5 - 2}}{{\sqrt {10 \cdot 2 - {2^2}} }} = \frac{3}{4}\]

Đáp án cần chọn là: C


Câu 32:

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên  \(\mathbb{R}\) Xét các hàm số \[g(x) = f(x) - f(2x)\] và \[h(x) = f(x) - f(4x)\] Biết rằng \[g\prime \left( 1 \right) = 21\;\] và \[g\prime \left( 2 \right) = 1000\]. Tính h′(1)

Xem đáp án

Bước 1:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - 2f'\left( {2x} \right)}\\{h'\left( x \right) = f'\left( x \right) - 4f'\left( {4x} \right)}\end{array}\]

Bước 2:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{g'\left( 1 \right) = f'\left( 1 \right) - 2f'\left( 2 \right) = 21}\\{g'\left( 2 \right) = f'\left( 2 \right) - 2f'\left( 4 \right) = 1000}\\{ \Rightarrow 2f'\left( 2 \right) - 4f'\left( 4 \right) = 2000}\\{h'\left( 1 \right) = f'\left( 1 \right) - 4f'\left( 4 \right)}\\{ = g'\left( 1 \right) + 2g'\left( 2 \right) = 2021}\end{array}\]

Đáp án cần chọn là: B


Câu 34:

Cho hàm số y=f(x))  liên trục trên \(\mathbb{R}\) , \[f\prime (x) = 0\;\] có đúng hai nghiệm \[x = 1;x = 2\;\]. Hàm số \[g(x) = f({x^2} + 4x - m)\;\], có bao nhiêu giá trị nguyên của \[m \in [ - 21;21]\;\] để phương trình \[g\prime (x) = 0\;\] có nhiều nghiệm nhất?

Xem đáp án

Bước 1:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{f'(1) = f'(2) = 0}\\{g(x) = f\left( {{x^2} + 4x - m} \right)}\\{g'(x) = (2x + 4) \cdot f'\left( {{x^2} + 4x - m} \right)}\end{array}\]

Bước 2:

\[\begin{array}{l}g\prime (x) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 2}\\{f\prime ({x^2} + 4x - m) = 0(1)}\end{array}} \right.\end{array}\]

(1) có tối đa nghiệm khi và chỉ khi cả 2 phương trình

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 4x - m = 1}\\{{x^2} + 4x - m = 2}\end{array}} \right.\) đều có 2 nghiệm.

Bước 3:

\[{x^2} + 4x - m = 1\]  có 2 nghiệm khi và chỉ khi

\[{\rm{\Delta '}} = m + 5 > 0 \Leftrightarrow m > - 5\]

\[{x^2} + 4x - m = 2\]  có 2 nghiệm khi và chỉ khi

\[{\rm{\Delta '}} = m + 6 > 0 \Leftrightarrow m > - 6\]

Vậy m>−5

Bước 4:

Mà \[m \in \left[ { - 21;21} \right]\] nên m là các số nguyên từ -4 đến 21.

Số các giá trị của m là 21-(-4)+1=26.

Đáp án cần chọn là: D


Câu 35:

Một chất điểm chuyển động theo phương trình \[S = - \frac{1}{3}{t^3} + 6{t^2}\], trong đó t>0,t được tính bằng giây (s) và S tính bằng mét (m). Vận tốc của chất điểm tại thời điểm t=3 (giây) bằng

Xem đáp án

Bước 1:

Vận tốc v(t) là đạo hàm của hàm S=S(t).

\[ \Rightarrow v\left( t \right) = S'\left( t \right) = - {t^2} + 12t\]

Bước 2:

Vận tốc của chất điểm tại thời điểm t=3 (giây) bằng:

\[ \Rightarrow v\left( 3 \right) = - 9 + 36 = 27m/s\]

Đáp án cần chọn là: C


Câu 36:

Tính đạo hàm của hàm số \[y = \frac{{\sin 2x + 2}}{{\cos 2x + 3}}\]

Xem đáp án

Bước 1:

\[y' = \frac{{{{\left( {\sin 2x + 2} \right)}^\prime }\left( {\cos 2x + 3} \right) - {{\left( {\cos 2x + 3} \right)}^\prime }\left( {\sin 2x + 2} \right)}}{{{{\left( {\cos 2x + 3} \right)}^2}}}\]

Bước 2:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{y' = \frac{{2cox2x\left( {\cos 2x + 3} \right) + 2\sin 2x\left( {\sin 2x + 2} \right)}}{{{{\left( {\cos 2x + 3} \right)}^2}}}}\\{ = \frac{{2\left( {{{\cos }^2}2x + {{\sin }^2}2x} \right) + 6\cos 2x + 4\sin 2x}}{{{{\left( {\cos 2x + 3} \right)}^2}}}}\\{ = \frac{{2\left( {3\cos 2x + 2\sin 2x + 1} \right)}}{{{{\left( {\cos 2x + 3} \right)}^2}}}}\end{array}\]

Đáp án cần chọn là: B


Câu 37:

Cho hàm số \[f\left( x \right) = \left( {x - 2} \right)\sqrt {{x^2} - 1} \], tìm tập nghiệm S của bất phương trình \[f\prime (x) \le \sqrt {{x^2} - 1} \]

Xem đáp án

Bước 1:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{f'\left( x \right) = \sqrt {{x^2} - 1} + \left( {x - 2} \right).\frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}}\\{ = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) + \left( {x - 2} \right).x}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}}\\{ = \frac{{2{x^2} - 2x - 1}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}}\end{array}\]

Bước 2:

\[f\prime (x) \le \sqrt {{x^2} - 1} \]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{2{x^2} - 2x - 1}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} \le \sqrt {{x^2} - 1} \\ \Leftrightarrow \frac{{2{x^2} - 2x - 1}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} - \sqrt {{x^2} - 1} \le 0\end{array}\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{2{x^2} - 2x - 1 - ({x^2} - 1)}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} \le 0\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - 2x}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} \le 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - 2x \le 0}\\{{x^2} - 1 > 0}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 \le x \le 2}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 1}\\{x < - 1}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow 1 < x \le 2\\ = > S = (1;2]\end{array}\]

Đáp án cần chọn là: A


Câu 38:

Tính đạo hàm của hàm số \[f\left( x \right) = x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)...\left( {x - 2018} \right)\] tại điểm x=0.

Xem đáp án

\[f\left( x \right) = x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)...\left( {x - 2018} \right)\]

\[\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow f'\left( x \right) = 1.\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)...\left( {x - 2018} \right) + x.1.\left( {x - 2} \right)...\left( {x - 2018} \right) + x\left( {x - 1} \right).1.\left( {x - 2} \right)...\left( {x - 2018} \right) + ... + }\\{x.\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)...\left( {x - 2017} \right).1}\end{array}\]\[ \Rightarrow f'\left( 0 \right) = 1.\left( { - 1} \right)\left( { - 2} \right)...\left( { - 2018} \right) + 0 + 0 + ... + 0 = 1.2...2018.{( - 1)^{2018}} = 2018!\]

Đáp án cần chọn là: C


Bắt đầu thi ngay