16 câu hỏi trắc nghiệm thuộc ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định lượng - Phương trình đường elip

Câu 1:

Cho elip (E) có phương trình chính tắc là \[\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\]. Gọi 2c là tiêu cự của (E). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A.\[{c^2} = {a^2} + {b^2}\]

b. \[{b^2} = {a^2} + {c^2}\]

C. \[{a^2} = {b^2} + {c^2}\]

D. \[c = a + b\]

Xem đáp án

Theo lý thuyết phương trình chính tắc của elip có \[{a^2} = {b^2} + {c^2}\]

Đáp án cần chọn là: C

Câu 2:

Cho elip (E) có tiêu cự là 2c, độ dài trục lớn và trục nhỏ lần lượt là 2a và 2b. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A.c

B.c

C.c>b>a.

D.c

Xem đáp án

Vì \[{a^2} = {b^2} + {c^2}\]và\[a,b,c >0\]nên ta có\[{a^2} >{c^2} \Leftrightarrow a >c\] Hiển nhiên\[b < a\]

Đáp án cần chọn là: D

Câu 3:

Cho elip (E) có hai tiêu điểm là F1,F2 và có độ dài trục lớn là 2a. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A.\[2a = {F_1}{F_2}\]

B. \[2a >{F_1}{F_2}\]

C. \[2a < {F_1}{F_2}\]

D. \[4a = {F_1}{F_2}\]

Xem đáp án

Elip (E) có hai tiêu điểm là \[{F_1},{F_2}\] ta có \[2c = {F_1}{F_2}\].

Vì \[{a^2} = {b^2} + {c^2}\] và \[a,b,c >0\] nên ta có \[{a^2} >{c^2} \Leftrightarrow a >c\]. Do đó \[2a >{F_1}{F_2}\]

Đáp án cần chọn là: B

Câu 4:

Elip (E) có độ dài trục bé bằng tiêu cự. Tâm sai của (E) là:

A.\[\frac{1}{{\sqrt 2 }}\]

B. \[\frac{2}{{\sqrt 2 }}\]

C. \[\frac{1}{3}\]

D. 1

Xem đáp án

Elip có độ dài trục bé bằng tiêu cự nên ta có b=c

Mặt khác ta có\[{a^2} = {b^2} + {c^2}\], suy ra\[{a^2} = 2{c^2}\]hay\[a = \sqrt 2 c\]

Tâm sai của elip là:\[e = \frac{c}{a} = \frac{c}{{\sqrt 2 c}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\]

Đáp án cần chọn là: A

Câu 5:

Cho elip \[(E):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\]và cho các mệnh đề:

1. (E) có các tiêu điểm F1(0;−4) và F2(0;4)

2. (E) có tỉ số \(\frac{c}{a} = \frac{4}{5}\)

3. (E) có đỉnh A1(−5;0)

4. (E) có độ dài trục nhỏ bằng 3.

Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề trên:

A.1 và 2

B.2 và 3

C.1 và 3

D.4 và 1

Xem đáp án

Từ phương trình elip\[(E):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\] ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 5}\\{b = 3}\\{c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = 4}\end{array}} \right.\)

Suy ra ta có:

1. (E) có các tiêu điểm F1(−4;0) và F2(4;0) nên (1) sai.

2. (E) có tỉ số \[\frac{c}{a} = \frac{4}{5}\] nên (2) đúng.

3. (E) có đỉnh A1(−5;0)) nên (3) đúng.

4. (E) có độ dài trục nhỏ bằng 2b=6 nên (4) sai.

Vậy các mệnh đề sai là (1) và (4).

Đáp án cần chọn là: D

Câu 6:

Elip có độ dài trục lớn là 12, độ dài trục nhỏ là 8 có phương trình chính tắc là:

A.\[\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\]

B. \[\frac{{{x^2}}}{{144}} + \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1\]

C. \[\frac{{{x^2}}}{{12}} + \frac{{{y^2}}}{8} = 1\]

D. \[\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\]

Xem đáp án

Độ dài trục lớn là 12, suy ra 2a=12 hay a=6

Độ dài trục nhỏ là 8, suy ra 2b=8 hay b=4

Vậy elip cần tìm là \[\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\]

Đáp án cần chọn là: A

Câu 7:

Phương trình chính tắc của elip có độ dài trục lớn là 20, tâm sai là \(e = \frac{3}{5}\) là:

A.\[\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\]

B. \[\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1\]

C. \[\frac{{{x^2}}}{{400}} + \frac{{{y^2}}}{{256}} = 1\]

D. \[\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{49}} = 1\]

Xem đáp án

Độ dài trục lớn là 20, suy ra 2a=20 hay a=10

Tâm sai\[e = \frac{3}{5}\] suy ra\[\frac{c}{a} = \frac{3}{5}\] suy ra c=6

Mặt khác, ta có\[{a^2} = {b^2} + {c^2}\] suy ra\[{b^2} = {a^2} - {c^2} = 100 - 36 = 64\]

Đáp án cần chọn là: B

Câu 8:

Phương trình chính tắc của elip có tiêu cự là 6, tâm sai là \[e = \frac{3}{5}\]

A.\[\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\]

B. \[\frac{{{x^2}}}{{64}} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\]

C. \[\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1\]

D. \[\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\]

Xem đáp án

Tiêu cự elip bằng 6, suy ra 2c=6 hay c=3

Tâm sai \[e = \frac{3}{5}\] suy ra \[\frac{c}{a} = \frac{3}{5}\] suy ra a=5

Mặt khác, ta có\[{a^2} = {b^2} + {c^2}\] suy ra\[{b^2} = {a^2} - {c^2} = 25 - 9 = 16\]

Đáp án cần chọn là: D

Câu 9:

Phương trình chính tắc của elip có hai đỉnh là A(5;0) và B(0;3) là:

A.\[\frac{{{x^2}}}{5} + \frac{{{y^2}}}{3} = 1\]

B. \[\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\]

C. \[\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\]

D. \[\frac{{{x^2}}}{{10}} + \frac{{{y^2}}}{6} = 1\]

Xem đáp án

Elip có hai đỉnh là A(5;0) và B(0;3) suy ra a=5 và b=3. Do đó, phương trình chính tắc của elip là: \[\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\]

Đáp án cần chọn là: C

Câu 10:

Cho elip chính tắc (E) có tiêu điểm F1(4;0) và một đỉnh là A(5;0). Phương trình chính tắc của elip (E)là:

A.\[\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\]

B. \[\frac{{{x^2}}}{5} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\]

C. \[\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\]

D. \[\frac{x}{5} + \frac{y}{4} = 1\]

Xem đáp án

Elip có tiêu điểm F1(4;0)suy ra c=4, elip có một đỉnh là A(5;0) suy ra a=5

Mặt khác ta có\[{b^2} = {a^2} - {c^2} = 25 - 16 = 9\]

Vậy elip có phương trình là\[\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\]

Đáp án cần chọn là: C

Câu 11:

Phương trình chính tắc của elip có hai tiêu điểm là F1(−1;0),F2(1;0) và tâm sai \(e = \frac{1}{5}\) là:

A.\[\frac{{{x^2}}}{{24}} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\]

B. \[\frac{{{x^2}}}{{24}} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = - 1\]

C. \[\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{24}} = 1\]

D. \[\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{24}} = - 1\]Trả lời:

Xem đáp án

Elip có hai tiêu điểm là F1(−1;0),F2(1;0) suy ra c=1

Elip có tâm sai\[e = \frac{1}{5}\] suy ra\[\frac{c}{a} = \frac{1}{5} \Rightarrow a = 5\]

Mặt khác ta có\[{b^2} = {a^2} - {c^2} = 25 - 1 = 24\]

Vậy elip có phương trình là\[\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{24}} = 1\]

Đáp án cần chọn là: C

Câu 12:

Phương trình chính tắc của elip có một đỉnh là B(0;−2), tiêu cự là \(2\sqrt 5 \) là:

A.\[\frac{{{x^2}}}{7} + \frac{{{y^2}}}{2} = 1\]

B.\[\frac{{{x^2}}}{{20}} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\]

C. \[\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\]

D. \[\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\]

Xem đáp án

Elip có một đỉnh là B(0;−2) suy ra b=2

Elip có tiêu cự là \[2\sqrt 5 \] suy ra\[c = 2\sqrt 5 \Leftrightarrow c = \sqrt 5 \]

Mặt khác ta có\[{a^2} = {b^2} + {c^2} = 4 + 5 = 9\]

Vậy elip có dạng\[\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\]

Đáp án cần chọn là: D

Câu 13:

Phương trình chính tắc của elip có một đỉnh là A(0;−4), tâm sai \(e = \frac{3}{5}\).

A.\[\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\]

B. \[\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\]

C. \[\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\]

D. \[\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\]

Xem đáp án

Elip có một đỉnh là A(0;−4)suy ra b=4

Tâm sai \[e = \frac{3}{5}\] suy ra ta có\[\frac{c}{a} = \frac{3}{5}\] Vì a, c >0 nên ta có \[\frac{{{c^2}}}{{{a^2}}} = \frac{9}{{25}} \Leftrightarrow 25{c^2} - 9{a^2} = 0\]

Mặt khác ta có\[{a^2} - {c^2} = {b^2} = 16\]

Ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{9{a^2} - 25{c^2} = 0}\\{{a^2} - {c^2} = 16}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} = 25}\\{{c^2} = 9}\end{array}} \right.\)Vậy phương trình của elip là:\[\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\]

Đáp án cần chọn: C

Câu 14:

Phương trình chính tắc của elip có đỉnh là A(2;0) và đi qua \[M( - 1;\frac{{\sqrt 3 }}{2})\] là:

A.\[\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\]

B. \[\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{2} = 1\]

C. \[\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\]

D. \[\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\]

Xem đáp án

Elip có đỉnh là A(2;0) suy ra a=2. Phương trình elip cần tìm có dạng\[\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\]

Vì elip qua\[M( - 1;\frac{{\sqrt 3 }}{2})\] nên ta có\[\frac{1}{4} + \frac{3}{{4{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow {b^2} = 1\]

Vậy elip có phương trình là\[\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\]

Đáp án cần chọn là: A

Câu 15:

Phương trình chính tắc của elip có đi qua hai điểm \[M\left( {2\sqrt 2 ;\frac{1}{3}} \right)\] và \[N\left( {2;\frac{{\sqrt 5 }}{3}} \right)\] là:

A.\[\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\]

B. \[\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\]

C. \[\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\]

D. \[\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\]Trả lời:

Xem đáp án

Phương trình elip cần tìm có dạng\[\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\]

Vì elip qua\[M\left( {2\sqrt 2 ;\frac{1}{3}} \right)\] nên ta có\[\frac{8}{{{a^2}}} + \frac{1}{{9{b^2}}} = 1\]

Vì elip qua\[N\left( {2;\frac{{\sqrt 5 }}{3}} \right)\] nên ta có\[\frac{4}{{{a^2}}} + \frac{5}{{9{b^2}}} = 1\]

Ta có hệ phương trình\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{8}{{{a^2}}} + \frac{1}{{9{b^2}}} = 1}\\{\frac{4}{{{a^2}}} + \frac{5}{{9{b^2}}} = 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} = 9}\\{{b^2} = 1}\end{array}} \right.\)

Vậy elip có phương trình là\[\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\]

Đáp án cần chọn là: C

Câu 16:

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho elip \[\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\]có hai tiêu điểm F1,F2. Biết rằng, điểm M là điểm có tung độ yM dương thuộc elip (E) sao cho bán kính đường tròn nội tiếp tam giác MF1F2 bằng 43. Khẳng định nào sau đây đúng?

A.\[{y_M} \in \left( {0;\sqrt 3 } \right)\]

B. \[{y_M} \in \left( {2;\sqrt 8 } \right)\]

C. \[{y_M} \in \left( {\sqrt 8 ;5} \right)\]

D. \[{y_M} \in \left( {\sqrt 3 ;2} \right)\]

Xem đáp án

Elip\[\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1 \Rightarrow {F_1}{F_2} = 2c = 2\sqrt {25 - 9} = 8\]

Gọi\[M\left( {{x_M};{y_M}} \right) \in \left( E \right) \Rightarrow M{F_1} + M{F_2} = 2a = 10 \Rightarrow p = \frac{{M{F_1} + M{F_2} + {F_1}{F_2}}}{2} = 9\]

Diện tích tam giác \[M{F_1}{F_2}\] là:

\[{S_{M{F_1}{F_2}}} = \frac{1}{2}{F_1}{F_2}.d\left( {M;Ox} \right) = \frac{1}{2}.8.{y_M} = 4\left| {{y_M}} \right| = 4{y_M}\,\,\,\left( {do\,\,{y_M} >0} \right)\]

Lại có:\[{S_{M{F_1}{F_2}}} = p.r \Leftrightarrow 4{y_M} = 9.\frac{4}{3} \Leftrightarrow {y_M} = 3 \in {y_M} \in \left( {\sqrt 8 ;5} \right)\]

Đáp án cần chọn là: C