Bài toán về điểm và vectơ
-
1186 lượt thi
-
19 câu hỏi
-
30 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M thỏa mãn hệ thức \(\overrightarrow {OM} = 2\overrightarrow i + \overrightarrow j \)Tọa độ của điểm M là
Xem đáp án
Ta có:\[\overrightarrow {OM} = 2\vec i + \vec j \Rightarrow \overrightarrow {OM} = 2.\vec i + 1.\vec j + 0.\vec k \Leftrightarrow M\left( {2;1;0} \right)\]
Đáp án cần chọn là: D
Câu 2:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(\overrightarrow {OM} = 2\overrightarrow j - \overrightarrow k \) và \(\overrightarrow {ON} = 2\overrightarrow j - 3\overrightarrow i \). Tọa độ của \(\overrightarrow {MN} \)là:
Xem đáp án
Ta có: \[\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {ON} - \overrightarrow {OM} = \left( {2\vec j - 3\vec i} \right) - \left( {2\vec j - \vec k} \right) = - 3\vec i + \vec k\]
Suy ra\[\overrightarrow {MN} = \left( { - 3;0;1} \right)\]
Đáp án cần chọn là: A
Câu 3:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0;−2;3),B(1;0;−1). Gọi M là trung điểm đoạn AB. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Xem đáp án
Ta có:\[\overrightarrow {BA} = (0 - 1; - 2 - 0;3 + 1) = ( - 1; - 2;4)\] Suy ra A sai.
Suy ra\[\overrightarrow {AB} = (1;2; - 4)\] D sai.
Có \[AB = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 4)}^2}} = \sqrt {21} \] B đúng.
Mà M là trung điểm của AB nên M\[M\left( {\frac{1}{2}; - 1;1} \right)\] C sai.
Đáp án cần chọn là: B
Câu 4:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(2;−3;5),N(6;−4;−1) và đặt \(u = \left| {\overrightarrow {MN} } \right|\) Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
Xem đáp án
Ta có\[\overrightarrow {MN} = (6 - 2; - 4 + 3; - 1 - 5) = (4; - 1; - 6)\]
Do đó\[|\overrightarrow {MN} | = \sqrt {{4^2} + {{( - 1)}^2} + {{( - 6)}^2}} = \sqrt {53} \]
Đáp án cần chọn là: B
Câu 5:
Trong không gian Oxyz cho ba vecto \[\overrightarrow a = \left( { - 1;1;0} \right),\overrightarrow b = \left( {1;1;0} \right),\overrightarrow c = \left( {1;1;1} \right)\]. Mệnh đề nào dưới đây sai?
Xem đáp án
Kiểm tra lần lượt các điều kiện
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{{( - 1)}^2} + {1^2} + {0^2}} = \sqrt 2 }\\{\left| {\overrightarrow c } \right| = \sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} = \sqrt 3 }\\{\overrightarrow a .\overrightarrow b = ( - 1).1 + 1.1 + 0.0 = 0 \Rightarrow \overrightarrow a \bot \overrightarrow b }\end{array}} \right.\)
Lại có:\[\vec b.\vec c = 1.1 + 1.1 + 0.1 = 2 \ne 0\] nên\[\vec b\]và\[\vec c\]không vuông góc.
Đáp án cần chọn là: D
Câu 6:
Trong không gian Oxyz cho 3 véc tơ: \[\overrightarrow a \left( {4;2;5} \right),\overrightarrow b \left( {3;1;3} \right),\overrightarrow c \left( {2;0;1} \right)\]. Kết luận nào sau đây đúng
Xem đáp án
Tính\[\left[ {\vec a,\vec b} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&5\\1&3\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}5&4\\3&3\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4&2\\3&1\end{array}} \right|} \right) = \left( {1;3; - 2} \right)\]Suy ra loại A
Tính \[\left[ {\vec a,\vec b} \right].\vec c = \left( {1;3; - 2} \right).\left( {2;0;1} \right) = 0\] Suy ra\[\vec a,\vec b,\vec c\]đồng phẳng.
Đáp án cần chọn là: C
Câu 7:
Cho tam giác ABC biết A(2;4;−3) và trọng tâm G của tam giác có toạ độ là G(2;1;0). Khi đó \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \)có tọa độ là
Xem đáp án
Gọi M là trung điểm của BC. Ta có\[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM} \]
Do tính chất trọng tâm có\[\overrightarrow {AM} = \frac{3}{2}\overrightarrow {AG} \].Suy ra\[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 3\overrightarrow {AG} \]
Mà\[\overrightarrow {AG} = \left( {2 - 2;1 - 4;0 - ( - 3)} \right) = \left( {0; - 3;3} \right)\].Suy ra\[3\overrightarrow {AG} = (0; - 9;9)\]
Đáp án cần chọn là: A
Câu 8:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow a \)và \(\overrightarrow b \)thỏa mãn \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 2\sqrt 3 ,\left| {\overrightarrow b } \right| = 3\)\(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {30^0}\). Độ dài của vectơ \(\left[ {5\overrightarrow a , - 2\overrightarrow b } \right]\) bằng:
Xem đáp án
Chú ý rằng\[\left( {5\vec a, - 2\vec b} \right) = {180^0} - \left( {\vec a,\vec b} \right) = {150^0}.\]
Sử dụng công thức\[\left| {\left[ {m\vec a,n\vec b} \right]} \right| = \left| {m.n} \right|.\left| {\vec a} \right|.\left| {\vec b} \right|.\sin \left( {m\vec a,n\vec b} \right)\]ta được\[\left| {\left[ {5\vec a, - 2\vec b} \right]} \right| = \left| {5.\left( { - 2} \right)} \right|.2\sqrt 3 .3.\sin {150^0} = 30\sqrt 3 .\]
Đáp án cần chọn là: C
Câu 9:
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;2;−1),B(2;−1;3),C(−3;5;1). Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
Xem đáp án
Có\[\overrightarrow {AB} = \left( {2 - 1; - 1 - 2;3 + 1} \right) = \left( {1; - 3;4} \right)\]và\[\overrightarrow {DC} = ( - 3 - {x_D};5 - {y_D};1 - {z_D})\]
ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3 - {x_D} = 1}\\{5 - {y_D} = - 3}\\{1 - {z_D} = 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_D} = - 4}\\{{y_D} = 8}\\{{z_D} = - 3}\end{array}} \right.\)
Đáp án cần chọn là: D
Câu 10:
Cho hình bình hành ABCD với A(2;4;−4),B(1;1;−3),C(−2;0;5),D(−1;3;4). Diện tích của hình bình hành ABCD bằng
Xem đáp án
Có\[\overrightarrow {AB} = \left( {1 - 2;1 - 4; - 3 + 4} \right) = \left( { - 1; - 3;1} \right)\]
và\[\overrightarrow {AC} = \left( { - 2 - 2;0 - 4;5 + 4} \right) = \left( { - 4; - 4;9} \right)\]
Tính
\[\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3}&1\\{ - 4}&9\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 1}\\9&{ - 4}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&{ - 3}\\{ - 4}&{ - 4}\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 23;5; - 8} \right)\]
Áp dụng công thức tính diện tích hình bình hành có
\[{S_{ABCD}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = \sqrt {{{( - 23)}^2} + {5^2} + {{( - 8)}^2}} = \sqrt {618} \]
Đáp án cần chọn là: C
Câu 11:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ \[\overrightarrow a = \left( {3; - 1; - 2} \right),\overrightarrow b = \left( {1;2;m} \right)\;\]và \[\overrightarrow c = \left( {5;1;7} \right).\]Giá trị mm bằng bao nhiêu để \[\overrightarrow c = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right].\;\]
Xem đáp án
Ta có:
\[\left[ {\vec a,\vec b} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&{ - 2}\\2&m\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&3\\m&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&{ - 1}\\1&2\end{array}} \right|} \right) = \left( { - m + 4; - 2 - 3m;7} \right)\]
\[\overrightarrow c = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - m + 4 = 5}\\{ - 2 - 3m = 1}\\{7 = 7}\end{array}} \right. \Leftrightarrow m = - 1\]
Đáp án cần chọn là: A
Câu 12:
Cho A(1;2;5),B(1;0;2),C(4;7;−1),D(4;1;a). Để 4 điểm A,B,C,D đồng phẳng thì aa bằng:
Xem đáp án
Có
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {AB} = (1 - 1;0 - 2;2 - 5) = (0; - 2; - 3)}\\{\overrightarrow {AC} = (4 - 1;7 - 2; - 1 - 5) = (3;5; - 6)}\\{\overrightarrow {AD} = (4 - 1;1 - 2;a - 5) = (3; - 1;a - 5)}\end{array}} \right.\)
\(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&{ - 3}\\5&{ - 6}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3}&0\\{ - 6}&3\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 2}\\3&5\end{array}} \right|} \right) = (27; - 9;6)\)
\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} = (27; - 9;6).(3; - 1;a - 5) = 60 + 6a\)
\[A,B,C,D\]đồng phẳng khi\[\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} = 0 \Leftrightarrow 60 + 6a = 0 \Leftrightarrow a = - 10\]
Đáp án cần chọn là: A
Câu 13:
Cho hai điểm A(1;2;−1) và B(−1;3;1). Tọa độ điểm M nằm trên trục tung sao cho tam giác ABM vuông tại M .
Xem đáp án
M nằm trên trục tung, giả sử M(0;m;0). Ta có
\[\overrightarrow {MA} = (1;2 - m; - 1)\]và \[\overrightarrow {MB} = ( - 1;3 - m;1)\]
Vì tam giác ABM vuông tại M nên ta có \[\overrightarrow {MA.} \overrightarrow {MB} = 0\]
\[ \Leftrightarrow 1.( - 1) + (2 - m)(3 - m) + ( - 1).1 = 0 \Leftrightarrow {m^2} - 5m + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 1}\\{m = 4}\end{array}} \right.\]
Đáp án cần chọn là: A
Câu 14:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểmA(1;1;1),B(−1;−1;0) và C(3;1;−1). Tìm tọa độ điểm M thuộc (Oxy) và cách đều các điểm A,B,C .
Xem đáp án
M thuộc mặt phẳng (Oxy), giả sử M(m;n;0).
Ta có
\[\begin{array}{*{20}{l}}{MA = \sqrt {{{(m - 1)}^2} + {{(n - 1)}^2} + {{(0 - 1)}^2}} = \sqrt {{{(m - 1)}^2} + {{(n - 1)}^2} + 1} }\\{MB = \sqrt {{{(m + 1)}^2} + {{(n + 1)}^2} + {{(0 - 0)}^2}} = \sqrt {{{(m + 1)}^2} + {{(n + 1)}^2}} }\\{MC = \sqrt {{{(m - 3)}^2} + {{(n - 1)}^2} + {{(0 + 1)}^2}} = \sqrt {{{(m - 3)}^2} + {{(n - 1)}^2} + 1} }\end{array}\]
Vì M cách đều ba điểm A,B,C nên ta có MA=MB=MC.
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{MA = MB}\\{MA = MC}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{M{A^2} = M{B^2}}\\{M{A^2} = M{C^2}}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{(m - 1)}^2} + {{(n - 1)}^2} + 1 = {{(m + 1)}^2} + {{(n + 1)}^2}}\\{{{(m - 1)}^2} + {{(n - 1)}^2} + 1 = {{(m - 3)}^2} + {{(n - 1)}^2} + 1}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4m + 4n = 1}\\{4m = 8}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 2}\\{n = - \frac{7}{4}}\end{array}} \right.\)
Vậy\[M\left( {2; - \frac{7}{4};0} \right)\]
Đáp án cần chọn là: C
Câu 15:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0;2;−1) , B(2;0;1). Tìm tọa độ điểm M nằm trên trục Ox sao cho :MA2+MB2 đạt giá trị bé nhất.
Xem đáp án
MM nằm trên trục Ox, giả sử M(m;0;0).
Ta có
\[\begin{array}{*{20}{l}}{MA = \sqrt {{{(m - 0)}^2} + {{(0 - 2)}^2} + {{(0 + 1)}^2}} = \sqrt {{m^2} + 5} }\\{MB = \sqrt {{{(m - 2)}^2} + {{(0 - 0)}^2} + {{(0 - 1)}^2}} = \sqrt {{{(m - 2)}^2} + 1} }\end{array}\]
Suy ra
\[M{A^2} + M{B^2} = {m^2} + 5 + {(m - 2)^2} + 1 = 2{m^2} - 4m + 10\]
\[ = 2({m^2} - 2m + 1) + 8 = 2{(m - 1)^2} + 8 \ge 8\]
\[\min (M{A^2} + M{B^2}) = 8 \Leftrightarrow m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1\]
Vậy M(1;0;0)
Đáp án cần chọn là: B
Câu 16:
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ biết A(1;0;1), B(2;1;2), D(1;−1;1) và C′(4;5;−5). Khi đó, thể tích của hình hộp đó là:
Xem đáp án
Ta có \[\overrightarrow {AB} = (1;1;1),\overrightarrow {AD} = (0; - 1;0)\]
\[ABCD.A'B'C'D'\]là hình hộp\[ \Rightarrow ABCD\]là hình bình hành. Khi đó ta có\[\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \]
Giả sử\[C(x;y;z)\]. Ta có:\[\overrightarrow {BC} = (x - 2;y - 1;z - 2)\]
\(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 2 = 0}\\{y - 1 = - 1}\\{z - 2 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2}\\{y = 0}\\{z = 2}\end{array}} \right. \Rightarrow C(2;0;2)\)
Ta có\[\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {CC'} = \left( {2;5; - 7} \right),\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right] = (1;0; - 1)\]
Theo công thức tính thể tích ta có
\[{V_{ABCD.A'B'C'D}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right].\overrightarrow {AA'} } \right| = \left| {1.2 + 0.5 + \left( { - 1} \right).\left( { - 7} \right)} \right| = 9\]
Đáp án cần chọn là: A
Câu 17:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có A(2;−1;1), B(3;0;−1), C(2;−1;3) và D thuộc trục Oy . Tính tổng tung độ của các điểm D, biết thể tích tứ diện bằng 5 .
Xem đáp án
Giả sử\[D\left( {0;y;0} \right) \in Oy\]ta có:
\[\overrightarrow {AB} = (1;1; - 2),\overrightarrow {AC} = (0;0;2),\overrightarrow {AD} = ( - 2;y + 1; - 1)\]
Ta có\[\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {2; - 2;0} \right)\]
Theo công thức tính thể tích ta có
\[{V_{ABCD}} = \frac{1}{6}.\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right| = \frac{1}{6}\left| {\left[ {2.( - 2) - 2.(y + 1) + 0.( - 1)} \right]} \right| = \frac{1}{6}\left| {6 + 2y} \right|\]
Theo giả thiết ta có\[{V_{ABCD}} = 5\]suy ra ta có:
\(\frac{1}{6}|6 + 2y| = 5 \Leftrightarrow |6 + 2y| = 30 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2y + 6 = 30}\\{2y + 6 = - 30}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 12}\\{y = - 18}\end{array}} \right.} \right.\)
Suy ra D(0;12;0) hoặc D(0;−18;0)
Do đó tổng tung độ của các điểm D là \[12 + ( - 18) = - 6\]
Đáp án cần chọn là: A
Câu 18:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , để hai vecto \[\vec a = \left( {m;2;3} \right)\]và \[\overrightarrow b \left( {1;n;2} \right)\]
cùng phương thì 2m+3n bằng.
Xem đáp án
Hai vectơ \[\vec a = \left( {m;2;3} \right),\vec b = \left( {1;n;2} \right)\]cùng phương khi
\(\frac{m}{1} = \frac{2}{n} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = \frac{3}{2}}\\{n = \frac{4}{3}}\end{array}} \right.\)
\[ \Rightarrow 2m + 3n = 7.\]
Đáp án cần chọn là: D
Câu 19:
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(4;0;4) và B(2;4;0). Điểm M di động trên tia Oz, điểm N di động trên tia Oy. Đường gấp khúc AMNB có độ dài nhỏ nhất bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
Xem đáp án
Ta có H(0;0;4) và K(0;4;0) là hình chiếu của A trên Oz và B trên Oy
Gọi A′(0;−4;4);B′(0;4;−2).
Xét hai tam giác vuông AHM;AHA′ có chung
\[HM;\,\,HA = HA' = 4 \Rightarrow {\rm{\Delta }}AHM = {\rm{\Delta }}A'HM\](2 cạnh góc vuông)
\[ \Rightarrow AM = A'M\]
Chứng minh tương tự ta có \[BN = B'N\]
Độ dài đường gấp khúc AMNB là
\[AM + MN + NB = A'M + MN + NB' \ge A'B' = 10\]
(Lưu ý rằng các điểm A′,M,N,B′ cùng nằm trên mặt phẳng Oyz).
Đáp án cần chọn là: D