IMG-LOGO
Trang chủ Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

  • 1256 lượt thi

  • 26 câu hỏi

  • 30 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Cho biết GTLN của hàm số f(x) trên \[\left[ {1;3} \right]\;\]là M=−2. Chọn khẳng định đúng:

Xem đáp án

Nếu M=−2 là GTLN của hàm số y=f(x) trên \[\left[ {1;3} \right]\]thì 

Đáp án cần chọn là: D


Câu 2:

Cho hàm số f(x) xác định trên \[\left[ {0;2} \right]\;\]và có GTNN trên đoạn đó bằng 5. Chọn kết luận đúng:

Xem đáp án
GTNN của f(x) trên \[\left[ {0;2} \right]\;\]bằng 5 nên .

Đáp án cần chọn là: B


Câu 3:

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=sinx trên đoạn \[[ - \frac{\pi }{2}; - \frac{\pi }{3}]\] lần lượt là

Xem đáp án

Ta có\[y' = \cos x \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]

Do\[x \in \left[ { - \frac{\pi }{2}; - \frac{\pi }{3}} \right]\]nên\[k = - 1\]hay\[x = - \frac{\pi }{2}\]

Suy ra

\[y( - \frac{\pi }{2}) = - 1;y( - \frac{\pi }{3}) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\]

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\mathop {\max }\limits_{\left[ { - \frac{\pi }{2}; - \frac{\pi }{3}} \right]} y = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}}\\{\mathop {\min }\limits_{\left[ { - \frac{\pi }{2}; - \frac{\pi }{3}} \right]} y = - 1}\end{array}} \right.\)

Đáp án cần chọn là: B


Câu 4:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y = 2x + \cos x\] trên đoạn \[\left[ {0;1} \right]\;\]là :

Xem đáp án

Ta có\[y' = 2 - \sin x > 0\forall x \in R \Rightarrow \]Hàm số luôn đồng biến trên\[\left[ {0;1} \right]\]

\[ \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} y = y\left( 0 \right) = 1\]

Đáp án cần chọn là: B


Câu 5:

Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên R, có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } = - \infty \] , khi đó:

Xem đáp án

Hàm số\[y = f\left( x \right)\] có\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = - \infty \] thì không có GTLN, GTNN trên R vì không tồn tại số\[M,m\] để

Đáp án cần chọn là: D


Câu 6:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ, chọn kết luận đúng:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ, chọn kết luận đúng: (ảnh 1)

Xem đáp án

Ta có:

\[\mathop { + )\max }\limits_{\left[ { - 3;0} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = - 3\] nên A sai.

+) \[\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = - 7\] nên B đúng.

+) Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = - \infty \] nên không tồn tại\[\mathop {\min }\limits_{\left( { - \infty ;2} \right]} f\left( x \right)\] nên C sai.

+)\[\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = - 3\]  nên D sai.

Đáp án cần chọn là: B


Câu 7:

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là đúng? (ảnh 1)

Xem đáp án

A sai vì y=3 là giá trị cực đại của hàm số, không phải giá trị lớn nhất.

B sai vì hàm số đồng biến trên các khoảng \[\left( { - \infty ;0} \right),\left( {2; + \infty } \right)\]

C sai vì x=2 là điểm cực tiểu của hàm số không phải giá trị cực tiểu.

D đúng vì trên đoạn \[\left[ {0;4} \right]\]thì hàm số đạt GTNN (cũng là giá trị cực tiểu) bằng −1 đạt được tại x=2.

Đáp án cần chọn là: D


Câu 8:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau:

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

Xem đáp án

Đáp án A: Hàm số đạt cực đại tại x=0 và y=3 là giá trị cực đại của hàm số nên A sai.

Đáp án B: GTNN và giá trị cực tiểu của hàm số là y=0 nên B đúng và C sai.

Đáp án D: Hàm số không có GTLN vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = + \infty \].

Đáp án cần chọn là: B


Câu 9:

Cho hàm số y=f(x)) xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\), có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số y=f(x) trên đoạn \[\left[ { - 2;2} \right]\]

Cho hàm số y=f(x)) xác định và liên tục trên  (ảnh 1)

Xem đáp án

Dựa vào đồ thị hàm số ta có:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = \mathop {min}\limits_{[ - 2;2]} f(x) = - 5}\\{M = \mathop {max}\limits_{[ - 2;2]} f(x) = - 1}\end{array}} \right.\)

Đáp án cần chọn là: A


Câu 10:

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101

Trên đoạn \[\left[ {0;3} \right],\]hàm số \[y = - {x^3} + 3x\;\] đạt giá trị lớn nhất tại điểm

Xem đáp án

Khảo sát hàm số\[y = - {x^3} + 3x\] trên\[\left[ {0;3} \right]\]

\[ + y' = - 3{x^2} + 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\]

+ BBT:

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101Trên đoạn  (ảnh 1)

⇒ Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x=1.

Đáp án cần chọn là: C


Câu 11:

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \[y = {x^3} - 5{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} - 1\] trên đoạn \[\left[ {2;4} \right]\]

Xem đáp án

\[y\prime = 3{x^2} - 10x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 \in [2;4]}\\{x = \frac{1}{3} \notin [2;4]}\end{array}} \right.\]

\[f\left( 2 \right) = - 7,f\left( 3 \right) = - 10,f\left( 4 \right) = - 5\]

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số\[y = {x^3} - 5{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} - 1\]trên đoạn\[\left[ {2;4} \right]\]là M=−5

Đáp án cần chọn là: C


Câu 12:

Giá trị lớn nhất của hàm số \[f\left( {\rm{x}} \right) = \frac{{6 - 8{\rm{x}}}}{{{x^2} + 1}}\] trên tập xác định của nó là:

Xem đáp án

TXĐ:\[D = R\]

Ta có:\[f'\left( x \right) = \frac{{8{{\rm{x}}^2} - 12{\rm{x}} - 8}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\]

\[f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 2\]hoặc\[x = - \frac{1}{2}\]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 0\]

Bảng biến thiên

Giá trị lớn nhất của hàm số  (ảnh 1)

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là y=8 tại \[x = - \frac{1}{2}\]

Đáp án cần chọn là: C


Câu 13:

Gọi giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \[y = {x^4} + 2{x^2} - 1\;\] trên đoạn \[\left[ { - 1;2} \right]\;\]lần lượt là M và m. Khi đó giá trị của M.m là:

Xem đáp án

TXĐ: \[D = R\]

Ta có:\[y' = 4{{\rm{x}}^3} + 4{\rm{x}} \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow x = 0 \in \left[ { - 1;2} \right]\]

\[f( - 1) = 2,{\rm{\;f(0)\; = \;}} - 1,{\rm{\;f(2)\; = \; 23}}\]Ta thấy GTLN và GTNN lần lượt  là\[M = 23,m = - 1 \Rightarrow M.m = 23.\left( { - 1} \right) = - 23\]

Đáp án cần chọn là: C


Câu 14:

Cho hàm số \[y = x + \frac{1}{x}.\] Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng \[\left( {0; + \infty } \right)\;\]là:

Xem đáp án

TXĐ: \[R \setminus \left\{ 0 \right\}\]

\[y' = 1 - \frac{1}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2}}}\]

\[y' = 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1(tm)\]hoặc\[x = - 1(ktm)\]

Bảng biến thiên:

Cho hàm số y=x+ 1/x   . Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng (0;+ vô cực)là: (ảnh 1)

\[ \Rightarrow \mathop {Min}\limits_{x \in \left( {0; + \infty } \right)} \,y = f\left( 1 \right) = 2\]

Đáp án cần chọn là: A


Câu 15:

Cho hàm số \[y = {x^3} - 3m{x^2} + 6\], giá trị nhỏ nhất của hàm số trên \[\left[ {0;3} \right]\;\]bằng 2 khi:

Xem đáp án

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\]

\[y' = 3{x^2} - 6mx.\]

Ta có:\[y\prime = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0 \Rightarrow y = 6}\\{x = 2m \Rightarrow y = - 4{m^3} + 6}\end{array}} \right.\]

Xét TH1: m=0. Hàm số đồng biến trên\[\left[ {0;3} \right] \Rightarrow \mathop {Min}\limits_{\left[ {0;3} \right]} y = y\left( 0 \right) = 6 \Rightarrow \] loại.

Xét TH2:  Khi đó, hàm số nghịch biến trên\[\left[ {0;3} \right] \subset \left[ {0;2m} \right]\]\[ \Rightarrow \mathop {Min}\limits_{\left[ {0;3} \right]} y = y\left( 3 \right) = 33 - 27m = 2 \Rightarrow m = \frac{{31}}{{27}} < \frac{3}{2}\](loại)

Xét TH3: \[\frac{3}{2} > m > 0 \Rightarrow 3 > 2m > 0\]thì đồ thị hàm số có điểm cực đại là (0;6) và điểm cực tiểu là \[\left( {2m, - 4{m^3} + 6} \right).\]Khi đó , GTNN trên\[\left[ {0;3} \right]\]là \[y\left( {2m} \right) = - 4{m^3} + 6\]

\[ \Rightarrow - 4{m^3} + 6 = 2 \Leftrightarrow {m^3} = 1 \Leftrightarrow m = 1\](thỏa mãn)

Xét TH4: \[m < 0 \Rightarrow \left( {0;6} \right)\]là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số và trên \[\left[ {0;3} \right]\]hàm số đồng biến.\[ \Rightarrow {y_{min}} = 6 \Rightarrow \]loại.

Vậy m=1 là giá trị cần tìm.

Đáp án cần chọn là: D


Câu 16:

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình dưới. Gọi a,A lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của f(x+1) trên đoạn \[\left[ { - 1;0} \right].\;\]Giá trị a+A bằng:

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên (ảnh 1)

Xem đáp án

Đặt\[x + 1 = t.\]Khi đó:\[x \in \left[ { - 1;\,\,0} \right] \Rightarrow t \in \left[ {0;\,\,1} \right].\]

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \mathop {Min}\limits_{[0;1]} f(t) = 0\,khi\,t = 0 \Rightarrow x = - 1}\\{A = \mathop {Max}\limits_{[0;1]} f(t) = 3\,khi\,t = 1 \Rightarrow x = 0}\end{array}} \right.\)

\[ \Rightarrow a + A = 0 + 3 = 3.\]

Đáp án cần chọn là: D


Câu 17:

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn \[\left[ { - 1;4} \right]\;\]và có đồ thị như hình vẽ

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn  (ảnh 1)

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc đoạn \[\left[ { - 10;10} \right]\;\]để bất phương trình \[|f(x) + m| < 2m\;\]đúng với mọi x thuộc đoạn \[\left[ { - 1;4} \right]?\]

Xem đáp án

Ta có:\[\left| {f\left( x \right) + m} \right| < 2m\]

\[ \Leftrightarrow - 2m < f\left( x \right) + m < 2m\]

\[ \Leftrightarrow - 3m < f\left( x \right) < m\]

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3m < \mathop {min}\limits_{[ - 1;4]} f(x)}\\{\mathop {max}\limits_{[ - 1;4]} f(x) < m}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3m < - 2}\\{3 < m}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m > \frac{2}{3}}\\{m > 3}\end{array}} \right.\)</>

\[ \Leftrightarrow m > 3\]

Kết hợp điều kiện đề bài\[ \Rightarrow m \in \left( {3;10} \right],\,\,m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {4;5;6;7;8;9;10} \right\}\]

Vậy có 7 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: C


Câu 18:

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) có đồ thị \[y = f\prime (x)\;\] như hình vẽ. Đặt \[g(x) = 2f(x) - {x^2}\]. Khi đó giá trị lớn nhất của hàm số g(x) trên đoạn \[\left[ { - 2;4} \right]\;\]là:

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên (ảnh 1)

Xem đáp án

Ta có \[g\left( x \right) = 2f\left( x \right) - {x^2} \Rightarrow g'\left( x \right) = 2f'\left( x \right) - 2x\]

Cho\[g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = x\,\,\,\left( 1 \right)\]

Nghiệm của phương trình (1) là hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số

\[y = f'\left( x \right);\,\,y = x.\]

Vẽ đường thẳng y=xy=x và đồ thị hàm số \[y = f'\left( x \right)\] trên cùng hệ trục tọa độ:

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên (ảnh 2)

Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị hai hàm số\[y = f'\left( x \right);\,\,y = x\] cắt nhau tại 3 điểm có hoành độ là \[ - 2;2;4.\]

\[ \Rightarrow g\prime (x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 2}\\{x = 2}\\{x = 4}\end{array}} \right.\]Bảng biến thiên đồ thị hàm số\[y = g\left( x \right)\]

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên (ảnh 3)

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số g(x) trên đoạn \[\left[ { - 2;4} \right]\;\]là g(2).

Đáp án cần chọn là: B


Câu 19:

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ bên. Xét hàm số \[g\left( x \right) = f({x^3} + 2x) + m\]. Giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số g(x) trên đoạn \[\left[ {0;1} \right]\;\]bằng 9 là:

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên (ảnh 1)

Xem đáp án

Ta có :\[g'\left( x \right) = \left( {3{x^2} + 2} \right).f'\left( {{x^3} + 2x} \right)\]

\[g\prime (x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3{x^2} + 2 = 0}\\{f\prime ({x^3} + 2x) = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow f\prime ({x^3} + 2x) = 0\](Do phương trình \[3{x^2} + 2 = 0\;\]vô nghiệm).

Từ đồ thị hàm số f(x) đã cho ta có 

\[f\prime ({x^3} + 2x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^3} + 2x = 0}\\{{x^3} + 2x = 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = {x_0} \approx 0,77}\end{array}} \right.\]

Hàm số g(x) trên đoạn \[\left[ {0;1} \right]\]có : 

\[\begin{array}{*{20}{l}}{g\left( 0 \right) = f\left( 0 \right) + m = m + 1}\\{g\left( {{x_0}} \right) = f\left( 2 \right) + m = m - 3}\\{g\left( 1 \right) = f\left( 3 \right) + m = m + 1}\end{array}\]

Do đó,\[\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} g\left( x \right) = g\left( 0 \right) = g\left( 1 \right) = m + 1\]

Theo giả thiết, giá trị lớn nhất của hàm số g(x) trên \[\left[ {0;1} \right]\]bằng 9 nên\[m + 1 = 9 \Leftrightarrow m = 8\]

Vậy m=8.

Đáp án cần chọn là: D


Câu 20:

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ. Gọi M và m tương ứng là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y = f(1 - 2cosx)\] trên \[\left[ {0;\frac{{3\pi }}{2}} \right].\]Giá trị của M+m bằng

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ. Gọi M và m tương ứng là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số  (ảnh 1)

Xem đáp án

Đặt\[t = 1 - 2\cos x\]Với \[x \in \left[ {0;\,\,\frac{{3\pi }}{2}} \right]\]thì\[\cos x \in \left[ { - 1;1} \right] \Rightarrow 1 - 2\cos x \in \left[ { - 1;3} \right] \Rightarrow t \in \left[ { - 1;3} \right].\]

Khi đó ta có \[y = f\left( t \right)\]với \[t \in \left[ { - 1;3} \right]\]

Quan sát đồ thị hàm số\[y = f\left( t \right)\]trên đoạn\[\left[ { - 1;3} \right]\]ta thấy GTLN của hàm số là 2, GTNN của hàm số là \[ - \frac{3}{2}\]

\[ \Rightarrow M = 2,\,\,m = - \frac{3}{2} \Rightarrow M + m = \frac{1}{2}\]

Đáp án cần chọn là: A


Câu 21:

Có bao nhiêu số nguyên \[m \in [ - 5;5]\;\] để \[\mathop {min}\limits_{\left[ {1;3} \right]} \mid {x^3} - 3{x^2} + m\mid \ge 2.\]

Xem đáp án

Xét hàm số \[y = f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + m\]  trên\[\left[ {1;3} \right]\] có

\[f\prime (x) = 3{x^2} - 6x,f\prime (x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0(L)}\\{x = 2}\end{array}} \right.\]

Bảng biến thiên:

Có bao nhiêu số nguyên  (ảnh 1)

\[\mathop {min}\limits_{[1;3]} \mid {x^3} - 3{x^2} + m\mid \ge 2 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m - 4 > 0}\\{m < 0}\end{array}} \right.\]

TH1: \[m - 4 > 0 \Leftrightarrow m > 4\]

\[\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} \left| {{x^3} - 3{x^2} + m} \right| \ge 2 \Leftrightarrow m - 4 \ge 2 \Leftrightarrow m \ge 6\]

Mà\[m \in \left[ { - 5;5} \right] \Rightarrow m \in \emptyset \]

TH2: m<0

\[\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} \left| {{x^3} - 3{x^2} + m} \right| \ge 2 \Leftrightarrow - m \ge 2 \Leftrightarrow m \le - 2\]

Mà \[m \in \left[ { - 5;5} \right],m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 5; - 4; - 3; - 2} \right\}\] : 4 giá trị.

Đáp án cần chọn là: B


Câu 22:

Cho f(x) mà đồ thị hàm số \[y = f\prime (x)\;\] như hình vẽ bên

Cho f(x) mà đồ thị hàm số  (ảnh 1)

Xem đáp án

Bất phương trình \[f(x) > sin\frac{{\pi x}}{2} + m\;\] nghiệm đúng với mọi \[x \in [ - 1;3]\] khi và chỉ khi:

\[f(x) > sin\frac{{\pi x}}{2} + m\forall x \in [ - 1;3] \Leftrightarrow g(x) = f(x) - sin\frac{{\pi x}}{2} > m\forall x \in [ - 1;3] \Rightarrow m < \mathop {min}\limits_{[ - 1;3]} g(x)\]

Từ đồ thị hàm số\[y = f'\left( x \right)\] ta suy ra BBT đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\] như sau:

Cho f(x) mà đồ thị hàm số  (ảnh 2)

Dựa vào BBT ta thấy\[f\left( x \right) \ge f\left( 1 \right)\,\,\forall x \in \left[ { - 1;3} \right]\]

\[\begin{array}{*{20}{l}}{x \in \left[ { - 1;3} \right] \Rightarrow \frac{{\pi x}}{2} \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right] \Rightarrow - 1 \le \sin \frac{{\pi x}}{2} \le 1}\\{ \Leftrightarrow - 1 \le - \sin \frac{{\pi x}}{2} \le 1}\end{array}\]

\[ \Rightarrow f\left( 1 \right) - 1 \le f\left( x \right) - \sin \frac{{\pi x}}{2} \Leftrightarrow g\left( x \right) \ge f\left( 1 \right) - 1 \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} g\left( x \right) = f\left( 1 \right) - 1\]

Vậy\[m < f\left( 1 \right) - 1\]

Đáp án cần chọn là: B


Câu 23:

Cho \[f\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2} - 4x + 5}} - \frac{{{x^2}}}{4} + x\] Gọi \[M = \mathop {Max}\limits_{x \in \left[ {0;3} \right]} f(x);\;m = \mathop {Min}\limits_{x \in \left[ {0;3} \right]} f\left( x \right)\] Khi đó M−m bằng:

Xem đáp án

Ta có :

\[\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2} - 4x + 5}} - \frac{{{x^2}}}{4} + x}\\{f\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2} - 4x + 5}} - \frac{{{x^2} - 4x}}{4}}\end{array}\]

Đặt\[t = {x^2} - 4x + 5\] với \[x \in \left[ {0;3} \right]\] ta có\[t' = 2x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2 \in \left[ {0;3} \right]\]

Ta có \[t\left( 0 \right) = 5;\,\,t\left( 2 \right) = 1,\,\,t\left( 3 \right) = 2\]

 ⇒ Với\[x \in \left[ {0;3} \right]\]  thì\[t \in \left[ {1;5} \right]\]  khi đó hàm số trở thành\[f\left( t \right) = \frac{1}{t} - \frac{{t - 5}}{4}\] với\[t \in \left[ {1;5} \right]\]

Ta có\[f'\left( t \right) = - \frac{1}{{{t^2}}} - \frac{1}{4} < 0\,\,\forall t \in \left[ {1;5} \right]\]

⇒ Hàm số\[y = f\left( t \right)\] nghịch biến trên\[\left[ {1;5} \right]\]

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\mathop {max}\limits_{[0;3]} f(x) = \mathop {max}\limits_{[1;5]} f(t) = f(1) = 2 = M}\\{\mathop {min}\limits_{[0;3]} f(x) = \mathop {min}\limits_{[1;5]} f(t) = f(5) = \frac{1}{5} = m}\end{array}} \right.\)

Vậy \[M - m = 2 - \frac{1}{5} = \frac{9}{5}\]

Đáp án cần chọn là: D


Câu 24:

Cho hàm số f(x). Biết hàm số f′(x) có đồ thị như hình dưới đây. Trên đoạn \[\left[ { - 4;3} \right],\]hàm số \[g(x) = 2f(x) + {(1 - x)^2}\;\] đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm

Cho hàm số f(x). Biết hàm số f′(x) có đồ thị như hình dưới đây. Trên đoạn (ảnh 1)

Xem đáp án

Ta có:\[g'\left( x \right) = 2f'\left( x \right) - 2\left( {1 - x} \right) = 2\left[ {f'\left( x \right) - \left( {1 - x} \right)} \right]\]

Xét \[g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = 1 - x\] số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \[y = f'\left( x \right)\] và đường thẳng\[y = 1 - x\]

Ta biểu diễn đường thẳng\[y = 1 - x\] trên hình vẽ:

Cho hàm số f(x). Biết hàm số f′(x) có đồ thị như hình dưới đây. Trên đoạn (ảnh 2)

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy\[f\prime (x) = 1 - x \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 4}\\{x = - 1}\\{x = 3}\end{array}} \right.\]

Từ đó, ta suy ra bảng xét dấu g′(x) như sau:

Cho hàm số f(x). Biết hàm số f′(x) có đồ thị như hình dưới đây. Trên đoạn (ảnh 3)

Vậy hàm số đạt GTNN tại x=−1

Đáp án cần chọn là: A


Câu 25:

Cho hàm số \[y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\] có đồ thị như hình bên:

Cho hàm số y = a x^3 + b x^2 + c x + d   có đồ thị như hình bên: (ảnh 1)

Giá trị nguyên lớn nhất của tham số m để hàm số \[y = f(|x| - m)\;\] đồng biến trên khoảng \[\left( {10; + \infty } \right)\;\]là:

Xem đáp án

Ta có\[y = f\left( {\left| x \right| - m} \right) = f\left( {\sqrt {{x^2}} - m} \right)\]

\[ \Rightarrow y' = \frac{{2x}}{{2\sqrt {{x^2}} }}f'\left( {\sqrt {{x^2}} - m} \right) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2}} }}f'\left( {\sqrt {{x^2}} - m} \right)\]

Để hàm số đồng biến trên\[\left( {10; + \infty } \right)\]thì\[y' \ge 0\,\,\forall x \in \left( {10; + \infty } \right)\]

\[ \Rightarrow \frac{x}{{\sqrt {{x^2}} }}f'\left( {\sqrt {{x^2}} - m} \right) \ge 0\,\,\forall x \in \left( {10; + \infty } \right)\]

\[ \Rightarrow f'\left( {\sqrt {{x^2}} - m} \right) \ge 0\,\,\forall x \in \left( {10; + \infty } \right)\,\,\left( * \right)\]

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số đồng biến trên \[\left( {1; + \infty } \right)\]và\[\left( { - \infty ; - 1} \right)\]

Do đó (∗)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt {{x^2}} - m \ge 1\forall x \in (10; + \infty )\,\,\,\,(1)}\\{\sqrt {{x^2}} - m \le - 1\forall x \in (10; + \infty )\,\,\,\,(2)}\end{array}} \right.\)

Xét (1) ta có\[m \le \sqrt {{x^2}} - 1\,\,\forall x \in \left( {10; + \infty } \right) \Rightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {10; + \infty } \right)} \left( {\sqrt {{x^2}} - 1} \right)\]

Xét \[g\left( x \right) = \sqrt {{x^2}} - 1\]trên khoảng\[\left( {10; + \infty } \right)\]ta có

\[g'\left( x \right) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2}} }} > 0\,\,\forall x \in \left( {10; + \infty } \right)\]do đó hàm số đồng biến trên\[\left( {10; + \infty } \right)\]

\[ \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {10; + \infty } \right)} \left( {\sqrt {{x^2}} - 1} \right) = g\left( {10} \right) = 9 \Leftrightarrow m \le 9\]

Xét (2) ta có: \[m \ge \sqrt {{x^2}} + 1\,\,\forall x \in \left( {10; + \infty } \right) \Rightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{\left[ {10; + \infty } \right)} \left( {\sqrt {{x^2}} + 1} \right)\]

Do \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2}} + 1} \right) = + \infty \] nên hàm số đã cho không có GTLN trên\[\left[ {10; + \infty } \right)\]do đó không tồn tại m thỏa mãn (2).

Vậy \[m \le 9\] nên giá trị nguyên lớn nhất của m bằng 9.

Đáp án cần chọn là: C


Câu 26:

Cho các số thực x,y thay đổi thỏa mãn \[{x^2} + 2{y^2} + 2xy = 1\] và hàm số \[f(t) = {t^4} - {t^2} + 2\]. Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \[Q = f\left( {\frac{{x + y + 1}}{{x + 2y - 2}}} \right)\] Tính M+m?

Xem đáp án

Ta có: \[{x^2} + 2{y^2} + 2xy = 1 \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} + {y^2} = 1\]

Đặt\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = sin\alpha }\\{y = cos\alpha }\end{array}} \right.\)  Ta có:\[Q = f\left( {\frac{{x + y + 1}}{{x + 2y - 2}}} \right) = f\left( {\frac{{\sin \alpha + 1}}{{\sin \alpha + {\rm{cos}}\,\alpha - 2}}} \right)\]

Đặt\[t = \frac{{\sin \alpha + 1}}{{\sin \alpha + {\rm{cos}}\,\alpha - 2}}\] Ta có:\[Q = f\left( {\frac{{\sin \alpha + 1}}{{\sin \alpha + {\rm{cos}}\,\alpha - 2}}} \right) = f\left( t \right)\]

\[\begin{array}{l}t = \frac{{\sin \alpha + 1}}{{\sin \alpha + {\rm{cos}}\,\alpha - 2}}\,\,\left( {\alpha \in \mathbb{R}} \right)\\ \Leftrightarrow t\sin \alpha + t{\rm{cos}}\,\alpha - 2t = \sin \alpha + 1 \Leftrightarrow \left( {t - 1} \right)\sin \alpha + t\,{\rm{cos}}\,\alpha = 2t + 1\end{array}\](*)

Để phương trình (*) tồn tại nghiệm \[\alpha \] thì\[{\left( {t - 1} \right)^2} + {t^2} \ge {\left( {2t + 1} \right)^2}\]

\[ \Leftrightarrow {t^2} - 2t + 1 + {t^2} \ge 4{t^2} + 4t + 1 \Leftrightarrow 2{t^2} + 6t \le 0 \Leftrightarrow - 3 \le t \le 0\]

Xét\[Q = f\left( t \right) = {t^4} - {t^2} + 2\]  trên đoạn\[\left[ { - 3;0} \right]\]  có:

\[f\prime (t) = 4{t^3} - 2t,f\prime (t) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 0}\\{t = \pm \sqrt {\frac{1}{2}} }\end{array}} \right.\]

Hàm số \[f\left( t \right)\] liên tục trên\[\left[ { - 3;0} \right]\] có\[f\left( { - 3} \right) = 74,\,f\left( { - \sqrt {\frac{1}{2}} } \right) = \frac{7}{4},\,f\left( 0 \right) = 2\]

\[ \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 3;0} \right]} f\left( t \right) = \frac{7}{4},\,\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 3;0} \right]} f\left( t \right) = 74\]

⇒M + m\[ = \frac{7}{4} + 74 = \frac{{303}}{4}\]

Đáp án cần chọn là: C


Bắt đầu thi ngay