ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định lượng - Khoảng cách và góc
-
1088 lượt thi
-
28 câu hỏi
-
30 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Cho đường thẳng \[{d_1}:x + 2y - 7 = 0\] và \[{d_2}:2x - 4y + 9 = 0\]. Tính cosin của góc tạo bởi giữa hai đường thẳng đã cho.
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{d_1}:x + 2y - 7 = 0 \to \overrightarrow {{n_1}} = (1;2)}\\{{d_2}:2x - 4y + 9 = 0 \to \overrightarrow {{n_2}} = (1; - 2)}\end{array}} \right.\)
\[\mathop \to \limits^{\varphi = \left( {{d_1};{d_2}} \right)} \cos \varphi = \frac{{\left| {1 - 4} \right|}}{{\sqrt {1 + 4} .\sqrt {1 + 4} }} = \frac{3}{5}.\]
Đáp án cần chọn là: C
Câu 2:
Tính góc tạo bởi giữa hai đường thẳng \[{d_1}:6x - 5y + 15 = 0\] và \({d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 10 - 6t}\\{y = 1 + 5t}\end{array}} \right.\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{d_1}:6x - 5y + 15 = 0 \to \overrightarrow {{n_1}} = (6; - 5)}\\{d2:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 10 - 6t}\\{y = 1 + 5t}\end{array} \to \overrightarrow {{n_2}} = (5;6)} \right.}\end{array}} \right. \to \overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} = 0\)
\[ \Rightarrow (\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} ) = \varphi = {90^ \circ }\]
Đáp án cần chọn là: D
Câu 3:
Cho hai đường thẳng \[{d_1}:3x + 4y + 12 = 0\] và \[{d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + at}\\{y = 1 - 2t}\end{array}} \right.\]. Tìm các giá trị của tham số a để d1 và d2 hợp với nhau một góc bằng 450.
Ta có
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{d_1}:3x + 4y + 12 = 0 \to \overrightarrow {{n_1}} = (3;4)}\\{{d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + at}\\{y = 1 - 2t}\end{array} \to \overrightarrow {{n_2}} = (2;a)} \right.}\end{array}} \right.\)
\[\varphi = \left( {{d_1};{d_2}} \right) = {45^0} \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt 2 }} = \cos {45^0} = \cos \varphi = \frac{{\left| {6 + 4a} \right|}}{{\sqrt {25} .\sqrt {{a^2} + 4} }}\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow 25({a^2} + 4) = 8(4{a^2} + 12a + 9) \Leftrightarrow 7{a^2} + 96a - 28 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - 14}\\{a = \frac{2}{7}}\end{array}} \right.\end{array}\]
Đáp án cần chọn là: A
Câu 4:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(x0;y0) và đường thẳng \[\Delta :ax + by + c = 0\]. Khoảng cách từ điểm M đến \[\Delta \] được tính bằng công thức:
Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng:
\[d(M,\Delta ) = \frac{{|a{x_0} + b{y_0} + c|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.\]
Đáp án cần chọn là: C
Câu 5:
Khoảng cách từ giao điểm của hai đường thẳng \[x - 3y + 4 = 0\] và \[2x + 3y - 1 = 0\;\]đến đường thẳng \[\Delta :3x + y + 4 = 0\;\] bằng:
Tọa độ giao điểm A của hai đường thẳng x-3y+4=0 và 2x+3y-1=0 thỏa mãn hệ phương trình:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 3y + 4 = 0}\\{2x + 3y - 1 = 0}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 3y = - 4}\\{2x + 3y = 1}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1}\\{y = 1}\end{array}} \right.\)
\[ \to A\left( { - 1;1} \right)\]
\[ \to d\left( {A;{\rm{\Delta }}} \right) = \frac{{\left| { - 3 + 1 + 4} \right|}}{{\sqrt {9 + 1} }} = \frac{2}{{\sqrt {10} }}.\]
Đáp án cần chọn là: C
Câu 6:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1;2), B(0;3) và C(4;0). Chiều cao của tam giác kẻ từ đỉnh A bằng:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{A(1;2)}\\{B(0;3),C(4;0)}\end{array}} \right.\)
\[ \to BC:3(x - 0) + 4(y - 3) = 3x + 4y - 12 = 0\]
\[ \to hA = d(A;BC) = \frac{{|3 + 8 - 12|}}{{\sqrt {9 + 16} }} = \frac{1}{5}\]
Đáp án cần chọn là: A
Câu 7:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(3;−4), B(1;5) và C(3;1). Tính diện tích tam giác ABC.
Cách 1:
+) Viết phương trình BCBC:
Ta có:\[\overrightarrow {BC} = \left( {2; - 4} \right)\] nên\[\overrightarrow {{u_{BC}}} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} = \left( {1; - 2} \right)\] là VTCP của BC, do đó\[\overrightarrow {{n_{BC}}} = \left( {2;1} \right)\]
Đường thẳng BC đi qua B(1;5) và nhận\[\overrightarrow {{n_{BC}}} = \left( {2;1} \right)\] làm VTPT nên:
\[BC:2\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - 5} \right) = 0\] hay\[BC:2x + y - 7 = 0\]
Suy ra
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{A(3; - 4)}\\{B(1;5),C(3;1)}\end{array}} \right. \to \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{A(3; - 4)}\\{BC = 2\sqrt 5 }\\{BC:2x + y - 7 = 0}\end{array}} \right.\)
\( \to \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{BC = 2\sqrt 5 }\\{hA = d(A;BC) = \sqrt 5 }\end{array}} \right.\)
\[ \to {S_{ABC}} = \frac{1}{2}.2\sqrt 5 .\sqrt 5 = 5.\]
Đáp án cần chọn là: B
Câu 8:
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để khoảng cách từ điểm A(−1;2) đến đường thẳng \[\Delta :mx + y - m + 4 = 0\;\] bằng \[2\sqrt 5 \].
\[d\left( {A;{\rm{\Delta }}} \right) = \frac{{\left| { - m + 2 - m + 4} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 1} }} = 2\sqrt 5 \Leftrightarrow \left| {m - 3} \right| = \sqrt 5 .\sqrt {{m^2} + 1} \]
\[ \Leftrightarrow 4{m^2} + 6m - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = - 2}\\{m = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\]
Đáp án cần chọn là: B
Câu 9:
Cho đường thẳng \[\left( {\rm{\Delta }} \right):3x - 2y + 1 = 0\]. Viết PTĐT (d) đi qua điểm M(1;2) và tạo với \[\left( \Delta \right)\;\;\]một góc \({45^0}\)
+) TH1: (d) không có hệ số góc.
Khi đó phương trình (d) có dạng: x – c = 0.
(d) đi qua M(1;2) nên x – 1 = 0 nên có VTPT\[\vec n = \left( {1;0} \right)\]
\[ \Rightarrow \cos \left( {d,{\rm{\Delta }}} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_{\rm{\Delta }}}} .\overrightarrow {{n_d}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_{\rm{\Delta }}}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_d}} } \right|}} = \frac{{\left| {3.1 - 2.0} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt {13} }} \ne \frac{{\sqrt 2 }}{2} = \cos {45^0}\]
Do đó đường thẳng này không thỏa mãn bài toán.
+) TH2: (d) có hệ số góc.
PTĐT (d)được viết dưới dạng:\[y - 2 = k\left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow kx - y + 2 - k = 0\]
Vì (d) hợp với \[(\Delta )\;\]một góc \[{45^0}\] nên:\[{\rm{cos}}{45^0} = \frac{{|3k + ( - 1).( - 2)|}}{{\sqrt {{k^2} + 1} .\sqrt {{3^2} + {{( - 2)}^2}} }}\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{|3k + 2|}}{{\sqrt {13} .\sqrt {{k^2} + 1} }} \Leftrightarrow \frac{2}{4} = \frac{{9{k^2} + 12k + 4}}{{13.({k^2} + 1)}}\]
\[ \Leftrightarrow 5{k^2} + 24k - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{k = \frac{1}{5}}\\{k = - 5}\end{array}} \right.\]
Vậy phương trình (d) là: \[\frac{1}{5}x - y + 2 - \frac{1}{5} = 0 \Leftrightarrow x - 5y + 9 = 0\] hay
\[ - 5x - y + 2 - ( - 5) = 0 \Leftrightarrow 5x + y - 7 = 0\]
Đáp án cần chọn là: B
Câu 10:
Lập phương trình đường thẳng (Δ) đi qua M(2;7) và cách N(1;2) một khoảng bằng 1.
+) TH1: \[(\Delta )\;\] không có hệ số góc, khi đó phương trình \[(\Delta )\;\]có dạng x = c hay x – c = 0 .
\[(\Delta )\;\]đi qua điểm M(2;7) nên \[2 - c = 0 \Leftrightarrow c = 2 \Rightarrow \left( {\rm{\Delta }} \right):x - 2 = 0\]
Khi đó\[d\left( {N,\left( {\rm{\Delta }} \right)} \right) = \frac{{\left| {1 - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2}} }} = 1\] (thỏa mãn).
Do đó ta có đường thẳng \[\left( {{{\rm{\Delta }}_1}} \right):x - 2 = 0\]+) TH2: \[\left( {\rm{\Delta }} \right)\] có hệ số góc.
PTĐT \[\left( {\rm{\Delta }} \right)\]đi qua điểm M(2;7) và có hệ số góc k có dạng là:
\[y - 7 = k\left( {x - 2} \right) \Leftrightarrow kx - y + 7 - 2k = 0\]
Vì \[\left( {\rm{\Delta }} \right)\]cách N(1;2) một khoảng bằng 1 nên:
Ta có\[d(N,\Delta ) = 1\]
\[\begin{array}{*{20}{l}}{ \Leftrightarrow \frac{{|k.1 - 2 + 7 - 2.k|}}{{\sqrt {{k^2} + 1} }} = 1 \Leftrightarrow \frac{{| - k + 5|}}{{\sqrt {{k^2} + 1} }} = 1 \Leftrightarrow {{( - k + 5)}^2} = {{(\sqrt {{k^2} + 1} )}^2}}\\{ \Leftrightarrow {k^2} - 10k + 25 = {k^2} + 1 \Leftrightarrow k = \frac{{12}}{5}}\end{array}\]
Do đó ta có phương trình \[\left( {{{\rm{\Delta }}_2}} \right)\]là:\[\frac{{12}}{5}x - y + 7 - 2.\frac{{12}}{5} = 0 \Leftrightarrow 12x - 5y + 11 = 0\]
Vậy có hai đường thẳng cần tìm là \[\left( {{{\rm{\Delta }}_1}} \right):x - 2 = 0\]và\[\left( {{{\rm{\Delta }}_2}} \right):12x - 5y + 11 = 0\]
Đáp án cần chọn là: C
Câu 11:
Cho đường thẳng d có ptts: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + 2t}\\{y = 3 + t}\end{array}} \right.;t \in R\). Tìm điểm \[M \in d\;\] sao cho khoảng cách từ M đến điểm A(0;1) một khoảng bằng 5.
Điểm \[M \in d\;\] nên tọa độ của M phải thỏa mãn phương trình của d.
Gọi \[M(2 + 2t;3 + t) \in d\]
Ta có\[\overrightarrow {AM} = (2 + 2t;2 + t)\]
Theo giả thiết:\[\overrightarrow {\left| {AM} \right|} = 5 \Leftrightarrow \sqrt {{{(2 + 2t)}^2} + {{(2 + t)}^2}} = 5\]
\[ \Leftrightarrow {(2 + 2t)^2} + {(2 + t)^2} = 25\]\[ \Leftrightarrow 5{t^2} + 12t - 17 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1}\\{t = \frac{{ - 17}}{5}}\end{array}} \right.\]
Vậy có 2 điểm M thỏa ycbt M1(4;4) và\[{M_2}(\frac{{ - 24}}{5};\frac{{ - 2}}{5})\]
Đáp án cần chọn là: D
Câu 12:
Cho \[d:x + 3y - 6 = 0;d':3x + y + 2 = 0.\]. Lập phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi d và d′
Vì:\[\frac{1}{3} \ne \frac{3}{1}\] nên d cắt d′
Phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi d và d′ là:
\[\frac{{x + 3y - 6}}{{\sqrt {10} }} = \pm \frac{{3x + y + 2}}{{\sqrt {10} }} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 3y - 6 = 3x + y + 2}\\{x + 3y - 6 = - (3x + y + 2)}\end{array}} \right.\]
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y + 4 = 0}\\{x + y - 1 = 0}\end{array}} \right.\)
Đáp án cần chọn là: B
Câu 13:
Lập phương trình đường phân giác trong của góc A của ΔABC biết A(2;0);B(4;1);C(1;2)
+ Cạnh AB đi qua hai điểm A,B nên phương trình cạnh AB:\[x - 2y - 2 = 0\]+ Cạnh AC đi qua hai điểm A,C nên phương trình cạnh \[AC:2x + y - 4 = 0\]+ Phương trình hai đường phân giác của góc A:
\(\frac{{x - 2y - 2}}{{\sqrt 5 }} = \pm \frac{{2x + y - 4}}{{\sqrt 5 }} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 3y - 2 = 0(d)}\\{3x - y - 6 = 0(d\prime )}\end{array}} \right.\)
+ Xét đường phân giác \[\left( d \right):x + 3y - 2 = 0\]
Thế tọa độ điểm B vào vế trái của\[d:{t_1} = 4 + 3.1 - 2 = 5 >0\]
Thế tạo độ điểm C vào vế trái của d: \[{t_2} = 1 + 3.2 - 2 = 5 >0\]
Vì\[{t_1}.{t_2} >0\] nên B và C nằm cùng phía đối với d⇒d là đường phân giác ngoài
Vậy đường phân giác trong của góc A là: \[d':3x - y - 6 = 0\]
Đáp án cần chọn là: A
Câu 14:
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD biết M(2;1);N(4;−2);P(2;0);Q(1;2) lần lượt thuộc cạnh AB,BC,CD,AD. Hãy lập phương trình cạnh AB của hình vuông.
Giả sử đường thẳng AB qua M và có VTPT là \[\vec n = \left( {a;b} \right)\,\,\,\,\left( {{a^2} + {b^2} \ne 0} \right)\]
=>VTPT của BC là:\[{\vec n_1} = \left( { - b;a} \right)\]
Phương trình AB có dạng: \[a\left( {x - 2} \right) + b\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow ax + by - 2a - b = 0\]BC có dạng:\[ - b\left( {x - 4} \right) + a\left( {y + 2} \right) = 0\; \Leftrightarrow - bx + ay + 4b + 2a = 0\]
Do ABCD là hình vuông nên\[d\left( {P,AB} \right) = d\left( {Q,BC} \right)\]
\( \Leftrightarrow \frac{{\left| { - b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{{|3b + 4a|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{b = - 2a}\\{b = - a}\end{array}} \right.\)
TH1: \[b = - 2a\]
Chọn\[a = 1 \Rightarrow b = - 2\] ta được\[AB:x - 2y - 2.1 - \left( { - 2} \right) = 0\] hay\[x - 2y = 0\]\[BC: - \left( { - 2} \right)x + y + 4.\left( { - 2} \right) + 2.1 = 0\] hay\[2x + y - 6 = 0\]
CD đi qua P(2;0) và song song AB nên nhận\[\overrightarrow {{n_{AB}}} = \left( {1; - 2} \right)\]l àm VTPT
Do đó CD: 1(x-2) – 2(y-0) = 0 hay x-2y-2=0
AD đi qua Q(1;2) và song song BC nên nhận\[\overrightarrow {{n_{BC}}} = \left( {2;1} \right)\] làm VTPT
Do đó AD: 2(x-1) + 1(y-2) = 0 hay 2x+y-4=0
TH2:\[b = - a\]
Chọn\[a = 1 \Rightarrow b = - 1\] ta được\[AB:x - y - 2.1 - \left( { - 1} \right) = 0\] hay\[x - y - 1 = 0\]
\[BC: - \left( { - 1} \right)x + y + 4.\left( { - 1} \right) + 2.1 = 0\] hay\[x + y - 2 = 0\]
CD đi qua P(2;0) và song song AB nên nhận\[\overrightarrow {{n_{AB}}} = \left( {1; - 1} \right)\] làm VTPT
Do đó CD: 1(x-2) – 1(y-0) = 0 hay x-y-2=0
AD đi qua Q(1;2) và song song BC nên nhận\[\overrightarrow {{n_{BC}}} = \left( {1;1} \right)\] làm VTPT
Do đó AD: 1(x-1) + 1(y-2) = 0 hay x+y-3=0.
Đáp án cần chọn là: B
Câu 15:
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 2 đường thẳng \[{d_1}:x - 7y + 17 = 0,\] \[{d_2}:x + y - 5 = 0\]. Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M(0;1) tạo với \[{d_1},{d_2}\;\] một tam giác cân tại giao điểm của \[{d_1},{d_2}\].
Phương trình đường phân giác góc tạo bởi \[{d_1},{d_2}\] là:
\(\frac{{|x - 7y + 17|}}{{\sqrt {{1^2} + {{( - 7)}^2}} }} = \frac{{|x + y - 5|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + 6y - 21 = 0({\Delta _1})}\\{3x - y - 4 = 0({\Delta _2})}\end{array}} \right.\)
Đường thẳng cần tìm đi qua M(0;1) và vuông góc với \[{{\rm{\Delta }}_1},{{\rm{\Delta }}_2}\]
+ Gọi \[{d_3}\] là đường thẳng vuông góc với \[{{\rm{\Delta }}_1}\] thì \[{d_3}\] có dạng: \[3x - y + c = 0\]
\[{d_3}\] đi qua điểm M(0;1) nên\[3.0 - 1 + c = 0 \Leftrightarrow c = 1\] hay\[3x - y + 1 = 0\]
+ Gọi \[{d_4}\] là đường thẳng vuông góc với \[{{\rm{\Delta }}_2}\] thì \[{d_4}\] có dạng:\[x + 3y + c = 0\]
\[{d_4}\] đi qua điểm M(0;1) nên \[0 + 3.1 + c = 0 \Leftrightarrow c = - 3\] hay\[x + 3y - 3 = 0\]
KL: \[x + 3y - 3 = 0\] và\[3x - y + 1 = 0\]
Đáp án cần chọn là: A
Câu 16:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho \[\Delta ABC\] cân có đáy là BC.BC. Đỉnh A có tọa độ là các số dương, hai điểm B và C nằm trên trục Ox, phương trình cạnh AB: \[y = 3\sqrt 7 (x - 1)\] Biết chu vi của \[\Delta ABC\] bằng 18, tìm tọa độ các đỉnh A,B,C.
\[B = AB \cap Ox \Rightarrow B(1;0),A \in AB \Rightarrow A\left( {a;3\sqrt 7 (a - 1)} \right) \Rightarrow a >1\] (do\[{x_A} >0,{y_A} >0\])
Gọi AH là đường cao \[{\rm{\Delta }}ABC\], do \[{\rm{\Delta }}ABC\] cân tại A nên AH cũng là đường trung tuyến, khi đó H là trung điểm của BC
\[ \Rightarrow H(a;0) \Rightarrow C(2a - 1;0) \Rightarrow BC = 2(a - 1),AB = AC = 8(a - 1)\]
Chu vi tam giác ABC bằng\[18 \Leftrightarrow a = 2 \Rightarrow C(3;0),A\left( {2;3\sqrt 7 } \right)\]
Đáp án cần chọn là: A
Câu 17:
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 4 điểm A(1;0),B(−2;4),C(−1;4),D(3;5). Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng \[\left( \Delta \right):3x - y - 5 = 0\;\]sao cho hai tam giác MAB,MCD có diện tích bằng nhau.
Phương trình tham số của\[\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = 3t - 5}\end{array}} \right.\]
Điểm\[M \in {\rm{\Delta }} \Rightarrow M\left( {t;3t - 5} \right)\]
\[\overrightarrow {AB} \left( { - 3;4} \right);\overrightarrow {CD} \left( {4;1} \right)\]
Phương trình đường thẳng \[AB:4x + 3y - 4 = 0\]
Phương trình đường thẳng\[CD:x - 4y + 17 = 0\]\[{S_{MAB}} = {S_{MCD}} \Leftrightarrow d(M,AB).AB = d(M,CD).CD\]
\[\frac{{\left| {4t + 3(3t - 5) - 4} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }}.AB = \frac{{\left| {t - 4(3t - 5) + 17} \right|}}{{\sqrt {1 + {4^2}} }}.CD\]
\[ \Rightarrow \frac{{\left| {13t - 19} \right|}}{5}.\sqrt {{4^2} + {3^2}} = \frac{{\left| { - 11t + 37} \right|}}{{\sqrt {17} }}.\sqrt {1 + {4^2}} \]
\[ \Leftrightarrow t = - 9 \vee t = \frac{7}{3} \Rightarrow M( - 9; - 32),M\left( {\frac{7}{3};2} \right)\]
Đáp án cần chọn là: D
Câu 18:
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho \[\Delta ABC\] có đỉnh A(1;2), phương trình đường trung tuyến \[BM:2x + y + 1 = 0\;\] và phân giác trong \[CD:x + y - 1 = 0\]. Viết phương trình đường thẳng BC.
Điểm\[C \in CD:x + y - 1 = 0 \Rightarrow C\left( {t;1 - t} \right)\]
Suy ra trung điểm M của AC là\[M\left( {\frac{{t + 1}}{2};\frac{{3 - t}}{2}} \right)\]
M thuộc BM nên\[(t + 1) + \frac{{3 - t}}{2} + 1 = 0 \Rightarrow t = - 7 \Rightarrow C\left( { - 7;8} \right)\]
Từ A(1;2) kẻ \[AI \bot CD\left( {I \in CD} \right)\]cắt BC tại K
Suy ra \[AK:\left( {x - 1} \right) - \left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x - y + 1 = 0\]Tọa độ điểm I thỏa hệ:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y - 1 = 0}\\{x - y + 1 = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow I(0;1)\)
Tam giác ACK cân tại C nên I là trung điểm của AK⇒K(−1;0)
Đường thẳng BC đi qua C,K nên có phương trình:
\[\frac{{x + 1}}{{ - 7 + 1}} = \frac{y}{8} \Leftrightarrow 4x + 3y + 4 = 0\]
Đáp án cần chọn là: A
Câu 19:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6;2) là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Điểm M(1;5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng \[\Delta :x + y - 5 = 0.\]. Viết phương trình đường thẳng AB.
\[I\left( {6;2} \right);M\left( {1;5} \right)\]
\[{\rm{\Delta }}:x + y - 5 = 0,E \in {\rm{\Delta }} \Rightarrow E\left( {m;5 - m} \right);\]
Gọi N là trung điểm của AB
I trung điểm NE \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_N} = 2{x_I} - {x_E} = 12 - m}\\{{y_N} = 2{y_I} - {y_E} = 4 - 5 + m = m - 1}\end{array}} \right.\)
\[ \Rightarrow N\left( {12 - m;m - 1} \right)\]
\[\overrightarrow {MN} = \left( {11 - m;m - 6} \right);\]
\[\overrightarrow {IE} = \left( {m - 6;5 - m - 2} \right) = \left( {m - 6;3 - m} \right)\]
\[\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {IE} = 0 \Leftrightarrow \left( {11 - m} \right)\left( {m - 6} \right) + \left( {m - 6} \right)\left( {3 - m} \right) = 0\]
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m - 6 = 0}\\{14 - 2m = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 6}\\{m = 7}\end{array}} \right.\)
\[m = 6 \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {5;0} \right)\]nên phương trình AB là y = 5
\[m = 7 \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {4;1} \right)\] nên phương trình AB là \[x - 4y + 19 = 0\]Đáp án cần chọn là: A
Câu 20:
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác trong góc A là d1:x+y+2=0, phương trình đường cao vẽ từ B là d2:2x−y+1=0, cạnh AB đi qua M(1;−1). Tìm phương trình cạnh AC.
Gọi N là điểm đối xứng của M qua \[{d_1} \Rightarrow N \in AC\]
\[\overrightarrow {MN} = ({x_N} - 1,\,\,{y_N} + 1)\]
Ta có: \[\overrightarrow {MN} \]cùng phương\[{\vec n_{{d_1}}} = (1;\,\,1)\]
\[ \Leftrightarrow \,\,1({x_N} - 1) - 1({y_N} + 1) = 0 \Leftrightarrow {x_N} - {y_N} = 2\,\,\,(1)\]
Tọa độ trung điểm I của\[MN:{x_I} = \frac{1}{2}\left( {1 + {x_N}} \right),{y_I} = \frac{1}{2}\left( { - 1 + {y_N}} \right)\]
\[I \in \left( {{d_1}} \right) \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {1 + {x_N}} \right) + \frac{1}{2}\left( { - 1 + {y_N}} \right) + 2 = 0 \Leftrightarrow {x_N} + {y_N} + 4 = 0\,\,\,\,(2)\]
Giải hệ (1) và (2) ta được \[N\left( { - 1; - 3} \right)\]
Phương trình cạnh AC vuông góc với \[{d_2}\] có dạng: \[x + 2y + C = 0.\]
\[N \in AC \Leftrightarrow - 1 + 2.( - 3) + C = 0 \Leftrightarrow C = 7\]
Vậy, phương trình cạnh \[AC:x + 2y + 7 = 0.\]
Đáp án cần chọn là: CCâu 21. Xét trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cặp điểm nào dưới đây nằm cùng phía so với đường thẳng \[x - 2y + 3 = 0?\]
A.M(0;1) và P(0;2).
B.P(0;2) và N(1;1).
C.M(0;1) và Q(2;−1).
D.M(0;1) và N(1;5).
Ta thế tọa độ M(0;1) và P(0;2) vào đường thẳng:
\[\left( {0 - 2.1 + 3} \right)\left( {0 - 2.2 + 3} \right) < 0\] nên loại A.
Ta thế tọa độ N(1;1) và P(0;2) vào đường thẳng:
\[\left( {1 - 2.1 + 3} \right)\left( {0 - 2.2 + 3} \right) < 0\] nên loại B.
Ta thế tọa độ M(0;1) và Q(2;−1) vào đường thẳng:
\[\left( {0 - 2.1 + 3} \right)\left( {2 - 2.\left( { - 1} \right) + 3} \right) >0\] nên chọn C.
Đáp án cần chọn là: C
Câu 21:
Xét trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cặp điểm nào dưới đây nằm cùng phía so với đường thẳng \[x - 2y + 3 = 0?\]
Ta thế tọa độ M(0;1) và P(0;2) vào đường thẳng:
\[\left( {0 - 2.1 + 3} \right)\left( {0 - 2.2 + 3} \right) < 0\] nên loại A.
Ta thế tọa độ N(1;1) và P(0;2) vào đường thẳng:
\[\left( {1 - 2.1 + 3} \right)\left( {0 - 2.2 + 3} \right) < 0\] nên loại B.
Ta thế tọa độ M(0;1) và Q(2;−1) vào đường thẳng:
\[\left( {0 - 2.1 + 3} \right)\left( {2 - 2.\left( { - 1} \right) + 3} \right) > 0\] nên chọn C.
Đáp án cần chọn là: C
Câu 22:
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng \[(d):3x - 4y - 12 = 0\]Phương trình đường thẳng \[\left( \Delta \right)\;\]đi qua M(2;−1) và tạo với (d) một góc \[{45^o}\] có dạng \[ax + by + 5 = 0\], trong đó a,b cùng dấu. Khẳng định nào sau đây đúng?
Đường thẳng (d) có VTPT\[\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3; - 4} \right)\]
Đường thẳng \[\left( {\rm{\Delta }} \right)\]có VTPT\[\overrightarrow {{n_2}} = \left( {a;b} \right)\]
\[ \Rightarrow cos(d;\Delta ) = cos\left( {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} } \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{|3a - 4b|}}{{5\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\]
\[ \Leftrightarrow cos{45^o} = \frac{{|3a - 4b|}}{{5\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \Leftrightarrow \frac{{|3a - 4b|}}{{5\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\]
\[ \Leftrightarrow \sqrt 2 |3a - 4b| = 5\sqrt {{a^2} + {b^2}} \Leftrightarrow 2{(3a - 4b)^2} = 25({a^2} + {b^2})\]
\[ \Leftrightarrow 7{a^2} + 48ab - 7{b^2} = 0(1)\]
Mặt khác\[M\left( {2; - 1} \right) \in {\rm{\Delta }} \Rightarrow 2a - b + 5 = 0 \Leftrightarrow b = 2a + 5\]thế vào (1)
\[ \Rightarrow 7{a^2} + 48a(2a + 5) - 7{(2a + 5)^2} = 0 \Leftrightarrow 75{a^2} + 100a\]
\[ - 175 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1 \Rightarrow b = 7(tm)}\\{a = - \frac{7}{3} \Rightarrow b = \frac{1}{3}(ktm)}\end{array}} \right.\]
\[ \Rightarrow a + b = 8.\]
Đáp án cần chọn là: C
Câu 23:
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật có hai cạnh nằm trên đường thẳng có phương trình lần lượt là \[2x - y + 3 = 02x - y + 3 = 0;\;\] và tọa độ một đỉnh là (2;3). Diện tích hình chữ nhật đó là:
Ta thấy\[{d_1}:\,\,\,2x - y + 3 = 0;\,\,\,{d_2}:\,\,\,x + 2y - 5 = 0\]là hai đường thẳng vuông góc.
Giả sử hình chữ nhật bài cho là ABCD có:
\[AB:\,\,\,2x - y + 3 = 0;\,\,\,AD:\,\,\,x + 2y - 5 = 0\]
Thay tọa độ điểm (2;3) vào các phương trình đường thẳng AB,AD ta thấy (2;3) không thuộc các đường thẳng trên ⇒C(2;3).
\[ \Rightarrow {S_{ABCD}} = CB.CD = d(C;AB).d(C;AD)\]
\[\begin{array}{l} = \frac{{\left| {2.2 - 3 + 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} }}.\frac{{\left| {2 + 2.3 - 5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt 5 }}.\frac{3}{{\sqrt 5 }} = \frac{{12}}{5}\,\,\,\left( {dvdt} \right)\\\end{array}\]
Đáp án cần chọn là: D
Câu 24:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng đi qua hai điểm A(1;2), B(4;6), tìm tọa độ điểm M trên trục Oy sao cho diện tích \[\Delta MAB\] bằng 1.
Gọi \[M\left( {0;m} \right) \in Oy;\,\,AB = \sqrt {{{\left( {4 - 1} \right)}^2} + {{\left( {6 - 2} \right)}^2}} = 5.\]
Có \[{S_{{\rm{\Delta }}MAB}} = \frac{1}{2}d\left( {M,AB} \right).AB \Leftrightarrow 1 = \frac{1}{2}.d\left( {M,AB} \right).5 \Leftrightarrow d\left( {M,AB} \right) = \frac{2}{5}\]
\[\overrightarrow {AB} = \left( {3;4} \right) \Rightarrow \vec n = \left( {4; - 3} \right)\] là 1 VTPT của AB.
⇒ Phương trình AB: \[4\left( {x - 1} \right) - 3\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x - 3y + 2 = 0\]\[ \Rightarrow d\left( {M,AB} \right) = \frac{{\left| { - 3m + 2} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} \Leftrightarrow \frac{2}{5} = \frac{{\left| { - 3m + 2} \right|}}{5} \Leftrightarrow \left| { - 3m + 2} \right| = 2\]
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3m + 2 = 2}\\{ - 3m + 2 = - 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 0 \Rightarrow M(0;0)}\\{m = \frac{4}{3} \Rightarrow M\left( {0;\frac{4}{3}} \right)}\end{array}} \right.\)
Đáp án cần chọn là: B
Câu 25:
Tính khoảng cách từ điểm (–2;2) đến đường thẳng \[\Delta :\;5x - 12y + 8 = 0\;\]bằng:
Khoảng cách từ điểm M (–2; 2) đến đường thẳng\(\Delta :\)\[5x - 12y + 8 = 0\]
\[d\left( {M;{\rm{\Delta }}} \right) = \frac{{\left| { - 2.5 - 12.2 + 8} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {{12}^2}} }} = \frac{{26}}{{13}} = 2.\]
Đáp án cần chọn là: B
Câu 26:
Khoảng cách giữa \[{{\rm{\Delta }}_1}:3x + 4y = 12\] và \[{\Delta _2}:6x + 8y - 11 = 0\] là:
\[{{\rm{\Delta }}_1}:\;\;3x + 4y = 12 \Leftrightarrow 3x + 4y - 12 = 0.\]
Xét phương trình đường thẳng\[{{\rm{\Delta }}_1},\;{{\rm{\Delta }}_2}\] ta có:\[\frac{3}{6} = \frac{4}{8} \ne - \frac{{12}}{{11}} \Rightarrow {{\rm{\Delta }}_1}//{{\rm{\Delta }}_2}.\]
Chọn \[A\left( {0;3} \right) \in {{\rm{\Delta }}_1}.\] Khi đó ta có:
\[ \Rightarrow d\left( {{{\rm{\Delta }}_1};{{\rm{\Delta }}_2}} \right) = d\left( {A;{{\rm{\Delta }}_2}} \right) = \frac{{\left| {24 - 11} \right|}}{{\sqrt {{6^2} + {8^2}} }} = \frac{{13}}{{10}} = 1,3.\]
Đáp án cần chọn là: A
Câu 27:
Trên mặt phẳng tọa độOxy, cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là A(2;3),B(5;0) và C(−1;0). Tìm tọa độ điểm M thuộc cạnh BC sao cho diện tích tam giác MAB bằng hai lần diện tích tam giác MAC
Phương trình đường thẳng BC là y=0, vì \[M \in BC\;\] nên gọi M(m;0).
Ta có:\[\overrightarrow {AM} = \left( {m - 2; - 3} \right)\] nên\[\vec n = \left( {3;m - 2} \right)\] là 1 VTPT của đường thẳng AM.
Phương trình đường thẳng AM là:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{3\left( {x - 2} \right) + \left( {m - 2} \right)\left( {y - 3} \right) = 0}\\{ \Leftrightarrow 3x + \left( {m - 2} \right)y - 6 - 3m + 6 = 0}\\{ \Leftrightarrow 3x + \left( {m - 2} \right)y - 3m = 0}\end{array}\]
\[\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow d\left( {B;AM} \right) = \frac{{\left| {15 - 3m} \right|}}{{\sqrt {9 + {{\left( {m - 2} \right)}^2}} }}}\\{\,\,\,\,\,\,d\left( {C;AM} \right) = \frac{{\left| { - 3 - 3m} \right|}}{{\sqrt {9 + {{\left( {m - 2} \right)}^2}} }}}\end{array}\]
Ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{S_{\Delta MAB}} = \frac{1}{2}d(B;AM).AM}\\{{S_{\Delta MAC}} = \frac{1}{2}d(C;AM).AM}\end{array}} \right. \Rightarrow {S_{\Delta MAB}} = 2{S_{\Delta MAC}}\)
\[ \Leftrightarrow d(B;AM) = 2d(C;AM)\]
\[\frac{{|15 - 3m|}}{{\sqrt {9 + {{(m - 2)}^2}} }} = 2\frac{{| - 3 - 3m|}}{{\sqrt {9 + {{(m - 2)}^2}} }}\]
\[ \Leftrightarrow |15 - 3m| = 2| - 3 - 3m|\]
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{15 - 3m = - 6 - 6m}\\{15 - 3m = 6 + 6m}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = - 7}\\{m = 1}\end{array}} \right.\)
Vậy M(1;0) hoặc M(−7;0)
Đáp án cần chọn là: B
Câu 28:
Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(−1;2);B(3;4) và đường thẳng \[{\rm{\Delta }}:\,\,x - 2y - 2 = 0\]. Tìm điểm \[M \in \Delta \] sao cho \[2A{M^2} + M{B^2}\] có giá trị nhỏ nhất.
Gọi điểm I(a;b) thỏa mãn
\[2\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \vec 0 \Leftrightarrow 2\left( { - 1 - a;\;2 - b} \right) + \left( {3 - a;\;4 - b} \right) = \vec 0\]
\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2( - 1 - a) + 3 - a = 0}\\{2(2 - b) + 4 - b = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3a + 1 = 0}\\{ - 3b + 8 = 0}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{1}{3}}\\{b = \frac{8}{3}}\end{array}} \right. \Rightarrow I\left( {\frac{1}{3},\frac{8}{3}} \right)\)
Ta có: \[2A{M^2} + M{B^2} = 2{\left( {\overrightarrow {IM} - \overrightarrow {IA} } \right)^2}\]
\[\begin{array}{*{20}{l}}{ = 2\left( {I{M^2} - 2\overrightarrow {IM} .\overrightarrow {IA} + I{A^2}} \right) + I{B^2} - 2\overrightarrow {IB} .\overrightarrow {IM} + I{M^2}}\\{ = 3I{M^2} + 2I{A^2} + I{B^2} - 2\overrightarrow {IM} \left( {2\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} } \right)}\\{ = 3I{M^2} + 2I{A^2} + I{B^2}}\end{array}\]
\[2I{A^2} + I{B^2}\]không thay đổi nên \[2A{M^2} + M{B^2}\]nhỏ nhất khi IM nhỏ nhất
⇔ là hình chiếu vuông góc của I lên \[\Delta \]
\[\Delta \] có VTPT là\[\vec n = \left( {1; - 2} \right)\]
Gọi d là đường thẳng đi qua I vuông góc với \[{\rm{\Delta }}\]
⇒ d nhận\[\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;\;1} \right)\] àm VTPT
⇒Phương trình tổng quát của d là:
\[2\left( {x - \frac{1}{3}} \right) + \left( {y - \frac{8}{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - \frac{{10}}{3} = 0\]
M là giao điểm của d và \[\Delta \Rightarrow \] tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + y - \frac{{10}}{3} = 0}\\{x - 2y - 2 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{26}}{{15}}}\\{y = - \frac{2}{{15}}}\end{array}} \right. \Rightarrow M\left( {\frac{{26}}{{15}}, - \frac{2}{{15}}} \right)\)
Vậy \[M\left( {\frac{{26}}{{15}}; - \frac{2}{{15}}} \right)\] thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Đáp án cần chọn là: A