IMG-LOGO
Trang chủ Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội Mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp đa diện

Mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp đa diện

Mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp đa diện

  • 1228 lượt thi

  • 33 câu hỏi

  • 45 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện nếu nó:

Xem đáp án

Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện nếu nó đi qua mọi đỉnh của đa diện.

Đáp án cần chọn là: A


Câu 2:

Trục đa giác đáy là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy tại:

Xem đáp án

Trục đa giác đáy: là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy.

Đáp án cần chọn là: D


Câu 3:

Tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng là:

Xem đáp án

Mọi điểm nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng và ngược lại.

Đáp án cần chọn là: C


Câu 4:

Hình nào sau đây không có mặt cầu ngoại tiếp?

Xem đáp án

- Hình hộp chữ nhật và hình lập phương đều có mặt cầu ngoại tiếp nên A và B đúng.

- Hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác nội tiếp được đường tròn thì có mặt cầu ngoại tiếp nên C đúng.

- Hình chóp có đáy là đa giác nội tiếp được đường tròn thì có mặt cầu ngoại tiếp nên D sai vì hình thoi không nội tiếp được đường tròn.

Đáp án cần chọn là: D


Câu 5:

Số mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là:

Xem đáp án

Vì tứ diện là hình chóp tam giác nên nó luôn có mặt cầu ngoại tiếp, ngoài ra nó chỉ có duy nhất một mặt cầu ngoại tiếp.

Đáp án cần chọn là: B


Câu 6:

Hình chóp nào sau đây luôn nội tiếp được mặt cầu?

Xem đáp án

Trong các hình chóp tam giác, tứ giác, ngũ giác, lục giác thì chỉ có tam giác luôn nội tiếp được đường tròn nên hình chóp tam giác luôn nội tiếp được mặt cầu.

Đáp án cần chọn là: A


Câu 7:

Cho hình chóp tam giác S.ABC có \(\widehat {SAC} = \widehat {SBC} = {90^0}\). Khi đó tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp nằm trên đường thẳng nào?

Xem đáp án

Ta thấy: \(\widehat {SAC} = \widehat {SBC} = {90^0}\)nên các đỉnh A,B luôn nhìn cạnh SC một góc 900. Do đó tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là trung điểm SC.

Đáp án cần chọn là: C


Câu 8:

Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều nằm ở đâu?

Xem đáp án

Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều nằm trên đoạn nối đỉnh với tâm đáy.

Đáp án cần chọn là: C


Câu 9:

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên b. Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là:

Xem đáp án

Ta có: ABCD là hình vuông cạnh a nên \[AC = a\sqrt 2 \Rightarrow OA = \frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\]

Tam giác SOC vuông tại O nên \[S{C^2} = S{O^2} + O{C^2} \Rightarrow h = SO = \sqrt {S{C^2} - O{C^2}} = \sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{2}} \]

Vậy \[R = \frac{{{b^2}}}{{2h}} = \frac{{{b^2}}}{{2\sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{2}} }}\]

Đáp án cần chọn là: A


Câu 10:

Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy là:

Xem đáp án

Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy nội tiếp mặt cầu có bán kính \[R = \sqrt {{r^2} + \frac{{{h^2}}}{4}} \]

với r là bán kính đường tròn đáy, h là chiều cao hình chóp (độ dài cạnh bên vuông góc với đáy).

Đáp án cần chọn là: A


Câu 11:

Công thức tính diện tích mặt cầu là:

Xem đáp án
Công thức tính diện tích mặt cầu \[S = 4\pi {R^2}\]

Đáp án cần chọn là: B


Câu 12:

Khối cầu thể tích V thì bán kính là:

Xem đáp án
Ta có: thể tích khối cầu  \[V = \frac{4}{3}\pi {R^3} \Rightarrow R = \sqrt[3]{{\frac{{3V}}{{4\pi }}}}\]

Đáp án cần chọn là: D


Câu 13:

Ba đoạn thẳng SA, SB, SC đôi một vuông góc tạo với nhau thành một tứ diện SABC với SA = a, SB = 2a, SC = 3a . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện đó là

Xem đáp án

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện vuông S.ABC được tính theo công thức

\[R = \sqrt {\frac{{S{A^2} + S{B^2} + S{C^2}}}{4}} = \frac{{\sqrt {{a^2} + {{\left( {2a} \right)}^2} + {{\left( {3a} \right)}^2}} }}{2} = \frac{{a\sqrt {14} }}{2}\]

Đáp án cần chọn là: C


Câu 14:

Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC)  và có SA = a, AB = b, AC = c. Mặt cầu đi qua các đỉnh A,B,C,S có bán kính r bằng :

Xem đáp án

Vì \[SA \bot (ABC) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{SA \bot AB}\\{SA \bot AC}\end{array}} \right.\]

Mà  \[AB \bot AC\] nên hình chóp S.ABC là tứ diện vuông.

Áp dụng công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện vuông ta được

\[R = \sqrt {\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{4}} = \frac{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}{2}\]

Đáp án cần chọn là: C


Câu 15:

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh \(SA = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\). Gọi DD là điểm đối xứng của B qua C. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD 

Xem đáp án

Do D đối xứng với C qua B nên có BC = DC = AC suy ra tam giác ABD là tam giác vuông tại A.

Kẻ đường thẳng d qua C vuông góc với đáy, đường thẳng này là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy ABD .

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh  (ảnh 1)

Tam giác SAB cân tại S , gọi M là trung điểm AB,H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB

\[ \Rightarrow H \in SM;SM = \sqrt {S{A^2} - A{M^2}} = \frac{{a\sqrt {13} }}{{2\sqrt 3 }}\]

\[SH = \frac{{AB.SA.SB}}{{4.{S_{SAB}}}} = \frac{{{{\left( {\frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2}.a}}{{4.\frac{1}{2}.a.AM}} = \frac{{4a}}{{\sqrt {39} }}\]

Trong (SAC) dựng \[HI \bot SM\left( {I \in d} \right)(1)\]Mà \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AB \bot SM}\\{AB \bot MC}\end{array}} \right. \Rightarrow AB \bot (SMC) \Rightarrow AB \bot HI(2)\)

Từ (1), (2) suy ra \[HI \bot \left( {SAB} \right)\] suy ra I là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chóp S.ABD

Gọi \[Q = MS \cap CI\] xét tam giác SCM có\[\frac{{SM}}{{QM}} = \frac{{MG}}{{MC}} = \frac{1}{3} \Rightarrow QM = 3SM = 3.\frac{{a\sqrt {13} }}{{2\sqrt 3 }} = \frac{{a\sqrt {39} }}{2}\]

\[ \Rightarrow QH = QM - MS + HS = \frac{{a\sqrt {39} }}{2} - \frac{{a\sqrt {13} }}{{2\sqrt 3 }} + \frac{{4a}}{{\sqrt {39} }} = \frac{{17a}}{{\sqrt {39} }}\]

\[QC = \sqrt {Q{M^2} - M{C^2}} = 3a\]

Xét:\[{\rm{\Delta }}QHI \sim {\rm{\Delta }}QCM \Rightarrow \frac{{HI}}{{CM}} = \frac{{HQ}}{{QC}} \Rightarrow HI = \frac{{HQ.CM}}{{QC}} = \frac{{17a}}{{6\sqrt {13} }}\]

\[ \Rightarrow R = SI = \sqrt {H{I^2} + H{S^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt {17} }}{{6\sqrt {13} }}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{4a}}{{\sqrt {39} }}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {37} }}{6}\]

Đáp án cần chọn là: C


Câu 16:

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh a. Một mặt cầu tiếp xúc với các mặt của tứ diện có bán kính là:

Xem đáp án

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh a. Một mặt cầu tiếp xúc với các mặt của tứ diện có bán kính là: (ảnh 1)

Gọi H là tâm tam giác đều BCD,E là trung điểm CD

Ta có \[AH \bot \left( {BCD} \right)\]Gọi I, r là tâm và bán kính mặt cầu tiếp xúc với các mặt của tứ diện ABCD thì I là giao của AH và phân giác góc AEB của \[\Delta AEB\]. Ta có

\[\begin{array}{*{20}{l}}{AE = BE = \frac{{a\sqrt 3 }}{2};HE = \frac{{BE}}{3} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}}\\{AH = \sqrt {A{E^2} - H{E^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}}\end{array}\]

Áp dụng tính chất đường phân giác:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{IH}}{{IA}} = \frac{{EH}}{{EA}} \Rightarrow \frac{{IH}}{{IH + IA}} = \frac{{EH}}{{EH + EA}}}\\{ \Rightarrow r = IH = \frac{{EH.AH}}{{EH + EA}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{{12}}}\end{array}\]

Đáp án cần chọn là: A


Câu 17:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a, \[SA \bot (ABCD)\;\] và SA = 2a. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

Xem đáp án

Gọi O là tâm hình chữ nhật ABCD,M và I lần lượt là trung điểm SA,SC⇒AOIM là hình chữ nhật.

Ta có O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD,\[OI \bot (ABCD)\;\] nên OI là trục đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD

\[IM \bot SA \Rightarrow IM\] là trung trực SA trong mặt phẳng (SAC)

⇒I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Có\[OI = AM = \frac{{SA}}{2} = a;OC = \frac{{AC}}{2} = \frac{1}{2}\sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\]

Bán kính và thể tích mặt cầu lần lượt là

\[\begin{array}{*{20}{l}}{R = IC = \sqrt {I{O^2} + O{C^2}} = \frac{{3a}}{2}}\\{V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{{9\pi {a^3}}}{2}}\end{array}\]

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a,  (ảnh 1)

Đáp án cần chọn là: B


Câu 18:

Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân đỉnh A, AB = AC = a, AA’ =\(a\sqrt 2 \). Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện  CA′B′C′ là:

Xem đáp án

Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân đỉnh A, AB = AC = a, AA’ = (ảnh 1)

Ta có:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{A'B' = AB = a}\\{B'C' = \sqrt {A'{B^{\prime 2}} + A'{C^{\prime 2}}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 }\\{B'C = \sqrt {B'{C^{\prime 2}} + C'{C^2}} = \sqrt {2{a^2} + 2{a^2}} = 2a}\\{A'C = \sqrt {A'{C^{\prime 2}} + C'{C^2}} = \sqrt {{a^2} + 2{a^2}} = a\sqrt 3 }\\{ \Rightarrow A'{B^{\prime 2}} + A'{C^2} = {a^2} + 3{a^2} = 4{a^2} = B'{C^2}}\end{array}\]

\[ \Rightarrow \Delta A\prime B\prime C\] vuông tại AA′.

Gọi I là trung điểm của B′C thì IB′ = IC = IA′

Mà \[\Delta CC\prime B\prime \;\] vuông tại C′ nên  IB′ = IC = IC′

Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện CA′B′C′ và bán kính \[R = \frac{1}{2}B'C = a\]

\[ \Rightarrow S = 4\pi {R^2} = 4\pi {a^2}\]

Đáp án cần chọn là: B


Câu 19:

Một hình hộp chữ nhật có độ dài ba cạnh lần lượt là 2;2;1. Tìm bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật trên.

Xem đáp án

Áp dụng công thức trên có \[R = \frac{3}{2}\]

Đáp án cần chọn là: B


Câu 20:

Cho một mặt cầu bán kính bằng 1. Xét các hình chóp tam giác đều ngoại tiếp mặt cầu trên. Hỏi thể tích nhỏ nhất của chúng bằng bao nhiêu?

Xem đáp án

Áp dụng các công thức trong tứ diện đều cạnh aa

Bán kính mặt cầu nội tiếp\[r = \frac{{a\sqrt 6 }}{{12}} = 1 \Rightarrow a = 2\sqrt 6 \]

Thể tích tứ diện đều đó là \[V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}} = 8\sqrt 3 \]

Đáp án cần chọn là: B


Câu 21:

Cho một lập phương có cạnh bằng a. Tính diện tích mặt cầu nội tiếp hình lập phương đó

Xem đáp án

Mặt cầu nội tiếp hình lập phương cạnh aa có bán kính bằng \[\frac{a}{2}\]

Diện tích mặt cầu đó là \[S = 4\pi {R^2} = 4\pi {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = \pi {a^2}\]

Đáp án cần chọn là: B


Câu 22:

Cho hình chóp đều nn cạnh (n ≥ 3)). Cho biết bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy là R và góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 600 , thể tích khối chóp bằng \(\frac{{3\sqrt 3 }}{4}{R^3}\). Tìm n?

Xem đáp án

Giả sử đáy là đa giác đều A1A2...An. O là tâm đáy, chóp có chiều cao là SH . Gọi I là trung điểm của A1A2

Ta có : \[I{A_1} = R.\sin \frac{\pi }{n};OI = R.\cos \frac{\pi }{n}\]

\[SO = OI.\tan {60^0} = R.\cos \frac{\pi }{n}.\sqrt 3 = R\sqrt 3 .\cos \frac{\pi }{n}\]

Diện tích đáy : \[S = \frac{{3V}}{{SO}} = \frac{{3.\frac{{3\sqrt 3 }}{4}.{R^3}}}{{R\sqrt 3 .cos\frac{\pi }{n}}} = \frac{{9{R^2}}}{{4\cos \frac{\pi }{n}}}\]

Mà \[S = n.\frac{1}{2}{R^2}.\sin \frac{{2\pi }}{n} \Rightarrow \frac{{9{R^2}}}{{4\cos \frac{\pi }{n}}} = n.\frac{1}{2}.{R^2}.\sin \frac{{2\pi }}{n}\]

\[ \Leftrightarrow n\sin \frac{{2\pi }}{n}\cos \frac{\pi }{n} = \frac{9}{2}\]

Thử các giá trị của nn ở các đáp án ta được n = 6.

Đáp án cần chọn là: D


Câu 23:

Cho tứ diện ABCD có AB = a;AC = BC = AD = BD =\(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\). Gọi M,N là trung điểm của AB,CD. Góc giữa hai mặt phẳng (ABD);(ABC) là \[\alpha \] . Tính \[cos\alpha \] biết mặt cầu đường kính MN tiếp xúc với cạnh AD.

Xem đáp án

Cho tứ diện ABCD có AB = a;AC = BC = AD = BD = (ảnh 1)

Xét các tam giác ACB, ADB lần lượt cân tại C và D nên\[CM \bot AB,DM \bot AB\]

Ta có :\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{(ABC) \cap (ABD) = AB}\\{CM \bot AB,CM \subset (ABC)}\\{DM \bot AB,DM \subset (ABD)}\end{array}} \right. \Rightarrow \angle \left( {\left( {ABC} \right);\left( {ABD} \right)} \right) = \angle \left( {CM;DM} \right)\)

Tam giác ACM vuông tại M nên theo Pitago ta có :

\[\begin{array}{*{20}{l}}{C{M^2} = A{C^2} - A{M^2}}\\{ \Rightarrow CM = \sqrt {A{C^2} - A{M^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}}\end{array}\]

Tương tự \[DM = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\]

Gọi K là hình chiếu của I lên AD ta có :

Mặt cầu đường kính MN tiếp xúc với AD nên \[IK = IM = IN,IK \bot AD\].

Xét tam giác AMI và AKI có :

\[\begin{array}{*{20}{l}}{\widehat {AMI} = \widehat {AKI} = {{90}^0};}\\{AI\,chung;}\\{IM = IK\left( {cmt} \right);}\end{array}\]

Do đó \[{\rm{\Delta }}AMI = {\rm{\Delta }}AKI\] (cạnh huyền – cạnh góc vuông)\[ \Rightarrow AK = AM = \frac{a}{2}\] (cạnh tương ứng).

Tương tự : \[{\rm{\Delta }}DNI = {\rm{\Delta }}DKI\] (cạnh huyền – cạnh  góc vuông)

\[\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow DN = DK = AD - AK = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} - \frac{a}{2} = \frac{{a\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}{2}}\\{ \Rightarrow DC = 2DN = 2.\frac{{a\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}{2} = a\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}\end{array}\]

Áp dụng định lý cô sin trong tam giác MCD có :

\[\begin{array}{*{20}{l}}{\cos \widehat {CMD} = \frac{{M{C^2} + M{D^2} - C{D^2}}}{{2MC.MD}}}\\{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {a\left( {\sqrt 3 - 1} \right)} \right)}^2}}}{{2.\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}}}\\{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2\sqrt 3 - 3 > 0}\\{ \Rightarrow \cos \alpha = \cos \widehat {CMD} = 2\sqrt 3 - 3}\end{array}\]

Đáp án cần chọn là: B


Câu 24:

Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC), tam giác ABC vuông tại BB có cạnh AB=3, BC=4và góc giữa DC và mặt phẳng (ABC) bằng 450. Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.

Xem đáp án

Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC), tam giác ABC vuông tại BB có cạnh AB=3, BC=4và góc giữa DC và mặt phẳng (ABC) bằng 450. Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. (ảnh 1)

Ta có : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{BC \bot BA}\\{BC \bot DA}\end{array}} \right. \Rightarrow BC \bot (ABD) \Rightarrow BC \bot BD \Rightarrow \Delta BCD\) vuông tại B.

Gọi I là trung điểm của CD thì \[IB = IC = ID = \frac{1}{2}CD\]

Tam giác ACD vuông tại A nên \[IA = IC = ID = \frac{1}{2}CD\]

Do đó \[IA = IB = IC = ID \Rightarrow I\]  là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCDABCD.

Tam giác ABC vuông tại B nên \[AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5\] (Định lí Pytago).

Vì\[DA \bot \left( {ABC} \right)\] nên ACAC là hình chiếu của DCDC lên (ABC).\[ \Rightarrow \angle \left( {DC;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {DC;AC} \right) = \angle DCA = {45^0}\]

Tam giác DAC vuông tại A có \[\widehat {DCA} = {45^0}\] nên là tam giác vuông cân

\[ \Rightarrow DC = AC\sqrt 2 = 5\sqrt 2 \]

\[ \Rightarrow R = IA = \frac{1}{2}DC = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\]

Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là :\[V = \frac{4}{3}\pi I{A^3} = \frac{4}{3}\pi .{\left( {\frac{{5\sqrt 2 }}{2}} \right)^3} = \frac{{125\sqrt 2 }}{3}\pi \]

Đáp án cần chọn là: C


Câu 25:

Cho khối cầu có bán kính R = 6. Thể tích của khối cầu bằng

Xem đáp án
Thể tích của khối cầu bằng \[V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi {.6^3} = 288\pi \]

Đáp án cần chọn là: C


Câu 26:

Một mặt cầu có bán kính bằng a. Diện tích của mặt cầu đó là:

Xem đáp án
Diện tích mặt cầu đã cho là:\[S = 4\pi {a^2}\]

Đáp án cần chọn là: B


Câu 27:

Cho mặt cầu (S1) có bán kính  R1 mặt cầu (S2) có bán kính  R2 = 2R1. Tính tỉ số diện tích của mặt cầu (S2) và (S1).

Xem đáp án

Ta có: \[\frac{{{S_2}}}{{{S_1}}} = \frac{{4\pi R_2^2}}{{4\pi R_1^2}} = \frac{{R_2^2}}{{R_1^2}} = {2^2} = 4\]

Đáp án cần chọn là: A


Câu 28:

Cho ba hình cầu có bán kính lần lượt là R1,R2,R3 đôi một tiếp xúc nhau và cùng tiếp xúc với mặt phẳng (P). Các tiếp điểm của ba hình cầu với mặt phẳng (P) lập thành một tam giác có độ dài cạnh lần lượt là 2, 3, 4. Tính tổng R1+R2+R3:

Xem đáp án

Cho ba hình cầu có bán kính lần lượt là R1,R2,R3 đôi một tiếp xúc nhau và cùng tiếp xúc với mặt phẳng (P). Các tiếp điểm của ba hình cầu với mặt phẳng (P) lập thành một tam giác có độ dài cạn (ảnh 1)

Gọi I1,I2,I3 là tâm của các hình cầu, M,N,P là các tiếp điểm của các hình cầu (như hình vẽ), H,K,F là tiếp  ba hình cầu với mặt phẳng (P) (như hình vẽ).

Xét mặt phẳng (I1I2KH), có:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{HK = \sqrt {{I_1}{I_2}^2 - {{\left( {{I_2}K - {I_1}H} \right)}^2}} \,}\\{\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt {{{\left( {{R_1} + {R_2}} \right)}^2} - {{\left( {{R_1} - {R_2}} \right)}^2}} }\\{\,\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt {4{R_1}{R_2}} = 2 \Rightarrow {R_1}{R_2} = 1}\end{array}\]

Tương tự, \[{R_1}{R_3} = \frac{9}{4},\,{R_2}{R_3} = 4\]

\[ \Rightarrow {R_1}{R_2}{R_3} = \sqrt {1.\frac{9}{4}.4} = 3 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{R_1} = \frac{3}{4}}\\{{R_2} = \frac{4}{3}}\\{{R_3} = 3}\end{array}} \right.\]

Vậy \[{R_1} + {R_2} + {R_3} = \frac{3}{4} + \frac{4}{3} + 3 = \frac{{61}}{{12}}\]

Đáp án cần chọn là: D


Câu 29:

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AA’ = 2a, BC = a. Gọi M là trung điểm BB’. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp M.A’B’C’ bằng:

Xem đáp án

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AA’ = 2a, BC = a. Gọi M là trung điểm BB’. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp M.A’B’C’ bằng: (ảnh 1)

Gọi O,O′ lần lượt là tâm tam giác đều ABC và A’B’C’, khi đó ta có OO’ là trục của (A’B’C’).

Gọi N là trung điểm của B’M, E là trung điểm của A’C’.

Qua N kẻ   ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{B\prime E \bot BB\prime }\\{NI\parallel B\prime E}\end{array} \Rightarrow NI \bot BB\prime \Rightarrow IM = IB\prime } \right.\)

Lại có \[I \in OO'\] nên \[IA' = IB' = IC'\]Do đó ta có\[IA' = IB' = IC' = IM\] nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp M.A’B’C’, bán kính\[R = IB'\]

Ta có:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{NI\parallel B\prime O\prime }\\{B\prime N\parallel O\prime I}\end{array}} \right.\) nên O’B’NI là hình bình hành

\[ \Rightarrow O'I = B'N = \frac{1}{2}B'M = \frac{1}{4}BB' = \frac{a}{2}\]

Tam giác A’B’C’ đều cạnh a nên \[B'E = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow B'O = \frac{2}{3}B'E = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\]

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông O’B’I có:

\[IB' = \sqrt {O'{I^2} + B'{O^{\prime 2}}} = \sqrt {{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {21} }}{6}\]

Đáp án cần chọn là: C


Câu 30:

Cho mặt cầu (S) tâm O và các điểm A, B, C nằm trên mặt cầu (S) sao cho AB = 3, AC = 4, BC = 5 và khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) bằng 1. Thể tích của khối cầu (S) bằng

Xem đáp án

Cho mặt cầu (S) tâm O và các điểm A, B, C nằm trên mặt cầu (S) sao cho AB = 3, AC = 4, BC = 5 và khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) bằng 1. Thể tích của khối cầu (S) bằngTam giác ABC có: (ảnh 1)

Tam giác ABC có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{A{B^2} + A{C^2} = {3^2} + {4^2} = 25}\\{B{C^2} = {5^2} = 25}\end{array}} \right. \Rightarrow A{B^2} + A{C^2} = B{C^2} \Rightarrow {\rm{\Delta }}ABC\) vuông tại A (Định lí Pytago đảo).

Gọi H là trung điểm của BC khi đó H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, suy ra

\[HA = HB = HC = \frac{1}{2}BC = \frac{5}{2}.\]

Mà \[OA = OB = OC \Rightarrow OH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow d\left( {O;\left( {ABC} \right)} \right) = OH = 1.\]

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông OBH có:

\[R = OB = \sqrt {O{H^2} + H{B^2}} = \sqrt {1 + {{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {29} }}{2}.\]

Vậy thể tích khối cầu cần tìm là:  \[V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{{29\sqrt {29} }}{6}\pi .\]

Đáp án cần chọn là: C


Câu 31:

Cho hai khối cầu (S1),(S2) có cùng bán kính 2 thỏa mãn tính chất: tâm của (S1) thuộc (S2) và ngược lại. Tính thể tích phần chung V của hai khối cầu tạo bởi (S1) và (S2).

Xem đáp án

Cho hai khối cầu (S1),(S2) có cùng bán kính 2 thỏa mãn tính chất: tâm của (S1) thuộc (S2) và ngược lại. Tính thể tích phần chung V của hai khối cầu tạo bởi (S1) và (S2). (ảnh 1)

Gọi O1,O2 lần lượt là tâm mặt cầu (S1),(S2). Hai mặt cầu này cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn (C) có tâm I.

Gọi A, B là một đường kính của đường tròn giao tuyến như hình vẽ, ta có AB là trung trực của O1O2, do đó I là trung điểm của \[{O_1}{O_2} \Rightarrow I{O_1} = I{O_2} = \frac{1}{2}{O_1}{O_2} = \frac{R}{2} = 1\]Thể tích phần chung chính là tổng thể tích của hai khối chỏm cầu bằng nhau có bán kính R = 2, chiều cao \[h = \frac{R}{2} = 1\]Vậy \[V = 2.\pi {h^2}\left( {R - \frac{h}{3}} \right) = 2\pi {.1^2}\left( {2 - \frac{1}{3}} \right) = \frac{{10\pi }}{3}\]

Đáp án cần chọn là: A


Câu 32:

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có chiều cao bằng 4, đáy ABC là tam giác cân tại A với AB = AC = 2; \[\angle BAC = {120^0}\]. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ trên.

Xem đáp án

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có chiều cao bằng 4, đáy ABC là tam giác cân tại A với AB = AC = 2;  (ảnh 1)

Gọi M là trung điểm của BC, H là điểm đối xứng với A qua M.

Xét tứ giác ABHC có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường và

\[AM \bot BC \Rightarrow AH \bot BC\]  (do tam giác ABC cân tại A) nên ABHC là hình thoi \[ \Rightarrow HB = HC\]

Xét tam giác ABH có AB = BH, \[\angle BAH = \frac{1}{2}\angle BAC = {60^0}\] nên là tam giác đều, do đó HA = HB.

Suy ra HA = HB = HC hay H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Gọi H’ là hình chiếu của A lên (A’B’C’) thì H’ chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A’B’C’, khi đó HH’ là trục của khối lăng trụ đứng.

Gọi I là trung điểm của HH’, ta có IA = IB = IC, IA’ = IB’ = IC’.

Xét tam giác vuông AHI và tam giác vuông A’H’I có: HI = H’I (theo cách dựng), AH = A’H’.

\[ \Rightarrow {\rm{\Delta }}AHI = {\rm{\Delta }}A'H'I\] (2 cạnh góc vuông) =>IA = IA′. Do đó A = IB = IC = IA’ = IB’ = IC’ hay I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’.

Ta có AH = AB = 2 (do ABHC là hình thoi) và HH’ = AA’ = 4 nên IH = 2.

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông AHI có:

\[AI = \sqrt {A{H^2} + H{I^2}} = \sqrt {{2^2} + {2^2}} = 2\sqrt 2 \]

Suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ là \[R = 2\sqrt 2 \]

Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ là: \[{S_{mc}} = 4\pi {R^2} = 4\pi .{\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} = 32\pi \]

Đáp án cần chọn là: C


Câu 33:

Một thùng rượu vang có dạng hình tròn xoay có hai đáy là hai hình tròn bằng nhau, khoảng cách giữa hai đáy bằng 80(cm). Đường sinh của mặt xung quanh thùng là một phần đường tròn có bán kính 60(cm)(tham khảo hình minh họa bên). Hỏi thùng đó có thể đựng bao nhiêu lít rượu?(làm tròn đến hàng đơn vị)

Xem đáp án

Ta có đường kính mặt cầu là 60.2=120(cm).

Mà khoảng cách giữa hai đáy của thùng rượu là 80cm

Nên chiều cao chỏm cầu là \[h = \frac{{120 - 80}}{2} = 20\,\,\left( {cm} \right).\]Thế tích của 1 chỏm cầu chiều cao h = 20 và bán kính 60cm là

\[{V_{cc}} = \pi {h^2}\left( {R - \frac{h}{3}} \right) = \pi {.20^2}\left( {60 - \frac{{20}}{3}} \right) = \frac{{64000}}{3}\pi \,\,\left( {c{m^3}} \right) = \frac{{64\pi }}{3}\,\,\left( l \right)\]

Thể tích của cả khối cầu bán kính 60 cm là \[V = \frac{4}{3}\pi {r^3} = \frac{4}{3}\pi {.60^3} = 288000\pi \,\,\left( {c{m^3}} \right) = 288\pi \,\,\left( l \right)\]

Khi đó thể tích thùng rượu là \[V' = V - 2{V_{cc}} = \frac{{736}}{3}\pi \,\,\left( l \right) \approx 771\,\,\left( l \right).\]

Đáp án cần chọn là: A


Bắt đầu thi ngay