22 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đạo hàm cấp cao

Câu 1:

Cho hàm số \[y = {x^2} + 2x\]. Chọn mệnh đề đúng:

A.\[dy = {\left( {{x^2} + 2x} \right)^\prime }dx\]

B. \[dx = {\left( {{x^2} + 2x} \right)^\prime }dy\]

C. \[dy = \left( {{x^2} + 2x} \right)dx\]

D. \[dy = \frac{1}{{{x^2} + 2x}}dx\]

Xem đáp án

Ta có:\[dy = y'dx = {\left( {{x^2} + 2x} \right)^\prime }dx\]

Đáp án cần chọn là: A

Câu 2:

Hàm số \[y = \frac{x}{{x - 2}}\] có đạo hàm cấp hai là:

A.\[y'' = 0\]

B. \[y'' = \frac{1}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\]

C. \[y'' = - \frac{4}{{{{\left( {x - 2} \right)}^3}}}\]

D. \[y'' = \frac{4}{{{{\left( {x - 2} \right)}^3}}}\]

Xem đáp án

\[\begin{array}{*{20}{l}}{y' = \frac{{1.\left( {x - 2} \right) - x.1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}}\\{y'' = \frac{{{{\left( { - 2} \right)}^\prime }{{\left( {x - 2} \right)}^2} - \left( { - 2} \right).{{\left( {{{\left( {x - 2} \right)}^2}} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^4}}} = \frac{{4\left( {x - 2} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^4}}} = \frac{4}{{{{\left( {x - 2} \right)}^3}}}}\end{array}\]

Đáp án cần chọn là: D

Câu 3:

Hàm số \[y = {\left( {{x^2} + 1} \right)^3}\] có đạo hàm cấp ba là:

A.\[y''' = 12x\left( {{x^2} + 1} \right)\]

B. \[y''' = 24x\left( {{x^2} + 1} \right)\]

C. \[y''' = 24x\left( {5{x^2} + 3} \right)\]

D. \[y''' = - 12x\left( {{x^2} + 1} \right)\]

Xem đáp án

Cách 1:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{ch{\rm{ }}1:}\\\begin{array}{l}y\prime = 3{({x^2} + 1)^2}({x^2} + 1)\prime = 6x{({x^2} + 1)^2}\\y\prime \prime = 6{({x^2} + 1)^2} + 6x.2({x^2} + 1).2x\\ = 6{({x^2} + 1)^2} + 24{x^2}({x^2} + 1)\\y\prime \prime \prime = 12({x^2} + 1).2x + 24.2x.({x^2} + 1) + 24{x^2}.2x\\ = 24x({x^2} + 1) + 48x({x^2} + 1) + 48{x^3}\\ = 24x({x^2} + 1 + 2({x^2} + 1) + 2{x^2}) = 24x(5{x^2} + 3)\end{array}\end{array}\]

Cách 2:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{y = {{\left( {{x^2} + 1} \right)}^3} = {x^6} + 3{x^4} + 3{x^2} + 1}\\{y' = 6{x^5} + 12{x^3} + 6x}\\{y'' = 30{x^4} + 36{x^2} + 6}\\{y''' = 120{x^3} + 72x = 24x\left( {5{x^2} + 3} \right)}\end{array}\]

Đáp án cần chọn là: C

Câu 4:

Hàm số \[y = \sqrt {2x + 5} \] có đạo hàm cấp hai bằng

A.\[y'' = \frac{1}{{\left( {2x + 5} \right)\sqrt {2x + 5} }}\]

B.\[y'' = \frac{1}{{\sqrt {2x + 5} }}\]

C. \[y'' = - \frac{1}{{\left( {2x + 5} \right)\sqrt {2x + 5} }}\]

D. \[y'' = - \frac{1}{{\sqrt {2x + 5} }}\]

Xem đáp án

\[\begin{array}{*{20}{l}}{y' = \frac{{{{\left( {2x + 5} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {2x + 5} }} = \frac{1}{{\sqrt {2x + 5} }} = {{\left( {2x + 5} \right)}^{ - \frac{1}{2}}}}\\{y'' = - \frac{1}{2}.{{\left( {2x + 5} \right)}^{ - \frac{1}{2} - 1}}.{{\left( {2x + 5} \right)}^\prime }}\\{\,\,\,\,\,\, = - \frac{1}{2}{{\left( {2x + 5} \right)}^{ - \frac{3}{2}}}.2}\\{\,\,\,\,\,\, = - \frac{1}{{{{\left( {2x + 5} \right)}^{\frac{3}{2}}}}} = - \frac{1}{{\left( {2x + 5} \right)\sqrt {2x + 5} }}}\end{array}\]

Đáp án cần chọn là: C

Câu 5:

Đạo hàm cấp hai của hàm số \[y = \tan x\] bằng:

A.\[y'' = - \frac{{2\sin x}}{{{{\cos }^3}x}}\]

B. \[y'' = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\]

C. \[y'' = - \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\]

D. \[y'' = \frac{{2\sin x}}{{{{\cos }^3}x}}\]

Xem đáp án

\[\begin{array}{*{20}{l}}{y' = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}}\\{y'' = \frac{{ - {{\left( {{{\cos }^2}x} \right)}^\prime }}}{{{{\cos }^4}x}} = - \frac{{2\cos x{{\left( {\cos x} \right)}^\prime }}}{{{{\cos }^4}x}} = \frac{{2\sin x}}{{{{\cos }^3}x}}}\end{array}\]

Đáp án cần chọn là: D

Câu 6:

Cho hàm số \[y = {\left( {{x^2} - 1} \right)^2}.\]. Tính giá trị biểu thức \[M = {y^{\left( 4 \right)}} + 2xy''' - 4y''\]

A.M=0.

B.M=20.

C.M=40.

D.M=100.

Xem đáp án

Hàm số viết lại: \[y = {x^4} - 2{x^2} + 1\]

Ta có \[y' = 4{x^3} - 4x,y'' = 12{x^2} - 4,y''' = 24x,{y^{\left( 4 \right)}} = 24\]Khi đó

\[M = {y^{\left( 4 \right)}} + 2xy''' - 4y'' = 24 + 2x.24x - 4\left( {12{x^2} - 4} \right) = 40.\]

Đáp án cần chọn là: C

Câu 7:

Giả sử \[h\left( x \right) = 5{\left( {x + 1} \right)^3} + 4\left( {x + 1} \right)\]. Tập nghiệm của phương trình \[h\prime \prime (x) = 0\;\] là:

A.\[\left[ { - 1;2} \right]\]

B. \[\left( { - \infty ;0} \right]\]

C. \[\left\{ { - 1} \right\}\]

D. \[\emptyset \]

Xem đáp án

\[\begin{array}{*{20}{l}}{h'\left( x \right) = 15{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 4}\\{h''\left( x \right) = 30\left( {x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x = - 1}\end{array}\]

Đáp án cần chọn là: C

Câu 8:

Cho hàm số \[y = \sin x\]. Chọn câu sai ?

A.\[y' = \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)\]

B. \[y'' = \sin \left( {x + \pi } \right)\]

C. \[y''' = \sin \left( {x + \frac{{3\pi }}{2}} \right)\]

D. \[{y^{\left( 4 \right)}} = \sin \left( {2\pi - x} \right)\]

Xem đáp án

\[y' = \cos x = \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow \] Đáp án A đúng.

\[y'' = - \sin x = \sin \left( {x + \pi } \right) \Rightarrow \] Đáp án B đúng.

\[y''' = - \cos x = \sin \left( {x + \frac{{3\pi }}{2}} \right) \Rightarrow \] Đáp án C đúng.

Đáp án cần chọn là: D

Câu 9:

Xét \[y = f\left( x \right) = \cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)\] Phương trình \[{f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = - 8\;\]có nghiệm \[x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\;\] là:

A.\[x = \frac{\pi }{2}\]

B. \[x = 0\]hoặc \[x = \frac{\pi }{6}\]

C. \[x = 0\]hoặc\[x = \frac{\pi }{3}\]

D. \[x = 0\]hoặc \[x = \frac{\pi }{2}\]

Xem đáp án

\[\begin{array}{l}f\prime (x) = - 2sin(2x - \frac{\pi }{3})\\f\prime \prime (x) = - 4cos(2x - \frac{\pi }{3})\\f\prime \prime \prime (x) = 8sin(2x - \frac{\pi }{3})\\{f^{(4)}}(x) = 16cos(2x - \frac{\pi }{3})\\{f^{(4)}}(x) = - 8 \Leftrightarrow cos(2x - \frac{\pi }{3}) = - \frac{1}{2}\end{array}\]

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - \frac{\pi }{3} = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }\\{2x - \frac{\pi }{3} = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{2} + k\pi }\\{x = - \frac{\pi }{6} + k\pi }\end{array}} \right.(k \in Z)\)

\[x \in [0;\frac{\pi }{2}] \Rightarrow x = \frac{\pi }{2}\]

Đáp án cần chọn là: A

Câu 10:

Cho hàm số \[y = \sin 2x\]. Hãy chọn câu đúng?

A.\[4y - y'' = 0\]

B. \[4y + y'' = 0\]

C. \[y = y'\tan 2x\]

D. \[{y^2} = {\left( {y'} \right)^2} = 4\]

Xem đáp án

\[y' = 2\cos 2x;\,\,y'' = - 4\sin 2x = - 4y \Leftrightarrow 4y + y'' = 0\]

Đáp án cần chọn là: B

Câu 11:

Cho hàm số \[y = f\left( x \right) = - \frac{1}{x}\]. Xét hai mệnh đề:

(I): \[y\prime \prime = f\prime \prime (x) = \frac{2}{{{x^3}}}\]

(II): \[y\prime \prime \prime = f\prime \prime \prime (x) = - \frac{6}{{{x^4}}}\]

Mệnh đề nào đúng?

A.Chỉ (I)

B.Chỉ (II) đúng

C.Cả hai đều đúng

D.Cả hai đều sai

Xem đáp án

\[\begin{array}{*{20}{l}}{y' = \frac{1}{{{x^2}}}}\\{y'' = - \frac{{{{\left( {{x^2}} \right)}^\prime }}}{{{x^4}}} = - \frac{{2x}}{{{x^4}}} = - \frac{2}{{{x^3}}}}\\{y''' = - 2.\frac{{ - {{\left( {{x^3}} \right)}^\prime }}}{{{x^6}}} = \frac{{2.3{x^2}}}{{{x^6}}} = \frac{6}{{{x^4}}}}\end{array}\]

Đáp án cần chọn là: D

Câu 12:

Với \[f\left( x \right) = {\sin ^3}x + {x^2}\] thì bằng:

A.0

B.1

C.−2

D.5

Xem đáp án

\[\begin{array}{l}f\prime (x) = 3si{n^2}x(sinx)\prime + 2x = 3si{n^2}xcosx + 2x\\f\prime \prime (x) = 3.(si{n^2}x)\prime .cosx + 3si{n^2}x.(cosx)\prime + 2\\ = 6sinx(sinx)\prime cosx - 3si{n^2}x.sinx + 2\\ = 6sinxco{s^2}x - 3si{n^3}x + 2\end{array}\]

\[f\prime \prime ( - \frac{\pi }{2}) = 6sin( - \frac{\pi }{2})co{s^2}( - \frac{\pi }{2}) - 3si{n^3}( - \frac{\pi }{2}) + 2 = 3 + 2 = 5.\]

Đáp án cần chọn là: D

Câu 13:

Cho hàm số \[y = 3{x^5} - 5{x^4} + 3x - 2\]. Giải bất phương trình \[y\prime \prime < 0\]

A.\[x \in \left( {1; + \infty } \right).\]

B. \[x \in \left( { - \infty ;1} \right) \setminus \left\{ 0 \right\}.\]

C. \[x \in \left( { - 1;1} \right).\]

D. \[x \in \left( { - 2;2} \right).\]

Xem đáp án

Ta có\[y' = 15{x^4} - 20{x^3} + 3 \Rightarrow y'' = 60{x^3} - 60{x^2}\]

Bất phương trình\[y'' < 0 \Leftrightarrow 60{x^3} - 60{x^2} < 0 \Leftrightarrow {x^2}(x - 1) < 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 1}\\{x \ne 0}\end{array}} \right.\]

Đáp án cần chọn là: B

Câu 14:

Nếu \[f''\left( x \right) = \frac{{2\sin x}}{{{{\cos }^3}x}}\], thì f(x) bằng:

A.\[\frac{1}{{\cos x}}\]

B. \[ - \frac{1}{{\cos x}}\]

C. \[\cot x\]

D. \[\tan x\]

Xem đáp án

\[\begin{array}{*{20}{l}}{y = \frac{1}{{\cos x}}}\\{y' = \frac{{ - {{\left( {\cos x} \right)}^\prime }}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{{\sin x}}{{{{\cos }^2}x}}}\\{y'' = \frac{{\cos x.{{\cos }^2}x - \sin x.2\cos x{{\left( {\cos x} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {{{\cos }^2}x} \right)}^2}}} = \frac{{{{\cos }^3}x + 2{{\sin }^2}x\cos x}}{{{{\cos }^4}x}} = \frac{{{{\cos }^2}x + 2{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^3}x}}}\end{array}\]

Đáp án B:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{y = - \frac{1}{{\cos x}}}\\{y' = \frac{{{{\left( {\cos x} \right)}^\prime }}}{{{{\cos }^2}x}} = - \frac{{\sin x}}{{{{\cos }^2}x}}}\\{y'' = - \frac{{\cos x.{{\cos }^2}x - \sin x.2\cos x{{\left( {\cos x} \right)}^\prime }}}{{{{\cos }^4}x}} = \frac{{ - {{\cos }^3}x - 2{{\sin }^2}x\cos x}}{{{{\cos }^4}x}} = - \frac{{{{\cos }^2}x + 2{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^4}x}}}\end{array}\]

Đáp án C:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{y = \cot x}\\{y' = - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}}\\{y' = \frac{{2\sin x{{\left( {\sin x} \right)}^\prime }}}{{{{\sin }^4}x}} = \frac{{2\sin x\cos x}}{{{{\sin }^4}x}} = \frac{{2\cos x}}{{{{\sin }^3}x}}}\end{array}\]

Đáp án D:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{y = \tan x}\\{y' = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}}\\{y'' = \frac{{ - 2\cos x{{\left( {\cos x} \right)}^\prime }}}{{{{\cos }^4}x}} = \frac{{2\sin x\cos x}}{{{{\cos }^4}x}} = \frac{{2\sin x}}{{{{\cos }^3}x}}}\end{array}\]

Đáp án cần chọn là: D

Câu 15:

Cho hàm số \[f\left( x \right) = {\left( {ax + b} \right)^5}\] (với a,b là tham số). Tính \[{f^{\left( {10} \right)}}\] (1)

A.\[{f^{\left( {10} \right)}}\left( 1 \right) = 0\]

B. \[{f^{\left( {10} \right)}}\left( 1 \right) = 10a + b\]

C. \[{f^{\left( {10} \right)}}\left( 1 \right) = 5a\]

D. \[{f^{\left( {10} \right)}}\left( 1 \right) = 10a\]

Xem đáp án

\[\begin{array}{*{20}{l}}{f'\left( x \right) = 5a{{\left( {ax + b} \right)}^4}}\\{f''\left( x \right) = 20{a^2}{{\left( {ax + b} \right)}^3}}\\{f'''\left( x \right) = 60{a^3}{{\left( {ax + b} \right)}^2}}\\{{f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = 120{a^4}\left( {ax + b} \right)}\\{{f^{\left( 5 \right)}}\left( x \right) = 120{a^5}}\\{{f^{\left( 6 \right)}}\left( x \right) = 0}\\{ \Rightarrow {f^{\left( {10} \right)}}\left( x \right) = 0\,\,\forall x \in R \Rightarrow {f^{\left( {10} \right)}}\left( 1 \right) = 0}\end{array}\]

Đáp án cần chọn là: A

Câu 16:

Cho hàm số \[y = \cos x\]. Khi đó \[{y^{\left( {2018} \right)}}\left( x \right)\] bằng:

A.−cosx

B.sinx

C.−sinx

D.cosx

Xem đáp án

\[\begin{array}{*{20}{l}}{y'\left( x \right) = - \sin x}\\{y''\left( x \right) = - \cos x}\\{y'''\left( x \right) = \sin x}\\{{y^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = \cos x = y}\\{{y^{\left( 5 \right)}}\left( x \right) = - \sin x = y'}\\{{y^{\left( 6 \right)}}\left( x \right) = - \cos x = y''}\\{{y^{\left( 7 \right)}}\left( x \right) = \sin x = y'''}\\{....}\end{array}\]

Ta có:\[2018 = 504.4 + 2 \Rightarrow {y^{\left( {2018} \right)}}\left( x \right) = y''\left( x \right) = - \cos x\]

Đáp án cần chọn là: A

Câu 17:

Một chất điểm chuyển động thẳng xác định bởi phương trình \[s = {t^3} - 2{t^2} + 4t + 1\] trong đó t là giây, s là mét. Gia tốc chuyển động khi t=2 là

A.\[12\,m/{s^2}\]

B. \[8\,m/{s^2}\]

C. \[7\,m/{s^2}\]

D. \[6\,m/{s^2}\]

Xem đáp án

Ta có :

\[\begin{array}{*{20}{l}}{a = v' = {{\left( {s'} \right)}^\prime } = s''}\\{s' = 3{t^2} - 4t + 4}\\{s'' = 6t - 4 = a}\\{a\left( 2 \right) = 6.2 - 4 = 8\,\,\left( {m/{s^2}} \right)}\end{array}\]

Đáp án cần chọn là: B

Câu 18:

Đạo hàm cấp 4 của hàm số \[y = \sin 5x.\sin 3x\] là :

A.\[{y^{\left( 4 \right)}} = - 2048\cos 8x + 8\cos 2x\]

B. \[{y^{\left( 4 \right)}} = 2048\cos 8x - 8\cos 2x\]

C. \[{y^{\left( 4 \right)}} = 1024\cos 16x + 4\cos 4x\]

D. \[{y^{\left( 4 \right)}} = 2048\cos 8x - 4\cos 4x\]

Xem đáp án

\[\begin{array}{*{20}{l}}{y = \sin 5x.\sin 3x = - \frac{1}{2}\left( {\cos 8x - \cos 2x} \right)}\\{ \Rightarrow y' = - \frac{1}{2}\left( { - 8\sin 8x + 2\sin 2x} \right) = 4\sin 8x - \sin 2x}\\{\,\,\,\,\,\,y'' = 32\cos 8x - 2\cos 2x}\\{\,\,\,\,\,\,y''' = - 256\sin 8x + 4\sin 2x}\\{\,\,\,\,\,\,{y^{\left( 4 \right)}} = - 2048\cos 8x + 8\cos 2x}\end{array}\]

Đáp án cần chọn là: A

Câu 19:

Cho hàm số \[y = \sqrt {2x - {x^2}} \]. Mệnh đề nào sau đây là đúng ?

A.\[{y^3}.y'' + 1 = 0\]

B. \[{y^2}.y'' - 1 = 0\]

C. \[3{y^2}.y'' + 1 = 0\]

D. \[2{y^3}.y'' + 3 = 0\]

Xem đáp án

Ta có :

\[\begin{array}{*{20}{l}}{y' = \frac{{{{\left( {2x - {x^2}} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {2x - {x^2}} }} = \frac{{2 - 2x}}{{2\sqrt {2x - {x^2}} }} = \frac{{1 - x}}{{\sqrt {2x - {x^2}} }}}\\{y'' = \frac{{ - \sqrt {2x - {x^2}} - \left( {1 - x} \right).\frac{{1 - x}}{{\sqrt {2x - {x^2}} }}}}{{2x - {x^2}}}}\end{array}\]

\[ = \frac{{ - \left( {2x - {x^2}} \right) - {{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{\sqrt {2x - {x^2}} \left( {2x - {x^2}} \right)}} = \frac{{ - 2x + {x^2} - 1 + 2x - {x^2}}}{{\sqrt {2x - {x^2}} \left( {2x - {x^2}} \right)}} = \frac{{ - 1}}{{\sqrt {{{\left( {2x - {x^2}} \right)}^3}} }}\]

Thay vào \[{y^3}.y'' + 1 = {\left( {\sqrt {2x - {x^2}} } \right)^3}.\frac{{ - 1}}{{\sqrt {{{\left( {2x - {x^2}} \right)}^3}} }} + 1 = - 1 + 1 = 0\]

Đáp án cần chọn là: A

Câu 20:

Đạo hàm cấp n của hàm số \[\frac{1}{{ax + b}},a \ne 0\;\]là

A.\[{y^{\left( n \right)}} = \frac{{{2^n}.{a^n}.n!}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^{n + 1}}}}\]

B. \[{y^{\left( n \right)}} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}{a^n}n!}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^{n + 1}}}}\]

C. \[{y^{\left( n \right)}} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}.n!}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^{n + 1}}}}\]

D. \[{y^{\left( n \right)}} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}.{a^n}.n!}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^{n + 1}}}}\]

Xem đáp án

\[y' = \frac{{ - a}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^2}}}\]

\[y'' = \frac{{a.2\left( {ax + b} \right).a}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^4}}} = \frac{{2{a^2}}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^3}}}\]

\[y''' = \frac{{ - 2{a^2}.3{{\left( {ax + b} \right)}^2}.a}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^6}}} = \frac{{ - 2.3.{a^3}}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^4}}}\]

\[....\]

\[{y^{\left( n \right)}} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}.{a^n}.n!}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^{n + 1}}}}\]

Đáp án cần chọn là: D

Câu 21:

Đạo hàm cấp 4 của hàm số \[y = \frac{{2x + 1}}{{{x^2} - 5x + 6}}\] là :

A.\[{y^{\left( 4 \right)}} = \frac{{7.4!}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^5}}} - \frac{{5.4!}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^5}}}\]

B. \[{y^{\left( 4 \right)}} = \frac{{5.4!}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^5}}} - \frac{{2.4!}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^5}}}\]

C. \[{y^{\left( 4 \right)}} = \frac{{5.4!}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^5}}} - \frac{{7.4!}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^5}}}\]

D. \[{y^{\left( 4 \right)}} = \frac{7}{{{{\left( {x - 3} \right)}^4}}} - \frac{5}{{{{\left( {x - 2} \right)}^4}}}\]

Xem đáp án

\[\begin{array}{*{20}{l}}{y = \frac{{2x + 1}}{{{x^2} - 5x + 6}} = \frac{{2x + 1}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{7}{{x - 3}} - \frac{5}{{x - 2}}}\\{ \Rightarrow {y^{\left( 4 \right)}} = 7{{\left( {\frac{1}{{x - 3}}} \right)}^{\left( 4 \right)}} - 5{{\left( {\frac{1}{{x - 2}}} \right)}^{\left( 4 \right)}}}\end{array}\]

Xét hàm số \[\frac{1}{{ax + b}},\,a \ne 0\] ta có :

\[\begin{array}{l}y\prime = {\frac{{ - a}}{{{{(ax + b)}^2}}}^{}}\\y\prime \prime = {\frac{{a.2(ax + b).a}}{{(ax + b)4}}^{}} = \frac{{2{a^2}}}{{{{(ax + b)}^3}}}\end{array}\]

\[y\prime \prime \prime = \frac{{ - 2{a^2}.3{{(ax + b)}^2}.a}}{{{{(ax + b)}^6}}} = \frac{{ - 2.3.{a^3}}}{{{{(ax + b)}^4}}}\]

\[...\]

\[\begin{array}{l}{y^{(n)}} = \frac{{{{( - 1)}^n}.{a^n}.n!}}{{{{(ax + b)}^{n + 1}}}}\\ \Rightarrow {(\frac{1}{{x - 3}})^{(4)}} = \frac{{{{( - 1)}^4}{{.1}^4}.4!}}{{{{(x - 3)}^5}}} = \frac{{4!}}{{{{(x - 2)}^5}}}\\{\left( {\frac{1}{{x - 2}}} \right)^{\left( 4 \right)}} = \frac{{{{( - 1)}^4}{{.1}^4}.4!}}{{{{(x - 2)}^5}}} = \frac{{4!}}{{{{(x - 2)}^5}}}\\ \Rightarrow {y^{(4)}} = 7{\left( {\frac{1}{{x - 3}}} \right)^{\left( 4 \right)}} - 5{\left( {\frac{1}{{x - 2}}} \right)^{\left( 4 \right)}} = \frac{{7.4!}}{{{{(x - 3)}^5}}} - \frac{{5.4!}}{{{{(x - 2)}^5}}}\end{array}\]

Đáp án cần chọn là: A

Câu 22:

Đạo hàm cấp hai của hàm số \[y = 3{x^2} - 2021x + 2020\] là

A.6

B.2020

C.2021

D.0

Xem đáp án

Bước 1:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{y' = {{\left( {3{x^2} - 2021x + 2020} \right)}^\prime }}\\{ = 3.2.x - 2021}\\{ = 6x - 2021}\end{array}\]

Bước 2:

\[ \Rightarrow y'' = {\left( {y'} \right)^\prime } = 6\]

Đáp án cần chọn là: A