IMG-LOGO
Trang chủ Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội Số phức, các phép toán với số phức

Số phức, các phép toán với số phức

Số phức, các phép toán với số phức

  • 1344 lượt thi

  • 44 câu hỏi

  • 45 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Số phức \[z = a + bi\;\] có phần thực là:

Xem đáp án

Phần thực của số phức z là a.

Đáp án cần chọn là: A


Câu 2:

Số phức \[z = \sqrt 2 i - 1\] có phần thực là:

Xem đáp án
Số phức\[z = \sqrt 2 i - 1 = - 1 + \sqrt 2 i\] có phần thực là −1.

Đáp án cần chọn là: A


Câu 3:

Hai số phức \[z = a + bi,z' = a + b'i\] bằng nhau nếu:

Xem đáp án
Hai số phức \[z = a + bi,z' = a + b'i\] bằng nhau nếu \[b = b'\]

Đáp án cần chọn là: C


Câu 4:

Số phức liên hợp của số phức \[z = a - bi\] là:

Xem đáp án

Số phức liên hợp của số phức \[z = a - bi\] là \[\bar z = a + bi\].

Đáp án cần chọn là: B


Câu 5:

Chọn mệnh đề đúng:

Xem đáp án
Ta có \[\left| z \right| = \left| {\bar z} \right|\]nên B đúng.

Đáp án cần chọn là: B


Câu 6:

Gọi M,N lần lượt là các điểm biểu diễn số phức \[z = a + bi\] và \[z\prime = a\prime + b\prime i\]. Chọn câu đúng:

Xem đáp án

Điểm M biểu diễn số phức \[z = a + bi\] nên M(a;b)

Điểm N biểu diễn số phức \[z' = a' + b'i\] nên N(a′;b′)

Đáp án cần chọn là: C


Câu 7:

Cho hai số phức \[z = a + bi,z' = a' + b'i\]. Chọn công thức đúng:

Xem đáp án

Ta có:

\[z + z' = \left( {a + bi} \right) + \left( {a' + b'i} \right) = \left( {a + a'} \right) + \left( {b + b'} \right)i\]

\[z - z' = \left( {a + bi} \right) - \left( {a' + b'i} \right) = \left( {a - a'} \right) + \left( {b - b'} \right)i\]

\[z.z' = \left( {a + bi} \right)\left( {a' + b'i} \right) = \left( {aa' - bb'} \right) + \left( {ab' + a'b} \right)i\]

Vậy C đúng.

Đáp án cần chọn là: C


Câu 8:

Cho số phức \[z = a + bi\]\(\overline z \)là số phức liên hợp của z. Chọn kết luận đúng:

Xem đáp án

Ta có:\[z = a + bi \Rightarrow \bar z = a - bi \Rightarrow z + \bar z = 2a;z - \bar z = 2bi;z.\bar z = {a^2} + {b^2}\]

Do đó A đúng.

Đáp án cần chọn là: A


Câu 9:

Tìm số phức có phần thực bằng 12 và mô đun bằng 13:

Xem đáp án

Ta có: \[{\left| z \right|^2} = {a^2} + {b^2} \Leftrightarrow {b^2} = {\left| z \right|^2} - {a^2} \Leftrightarrow b = \pm \sqrt {{{\left| z \right|}^2} - {a^2}} \]

Vậy phần ảo của số phức đó là\[b = \pm \sqrt {{{13}^2} - {{12}^2}} = \pm 5\]Đáp án cần chọn là: C


Câu 10:

Cho số phức \[z = a + bi(ab \ne 0)\] Tìm phần thực của số phức \[w = \frac{1}{{{z^2}}}.\]

Xem đáp án

\[z = a + bi \Rightarrow {z^2} = {\left( {a + bi} \right)^2} = {a^2} + 2abi + {b^2}{i^2} = {a^2} - {b^2} + 2abi\]

\[w = \frac{1}{{{{\left( {a + bi} \right)}^2}}} = \frac{1}{{{a^2} - {b^2} + 2abi}} = \frac{{{a^2} - {b^2} - 2abi}}{{\left( {{a^2} - {b^2} + 2abi} \right)\left( {{a^2} - {b^2} - 2abi} \right)}} = \frac{{{a^2} - {b^2} - 2abi}}{{{{\left( {{a^2} - {b^2}} \right)}^2} - {{\left( {2abi} \right)}^2}}}\]\[ = \frac{{{a^2} - {b^2} - 2abi}}{{{a^4} + {b^4} - 2{a^2}{b^2} - 4{a^2}{b^2}{i^2}}} = \frac{{{a^2} - {b^2} - 2abi}}{{{a^4} + {b^4} - 2{a^2}{b^2} + 4{a^2}{b^2}}} = \frac{{{a^2} - {b^2} - 2abi}}{{{a^4} + {b^4} + 2{a^2}{b^2}}}\]

\[ = \frac{{{a^2} - {b^2} - 2abi}}{{{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}}} = \frac{{{a^2} - {b^2}}}{{{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}}} - \frac{{2ab}}{{{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}}}i\]

Nên phần thực của số phức w là : \[\frac{{{a^2} - {b^2}}}{{{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}}}\]

Đáp án cần chọn là: D


Câu 11:

Cho số phức \[z = 3 - 2i\]. Tìm phần thực và phần ảo của số phức \(\overline z \)

Xem đáp án

Số phức liên hợp của z là 3+2i, phần thực 3, phần ảo 2. 

Đáp án cần chọn là: D


Câu 12:

Cho hai số phức \[{z_1} = 1 + i\] và \[{z_2} = 2 - 3i\]. Tính môđun của số phức \[{z_1} + {z_2}\;\].

Xem đáp án
\[{z_1} + {z_2} = 3 - 2i \Rightarrow \left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = \sqrt {13} \]

Đáp án cần chọn là: A


Câu 13:

Cho số phức \[z = 1 + \sqrt 3 i\]. Khi đó

Xem đáp án

Ta có:\[z = 1 + \sqrt 3 i \Rightarrow \frac{1}{z} = \frac{1}{{1 + \sqrt 3 i}} = \frac{{1 - \sqrt 3 i}}{{(1 - \sqrt 3 i)(1 + \sqrt 3 i)}}\]

\[ = \frac{{1 - \sqrt 3 i}}{{{1^2} - {{(\sqrt 3 i)}^2}}} = \frac{{1 - \sqrt 3 i}}{4} = \frac{1}{4} - \frac{{\sqrt 3 }}{4}i\]

Đáp án cần chọn là: D


Câu 14:

Cho số phức \[z = \frac{{7 - 11i}}{{2 - i}}\]. Tìm phần thực và phần ảo của \(\overline z \)

Xem đáp án

\[z = \frac{{7 - 11i}}{{2 - i}} = \frac{{(7 - 11i)(2 + i)}}{{{2^2} + {1^2}}} = \frac{{14 + 11 + 7i - 22i}}{5} = \frac{{25 - 15i}}{5} = 5 - 3i \Rightarrow \bar z = 5 + 3i\]

Vậy phần thực và phần ảo của \[\bar z\] là 5 và 3.

Đáp án cần chọn là: C


Câu 15:

Cho 2 số phức,\[{z_1} = 1 + 3i,\overline z 2 = 4 + 2i.\] Tính môđun của số phức \[{z_2} - 2{z_1}\]

Xem đáp án
\[{z_2} - 2{z_1} = 4 - 2i - 2(1 + 3i) = 2 - 8i \Rightarrow |{z_2} - 2{z_1}| = \sqrt {{2^2} + {8^2}} = \sqrt {68} = 2\sqrt {17} \]

Đáp án cần chọn là: A


Câu 16:

Cho số phức \[z = 2 + 3i\]. Tìm số phức \[{\rm{w}} = (3 + 2i)z + 2\bar z\]

Xem đáp án

\[{\rm{w}} = (3 + 2i)z + 2\bar z = (3 + 2i)(2 + 3i) + 2.(2 - 3i)\]

\[ = 6 - 6 + 4i + 9i + 4 - 6i = 4 + 7i\]

Đáp án cần chọn là: B


Câu 17:

Tính môđun của số phức z biết \[\bar z = \left( {4 - 3i} \right)\left( {1 + i} \right)\]

Xem đáp án

Ta có:

\[\bar z = \left( {4 - 3i} \right)\left( {1 + i} \right) = 7 + i \Rightarrow z = 7 - i \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {50} = 5\sqrt 2 \]

Đáp án cần chọn là: C


Câu 18:

Xét số phức z thỏa mãn \[\left| {z + 2 - i} \right| + \left| {z - 4 - 7i} \right| = 6\sqrt 2 \]. Gọi m,M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của \[\left| {z - 1 + i} \right|.\]Tính P=m+M.

Xem đáp án

Gọi \[z = x + yi\left( {x,y \in R} \right)\]

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy gọi P(x;y) là điểm biểu diễn của số phức z

Gọi \[A\left( { - 2;1} \right),B\left( {4;7} \right)\]thì

\[\begin{array}{*{20}{l}}{AB = 6\sqrt 2 = \left| {z + 2 - i} \right| + \left| {z - 4 - 7i} \right|}\\{ = \sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {x - 4} \right)}^2} + {{\left( {y - 7} \right)}^2}} = PA + PB}\end{array}\]

Suy ra tập hợp các điểm P thỏa mãn chính là đoạn thẳng AB

\[\left| {z - 1 + i} \right| = \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} = PC\]với C(1;−1)

Do đó\[P{C_{\min }}\]khi P là hình chiếu của C lên AB và \[P{C_{\max }}\] khi\[P \equiv B\]

Suy ra \[M = CB = \sqrt {73} \]

Ta có:\[AB:\frac{{x + 2}}{{4 + 2}} = \frac{{y - 1}}{{7 - 1}} \Leftrightarrow x - y + 3 = 0\]

\[ \Rightarrow m = d\left( {C,AB} \right) = \frac{{\left| {1 - \left( { - 1} \right) + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{5}{{\sqrt 2 }}\]

\[ \Rightarrow M + m = \frac{{5\sqrt 2 + 2\sqrt {73} }}{2}\]

Xét số phức z thỏa mãn  (ảnh 1)

Đáp án cần chọn là: B


Câu 19:

Cho số phức \[z = 1 + i + {i^2} + {i^3} + ... + {i^9}\]. Khi đó:

Xem đáp án

\[z = 1 + i + {i^2} + {i^3} + ... + {i^9} = 1 + i - 1 - i + 1 + i - 1 - i + 1 + i = 1 + i\]

Đáp án cần chọn là: B


Câu 20:

Trong các số phức \[{z_1} = - 2i,\,\,{z_2} = 2 - i,\,\,{z_3} = 5i,\,\,{z_4} = 4\] có bao nhiêu số thuần ảo?

Xem đáp án

Có 2 số thuần ảo, đó là: \[{z_1} = - 2i,\,\,\,{z_3} = 5i\]

Đáp án cần chọn là: D


Câu 21:

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \[|z| = 1\;\]và \[\mid {z^3} + 2024z + \overline z \mid - 2\sqrt 3 \mid z + \overline z \mid = 2019\]

Xem đáp án

Ta có :

\[\mid {z^3} + 2024z + \overline z \mid - 2\sqrt 3 \mid z + \overline z \mid = 2019\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \mid \frac{{\mid {z^3} + 2024z + \overline z \mid }}{{|z|}} - 2\sqrt 3 \mid z + \overline z \mid = 2019\\ \Leftrightarrow \mid {z^2} + 2024 + \frac{{\overline z }}{z}\mid - 2\sqrt 3 \mid z + \overline z \mid = 2019\\ \Leftrightarrow \left| {{z^2} + 2024 + {z^{ - 2}}} \right| - 2\sqrt 3 \mid z + \overline z \mid = 2019\\ \Leftrightarrow \left| {{{\left( {z + \overline z } \right)}^2} - 2z\overline z + 2021} \right| - 2\sqrt 3 \mid z + \overline z \mid = 2019\\ \Leftrightarrow \left| {{{(z + \overline z )}^2} + 2022\mid } \right| - 2\sqrt 3 \mid z + \overline z \mid = 2019\end{array}\]

Đặt\[z = a + bi \Rightarrow \bar z = a - bi \Rightarrow z + \bar z = 2a\]

Khi đó phương trình cuối trở thành

\[\left| {{{\left( {2a} \right)}^2} + 2022} \right| - 2\sqrt 3 .\left| {2a} \right| = 2019 \Leftrightarrow 4{a^2} - 4\sqrt 3 \left| a \right| + 3 = 0\]

\[ \Leftrightarrow {\left( {2\left| a \right| - \sqrt 3 } \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \left| a \right| = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow a = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}\]

\[\left| z \right| = 1 \Leftrightarrow {\left| z \right|^2} = 1 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 1 \Rightarrow {b^2} = 1 - {a^2} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow b = \pm \frac{1}{2}\]

Vậy có bốn số phức thỏa mãn bài toán là

\[{z_1} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i,\,\,{z_2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2}i,\,\,{z_3} = - \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2}i,\,\,{z_4} = - \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i.\]

Đáp án cần chọn là: B


Câu 22:

Tìm các số thực x,y thỏa mãn đẳng thức \[3x + y + 5xi = 2y - (x - y)i.\]

Xem đáp án

Ta có:

\[\begin{array}{l}3x + y + 5xi = 2y - (x - y)i\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x + y = 2y}\\{5x = - (x - y)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x - y = 0}\\{6x - y = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{y = 0}\end{array}} \right.\end{array}\]

Đáp án cần chọn là: D


Câu 23:

Cho \[{z_1} = 2 + i;\,\,{z_2} = 1 - 3i.\]. Tính \[A = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2}.\]

Xem đáp án

Ta có:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{z_1} = 2 + i}\\{{z_2} = 1 - 3i}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{|{z_1}{|^2} = {2^2} + 1 = 5}\\{|{z_2}{|^2} = 1 + {{( - 3)}^2} = 10}\end{array} \Rightarrow {{\left| {{z_1}} \right|}^2} + {{\left| {{z_2}} \right|}^2} = 15.} \right.\)

Đáp án cần chọn là: D


Câu 24:

Cho số phức \[z = 3 - 4i.\] Modun của z bằng

Xem đáp án

Modun của số phức\[z = 3 - 4i\] là: \[\left| z \right| = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} = 5.\]

Đáp án cần chọn là: D


Câu 25:

Tính môđun của số phức \[w = {\left( {1 - i} \right)^2}z\], biết số phức z có môđun bằng m.

Xem đáp án

Ta có\[\left| w \right| = \left| {{{\left( {1 - i} \right)}^2}z} \right| = \left| {{{\left( {1 - i} \right)}^2}} \right|.\left| z \right|\]

\[ = {\left| {1 - i} \right|^2}.\left| z \right| = {\left( {\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} } \right)^2}.\left| z \right| = 2\left| z \right| = 2m\]\[\left| z \right| = m\]

Đáp án cần chọn là: A


Câu 26:

Cho hai số phức \[{z_1},\,\,{z_2}\] thỏa mãn \[{z_1}\overline {.{z_1}} = 4,\left| {{z_2}} \right| = 3\]. Giá trị biểu thức \[P = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2}\;\] bằng:

Xem đáp án

Ta có\[{z_1}.\overline {{z_1}} = 4 \Rightarrow {\left| {{z_1}} \right|^2} = 4\]

Vậy \[P = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} = 4 + {3^2} = 13\]Đáp án cần chọn là: A


Câu 27:

Cho các số phức \[{z_1} = 3i,{z_2} = m - 2i\]. Số giá trị nguyên của m để \[\left| {{z_2}} \right| < \left| {{z_1}} \right|\;\]

Xem đáp án

Ta có\[{z_1} = 3i;{z_2} = m - 2i \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{|{z_1}| = 3}\\{|{z_2}| = \sqrt {{m^2} + 4} }\end{array}} \right.\]

\[\left| {{z_2}} \right| < \left| {{z_1}} \right| \Rightarrow \sqrt {{m^2} + 4} < 3 \Leftrightarrow {m^2} + 4 < 9 \Leftrightarrow - \sqrt 5 < m < \sqrt 5 .\]</>

Mặt khác\[m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 2; - 1;0;1;2} \right\}.\]

Có 5 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: B


Câu 28:

Cho hai số phức \[{z_1} = 1 + 2i\] và \[{z_2} = 2 - 3i\]. Phần ảo của số phức \[w = 3{z_1} - 2{z_2}\;\]

Xem đáp án

Ta có\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{z_1} = 1 + 2i}\\{{z_2} = 2 - 3i}\end{array}} \right. \Rightarrow w = 3{z_1} - 2{z_2} = - 1 + 12i\)

Khi đó phần ảo của số phức w là 12.

Đáp án cần chọn là: C


Câu 29:

Cho số phức z thỏa mãn \[2iz + \overline z = 1 - i.\]Phần thực của số phức z là:

Xem đáp án

Đặt\[z = a + bi\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \bar z = a - bi\]

Khi đó ta có:

\[2iz + \overline z = 1 - i\]

\[ \Leftrightarrow 2i(a + bi) + a - bi = 1 - i\]

\[ \Leftrightarrow 2ai - 2b + a - bi = 1 - i\]

\[ \Leftrightarrow (a - 2b) + (2a - b)i = 1 - i\]

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a - 2b = 1}\\{2a - b = - 1}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - 1}\\{b = - 1}\end{array}} \right.\)

\[ \Rightarrow z = - 1 - i\]

Vậy phần thực số phức z là −1.

Đáp án cần chọn là: D


Câu 31:

Biết rằng  là một số thực. Giá trị của biểu thức  \[1 + z + {z^2} + ... + {z^{2019}}\] bằng

Xem đáp án

\[z = {m^2} - 3m + 3 + \left( {m - 2} \right)i\]là số thực nên\[m - 2 = 0 \Leftrightarrow m = 2.\]

Suy ra\[z = {m^2} - 3m + 3 = 1.\]

Vậy \[1 + z + {z^2} + ... + {z^{2019}} = 1 + 1 + 1 + ... + 1 = 2020\](có 2020 số 1).

Đáp án cần chọn là: D


Câu 32:

Số phức liên hợp của số phức \[z = \frac{1}{{1 + i}}\] là:

Xem đáp án

Ta có \[z = \frac{1}{{1 + i}} = \frac{{1 - i}}{{\left( {1 + i} \right)\left( {1 - i} \right)}} = \frac{{1 - i}}{{1 - {i^2}}} = \frac{{1 - i}}{{1 + 1}} = \frac{{1 - i}}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i\]

\[ \Rightarrow \bar z = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i\]

Đáp án cần chọn là: A


Câu 33:

Số phức nghịch đảo của \[z = 3 + 4i\] là:

Xem đáp án

Số phức nghịch đảo của số phức\[z = 3 + 4i\] là:

\[\frac{1}{{3 + 4i}} = \frac{{3 - 4i}}{{{3^2} - {{\left( {4i} \right)}^2}}} = \frac{{3 - 4i}}{{9 + 16}} = \frac{3}{{25}} - \frac{4}{{25}}i.\]

Đáp án cần chọn là: B


Câu 34:

Trên C phương trình \[\frac{2}{{z - 1}} = 1 + i\;\] có nghiệm là:

Xem đáp án

\[\frac{2}{{z - 1}} = 1 + i \Leftrightarrow z - 1 = \frac{2}{{1 + i}} \Leftrightarrow z - 1 = 1 - i \Leftrightarrow z = 2 - i\]

Đáp án cần chọn là: A


Câu 35:

Có bao nhiêu số phức \[z = a + bi\] với a,b tự nhiên thuộc đoạn \[\left[ {2;9} \right]\;\]và tổng a+b chia hết cho 3?

Xem đáp án

Trong đoạn \[\left[ {2;9} \right]\;\]

+) 3 số chia hết cho 3: \[\left\{ {3;6;9} \right\}\]

+) 2 số chia 3 dư 1: \[\left\{ {4;7} \right\}.\]

+) 3 số chia 3 dư 2: \[\left\{ {2;5;8} \right\}.\]

Để a+b chia hết cho 3 thì

+) Cả 2 số a, b khác nhau đều chia hết cho 3 có \[A_3^2 = 6\] số phức thỏa mãn.

+) Cả 2 số giống nhau đều chia hết cho 3 có 3 số phức thỏa mãn.

+) 1 số chia 3 dư 1 và 1 số chia 3 dư 2: Có \[C_2^1.C_3^1.2! = 12\] số phức thỏa mãn.

Vậy có tất cả 21 số phức thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: C


Câu 36:

Biết 1+i là nghiệm của phương trình \[zi + azi + bz + a = 0(a,b \in \mathbb{R})\;\] ẩn z trên tập số phức. Tìm \[{b^2} - {a^3}\].

Xem đáp án

Vì \[z = 1 + i\] là 1 nghiệm của phương trình\[zi + azi + bz + a = 0\,\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\]  nên ta có:

\[(1 + i)i + a.(i + 1)i + b(i + 1) + a = 0\]

\[ \Leftrightarrow - 1 + i + a( - 1 + i) + b + bi + a = 0\]

\[ \Leftrightarrow b - 1 + (1 + a + b)i = 0\]

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{b - 1 = 0}\\{1 + a + b = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{b = 1}\\{a = - 2}\end{array}} \right.\)Vậy\[{b^2} - {a^3} = {1^2} - {\left( { - 2} \right)^3} = 9.\]

Đáp án cần chọn là: D


Câu 37:

Có bao nhiêu số phức thỏa mãn \[{z^2} + 2\left( {\bar z} \right) = 0\]

Xem đáp án

Đặt \[z = a + bi \Rightarrow \bar z = a - bi.\]

Khi đó ta có:

\[{z^2} + 2\overline z = 0\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow {(a + bi)^2} + 2(a - bi) = 0\\ \Leftrightarrow {a^2} + 2abi + {b^2}{i^2} + 2a - 2bi = 0\\ \Leftrightarrow {a^2} - {b^2} + 2a + (2ab - 2b)i = 0\end{array}\]

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} - {b^2} + 2a = 0}\\{2ab - 2b = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} - {b^2} + 2a = 0}\\{2b(a - 1) = 0}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} - {b^2} + 2a = 0}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{b = 0}\\{a = 1}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1}\\{ - {b^2} + 3 = 0}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{b = 0}\\{{a^2} + 2a = 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1}\\{b = \pm \sqrt 3 }\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{b = 0}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 0}\\{a = - 2}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\end{array}\)

\[ \Rightarrow {z_1} = 1 + \sqrt 3 i,{z_2} = 1 - \sqrt 3 i,{z_3} = 0,{z_4} = - 2\]

Vậy có 4 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: D


Câu 38:

Với số phức z tùy ý, cho mệnh đề \[\left| { - z} \right| = \left| z \right|;\left| {\overline z } \right| = \left| z \right|;\left| {z + \overline z } \right| = 0;\left| z \right| > 0.\] Số mệnh đề đúng là:

Xem đáp án

+) Đặt \[z = a + bi \Rightarrow - z = - a - bi.\]

Ta có:\[\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} ,\,\,\left| { - z} \right| = \sqrt {{{\left( { - a} \right)}^2} + {{\left( { - b} \right)}^2}} \Rightarrow \left| z \right| = \left| { - z} \right|\] là mệnh đề đúng.

+) Đặt \[z = a + bi \Rightarrow \bar z = a - bi.\]

Ta có:\[\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} ,\,\,\left| {\bar z} \right| = \sqrt {{a^2} + {{\left( { - b} \right)}^2}} \Rightarrow \left| z \right| = \left| {\bar z} \right|\]  là mệnh đề đúng.

+) Đặt\[z = a + bi \Rightarrow \bar z = a - bi \Rightarrow z + \bar z = 2a\]

\[ \Rightarrow \left| {z + \bar z} \right| = \left| {2a} \right| \Rightarrow \left| {z + \bar z} \right| = 0\]là mệnh đề sai.

+) Đặt\[z = a + bi \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \ge 0 \Rightarrow \left| z \right| > 0\]là mệnh đề sai.

Vậy có 2 mệnh đề đúng.

Đáp án cần chọn là: A


Câu 39:

Cho số phức z thỏa mãn \[\frac{{3 - 4i}}{z} = \frac{{\left( {2 + 3i} \right)\bar z}}{{{{\left| z \right|}^2}}} + 2 + i\], giá trị của \[\left| z \right|\;\]bằng

Xem đáp án

Ta có

\[\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{3 - 4i}}{z} = \frac{{\left( {2 + 3i} \right)\bar z}}{{{{\left| z \right|}^2}}} + 2 + i}\\{ \Leftrightarrow \frac{{3 - 4i}}{z} = \frac{{\left( {2 + 3i} \right)\bar z}}{{z.\bar z}} + 2 + i}\\{ \Leftrightarrow \frac{{3 - 4i}}{z} = \frac{{2 + 3i}}{z} + 2 + i}\\{ \Leftrightarrow 3 - 4i = 2 + 3i + \left( {2 + i} \right).z}\\{ \Leftrightarrow \left( {2 + i} \right).z = 1 - 7i}\\{ \Leftrightarrow z = \frac{{1 - 7i}}{{2 + i}} = - 1 - 3i}\end{array}\]

Vậy\[\left| z \right| = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = \sqrt {10} .\]

Đáp án cần chọn là: B


Câu 40:

Biết số phức z thỏa mãn điều kiện \[\frac{{5\left( {\bar z + i} \right)}}{{z + 1}} = 2 - i\]. Mô đun số phức \[w = 1 + z + {z^{2\;}}\] bằng

Xem đáp án

Đặt\[z = a + bi \Rightarrow \bar z = a - bi\]

Theo bài ra ta có:

\[\frac{{5\left( {\bar z + i} \right)}}{{z + 1}} = 2 - i\]

\( \Rightarrow \frac{{5(a - bi + i)}}{{a + bi + 1}} = 2 - i\)

\[ \Leftrightarrow 5[a - (b - 1)i] = (a + 1 + bi)(2 - i)\]

\[ \Leftrightarrow 5a - 5(b - 1)i = 2(a + 1) + b + (2b - a - 1)i\]

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5a = 2a + 2 + b}\\{5 - 5b = 2b - a - 1}\end{array}} \right. \Rightarrow a = b = 1\)

\[ \Rightarrow z = 1 + i \Rightarrow {z^2} = 2i\]

\[ \Rightarrow w = 1 + z + {z^2} = 1 + 1 + i + 2i = 2 + 3i\]

Vậy \[\left| {\rm{w}} \right| = \sqrt {{2^2} + {3^2}} = \sqrt {13} .\]

Đáp án cần chọn là: C


Câu 41:

Cho số phức \[z = \frac{{m + 3i}}{{1 - i}},\,\,m \in \mathbb{R}\] Số phức \[w = {z^2}\;\] có \[\left| w \right| = 9\;\] khi các giá trị của m là:

Xem đáp án

Ta có:

\[\left| w \right| = 9 \Rightarrow \left| {{z^2}} \right| = 9 \Leftrightarrow {\left| z \right|^2} = 9\]

\[ \Leftrightarrow \left| z \right| = 3 \Leftrightarrow \left| {\frac{{m + 3i}}{{1 - i}}} \right| = 3\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{\left| {m + 3i} \right|}}{{\left| {1 - i} \right|}} = 3 \Leftrightarrow \frac{{\left| {m + 3i} \right|}}{{\sqrt 2 }} = 3\]

\[ \Leftrightarrow \left| {m + 3i} \right| = 3\sqrt 2 \Leftrightarrow \sqrt {{m^2} + 9} = 3\sqrt 2 \]

\[ \Leftrightarrow {m^2} + 9 = 18 \Leftrightarrow {m^2} = 9\]

\[ \Leftrightarrow m = \pm 3\]

Đáp án cần chọn là: C


Câu 42:

Tính tổng phần thực của tất cả các số phức \[z \ne 0\] thỏa mãn \[\left( {z + \frac{5}{{|z|}}} \right)i = 7 - z.\]

Xem đáp án

Theo bài ra ta có:

\[\left( {z + \frac{5}{{|z|}}} \right)i = 7 - z. \Leftrightarrow zi + \frac{{5i}}{{|z|}} = 7 - z \Leftrightarrow z(i + 1) = 7 - \frac{{5i}}{{|z|}}\]

\[ \Leftrightarrow 2|z{|^2} = 49 + \frac{{25}}{{|z{|^2}}} \Leftrightarrow 2|z{|^4} - 49|z{|^2} - 25 = 0\]

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{|z{|^2} = 25(tm)}\\{|z| = - \frac{1}{2}(ktm)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow |z| = 5(Do|z| > 0)\)

Thay\[\left| z \right| = 5\]vào biểu thức đề bài ta có:

\[\left( {z + 1} \right)i = 7 - z \Leftrightarrow z\left( {i + 1} \right) = 7 - i \Leftrightarrow z = \frac{{7 - i}}{{i + 1}} = 3 - 4i\]

Đáp án cần chọn là: C


Câu 43:

Cho số phức z  có tích phần thực và phần ảo bằng 625. Gọi a là phần thực của số phức \[\frac{z}{{3 + 4i}}\]. Giá trị nhỏ nhất của |a| bằng:

Xem đáp án

Đặt\[z = x + yi\]  Theo giả thiết ta có\[xy = 625.\]

Ta có:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{z}{{3 + 4i}} = \frac{{x + yi}}{{3 + 4i}} = \frac{{\left( {x + yi} \right)\left( {3 - 4i} \right)}}{{25}}}\\{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{3x + 4y + \left( { - 4x + 3y} \right)i}}{{25}}}\\{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{3x + 4y}}{{25}} + \frac{{ - 4x + 3y}}{{25}}i}\end{array}\]

Số phức\[\frac{z}{{3 + 4i}}\] có phần thực là\[a = \frac{{3x + 4y}}{{25}} \Rightarrow \left| a \right| = \frac{{\left| {3x + 4y} \right|}}{{25}}\]

Ta có:\[xy = 625 \Leftrightarrow y = \frac{{625}}{x} \Rightarrow \left| a \right| = \frac{{\left| {3x + 4.\frac{{625}}{x}} \right|}}{{25}}\]

\[3x,\,\,\frac{{625}}{x}\] cùng dấu nên\[\left| {3x + 4.\frac{{625}}{x}} \right| \ge 2\sqrt {3x.4.\frac{{625}}{x}} = 100\sqrt 3 \]

Vậy\[\left| a \right| \ge 4\sqrt 3 \] Dấu “=” xảy ra \[ \Leftrightarrow 3x = 4.\frac{{625}}{x} \Leftrightarrow x = \pm \frac{{50}}{{\sqrt 3 }}\]

Đáp án cần chọn là: D


Câu 44:

Cho các số phức z và w thỏa mãn \[\left( {3 - i} \right)\left| z \right| = \frac{z}{{w - 1}} + 1 - i\]. Tìm GTLN của \[T = |w + i|\]

Xem đáp án

Dễ dàng kiểm tra z=0 không thỏa mãn\[\left( {3 - i} \right)\left| z \right| = \frac{z}{{w - 1}} + 1 - i\]

Ta có: \[\left( {3 - i} \right)\left| z \right| = \frac{z}{{w - 1}} + 1 - i \Leftrightarrow \frac{z}{{w - 1}} = \left( {3 - i} \right)\left| z \right| + i - 1\]

\[ \Leftrightarrow \frac{z}{{w - 1}} = \left( {3\left| z \right| - 1} \right) + \left( {1 - \left| z \right|} \right)i\]

\[ \Rightarrow \left| {\frac{z}{{w - 1}}} \right| = \sqrt {10{{\left| z \right|}^2} - 8\left| z \right| + 2} \Rightarrow \left| {w - 1} \right| = \sqrt {\frac{{{{\left| z \right|}^2}}}{{10{{\left| z \right|}^2} - 8\left| z \right| + 2}}} \]

Nhận xét: \[T = \left| {w + i} \right| \le \left| {w - 1} \right| + \left| {1 + i} \right| = \frac{1}{{\sqrt {\frac{2}{{{{\left| z \right|}^2}}} - \frac{8}{{\left| z \right|}} + 10} }} + \sqrt 2 \]

\[ = \frac{1}{{\sqrt {2{{\left( {\frac{1}{{\left| z \right|}} - 2} \right)}^2} + 2} }} + \sqrt 2 \le \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\]

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khỉ

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{|z| = \frac{1}{2}}\\{w - 1 = k(1 + i)}\\{(3 - i)|z| = \frac{z}{{w - 1}} + 1 - i}\end{array}} \right.(k > 0)\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{|z| = \frac{1}{2}}\\{w - 1 = k(1 + i)}\\{(3 - i)\frac{1}{2} = \frac{z}{{k(1 + i)}} + 1 - i}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{|z| = \frac{1}{2}}\\{w - 1 = k(1 + i)}\\{z = \frac{{1 + i}}{2}.\frac{{2k}}{{1 - i}}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{|z| = \frac{1}{2}}\\{w - 1 = k(1 + i)}\\{|z| = k(dok > 0)}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{|z| = \frac{1}{2} = k}\\{w - 1 = \frac{1}{2}(1 + i)}\\{z = \frac{{1 + i}}{2}.\frac{{2k}}{{1 - i}}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{z = \frac{i}{2}}\\{w = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}i}\end{array}} \right.\)

Vậy,\[\max T = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\]

Đáp án cần chọn là: B


Bắt đầu thi ngay