25 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Nguyên hàm

Câu 1:

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) nếu:

A.\[F'\left( x \right) = f''\left( x \right)\]

B. \[F'\left( x \right) = f'\left( x \right)\]

C. \[F'\left( x \right) = f'\left( x \right)\]

D. \[f'\left( x \right) = F\left( x \right)\]

Xem đáp án

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) nếu\[F'\left( x \right) = f\left( x \right)\]

Đáp án cần chọn là: C

Câu 2:

Cho f(x) là đạo hàm của hàm số F(x). Chọn mệnh đề đúng:

A.\[f'\left( x \right) = F\left( x \right)\]

B. \[\smallint f\left( x \right)dx = F\left( x \right) + C\]

C. \[\smallint F\left( x \right)dx = f\left( x \right) + C\]

D. \[f'\left( x \right) = F'\left( x \right)\]

Xem đáp án

Hàm số f(x) là đạo hàm của F(x) nên F(x) là nguyên hàm của f(x) hay\[\smallint f\left( x \right)dx = F\left( x \right) + C\]

Đáp án cần chọn là: B

Câu 3:

Chọn mệnh đề đúng:

A.\[\smallint f'\left( x \right)dx = f\left( x \right) + C\]

B. \[\smallint f\left( x \right)dx = f'\left( x \right) + C\]

C. \[\smallint f'\left( x \right)dx = f''\left( x \right) + C\]

D. \[\smallint f\left( x \right)dx = f''\left( x \right) + C\]

Xem đáp án

Ta có: \[\smallint f'\left( x \right)dx = f\left( x \right) + C\]

Đáp án cần chọn là: A

Câu 4:

Hàm số nào không là nguyên hàm của hàm số \[y = 3{x^4}\]?

A.\[y = 12{x^3}\]

B. \[y = \frac{{3{x^5}}}{5} - 1\]

C. \[y = \frac{{3{x^5} + 1}}{5}\]

D. \[y = \frac{3}{5}{x^5} - \frac{3}{5}\]

Xem đáp án

Quan sát các đáp án ta thấy mỗi hàm số ở đáp án B, C, D đều có đạo hàm bằng \[3{x^4}\]

Chỉ có đáp án A:\[{\left( {12{x^3}} \right)^\prime } = 36{x^2} \ne 3{x^4}\]nên A sai.

Đáp án cần chọn là: A

Câu 5:

Mệnh đề nào dưới đây là sai?

A.\[\smallint \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx = \smallint f\left( x \right)dx + \smallint g\left( x \right)dx\] với mọi hàm\[f\left( x \right);g\left( x \right)\]liên tục trên R.

B. \[\smallint \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx = \smallint f\left( x \right)dx - \smallint g\left( x \right)dx\] với mọi hàm\[f\left( x \right);g\left( x \right)\]liên tục trên R.

C. \[\smallint \left[ {kf\left( x \right)} \right]dx = k\smallint f\left( x \right)dx\] với mọi hằng số k và hàm f(x) liên tục trên R.

D. \[\smallint \left[ {f'\left( x \right)} \right]dx = f(x) + C\] với mọi f(x) có đạo hàm trên R.

Xem đáp án

Các mệnh đề A, B, D đúng

Mệnh đề ở ý C chỉ đúng với \[k \ne 0\].

Đáp án cần chọn là: C

Câu 6:

Hàm số \[y = sinx\;\] là một nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau?

\[{\left( {\sin x} \right)^\prime } = \cos x \Rightarrow y = \sin x\] là một nguyên hàm của hàm số\[y = \cos x\]

A.\[y = \sin x + 1\]

B. \[y = \cos x\]

C. \[y = \cot x\]

D. \[y = - \cos x\]Trả lời:

Xem đáp án

B

Câu 7:

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A.\[\smallint \sin xdx = \cos x + C\]

b. \[\smallint dx = x + C\]

C. \[\smallint {e^x}dx = {e^x} + C\]

D. \[\smallint \frac{1}{x}dx = \ln \left| x \right| + C\]

Xem đáp án

Có \[\smallint \sin xdx = - \cos x + C\] nên A sai.

Đáp án cần chọn là: A

Câu 8:

Chọn mệnh đề đúng:

A.\[\smallint 0dx = C\]

B. \[\smallint dx = C\]

C. \[\smallint dx = 0\]

D. \[\smallint 0dx = x + C\]

Xem đáp án

Ta có:\[\smallint 0dx = C\] nên A đúng, D sai.

\[\smallint dx = x + C\] nên B, C sai

Đáp án cần chọn là: A

Câu 9:

Chọn mệnh đề đúng:

A.\[\smallint {a^x}dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C(0 < a \ne 1)\]

B. \[\smallint {a^x}dx = {a^x} + C(0 < a \ne 1)\]

C. \[\smallint {a^x}dx = {a^x}\ln a + C(0 < a \ne 1)\]

D. \[\smallint {a^x}dx = {a^x}\ln a(0 < a \ne 1)\]

Xem đáp án

Ta có:\[\smallint {a^x}dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C(0 < a \ne 1)\] nên A đúng.

Đáp án cần chọn là: A

Câu 10:

Chọn mệnh đề đúng:

A.\[\smallint 0dx = C\]

B. \[\smallint dx = C\]

C. \[\smallint dx = 0\]

D. \[\smallint 0dx = x + C\]

Xem đáp án

Ta có:\[\smallint 0dx = C\] nên A đúng, D sai.

\[\smallint dx = x + C\] nên B, C sai

Đáp án cần chọn là: A

Câu 11:

Cho hàm số \[f\left( x \right) = \frac{1}{{x + 2}}\]. Hãy chọn mệnh đề sai:

A. \[\smallint \frac{1}{{x + 2}}dx = \ln \left( {x + 2} \right) + C\]

B.\[y = \ln \left( {3\left| {x + 2} \right|} \right)\] là một nguyên hàm của f(x)

C.\[y = \ln \left| {x + 2} \right| + C\] là họ nguyên hàm của f(x)

D.\[y = \ln \left| {x + 2} \right|\] là một nguyên hàm của f(x)

Xem đáp án

Họ nguyên hàm của hàm số đã cho là:\[F\left( x \right) = \smallint \frac{1}{{x + 2}}dx = \ln \left| {x + 2} \right| + C\] nên C đúng, A sai.

Do đó các hàm số \[y = \ln \left| {x + 2} \right|\] và\[y = \ln \left( {3\left| {x + 2} \right|} \right) = \ln 3 + \ln \left| {x + 2} \right|\] đều là một nguyên hàm của f(x) nên B, D đúng.

Đáp án cần chọn là: A

Câu 12:

Họ nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = x\left( {2 + 3{x^2}} \right)\] là

A.\[{x^2}\left( {1 + \frac{3}{4}{x^2}} \right) + C\]

b. \[\frac{{{x^2}}}{2}\left( {2x + {x^3}} \right) + C\]

C. \[{x^2}\left( {2 + 6x} \right) + C\]

D. \[{x^2} + \frac{3}{4}{x^4}\]

Xem đáp án

Họ nguyên hàm của hàm số đã cho là:

\[\smallint f\left( x \right)dx = \smallint \left( {2x + 3{x^3}} \right)dx = \smallint 2xdx + \smallint 3{x^3}dx = 2\smallint xdx + 3\smallint {x^3}dx\]

\[ = 2.\frac{{{x^2}}}{2} + 3.\frac{{{x^4}}}{4} + C = {x^2} + \frac{{3{x^4}}}{4} + C = {x^2}\left( {1 + \frac{3}{4}{x^2}} \right) + C\]

Đáp án cần chọn là: A

Câu 13:

Tìm nguyên hàm của hàm số \[f(x) = {x^2} + \frac{2}{{{x^2}}}.\]

A.\[\smallint f(x)dx = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{2}{x} + C.\]

B. \[\smallint f(x)dx = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{1}{x} + C.\]

C. \[\smallint f(x)dx = \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{2}{x} + C.\]

D. \[\smallint f(x)dx = \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{1}{x} + C.\]

Xem đáp án

Ta có:\[\smallint f\left( x \right)dx = \smallint \left( {{x^2} + \frac{2}{{{x^2}}}} \right)dx = \frac{1}{3}{x^3} - \frac{2}{x} + C\]

Đáp án cần chọn là: A

Câu 14:

Cho hàm số \[f\left( x \right) = {e^{ - 2018x + 2017}}\]. Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x) mà \[F\left( 1 \right) = e\]. Chọn mệnh đề đúng:

A.\[F\left( x \right) = - \frac{1}{{2018}}{e^{ - 2018x + 2017}} + \frac{1}{{2018e}}\]

B. \[F\left( x \right) = - \frac{1}{{2018}}{e^{ - 2018x + 2017}} + e + \frac{1}{{2018e}}\]

C. \[F\left( x \right) = - 2018{e^{ - 2018x + 2017}} + e + \frac{{2018}}{e}\]

D. \[F\left( x \right) = - 2018{e^{ - 2018x + 2017}} + \frac{1}{{2018e}}\]

Xem đáp án

Ta có:

\[F\left( x \right) = \smallint f\left( x \right)dx = \smallint {e^{ - 2018x + 2017}}dx = \frac{1}{{ - 2018}}{e^{ - 2018x + 2017}} + C\]

Với x=1 thì \[ - \frac{1}{{2018}}{e^{ - 1}} + C = e \Leftrightarrow C = e + \frac{1}{{2018}}{e^{ - 1}}\]

Vậy\[F\left( x \right) = - \frac{1}{{2018}}{e^{ - 2018x + 2017}} + e + \frac{1}{{2018e}}\]

Đáp án cần chọn là: B

Câu 15:

Cho hàm số \[F(x) = {x^2}\;\] là một nguyên hàm của hàm số \[f(x){e^{4x}}\], hàm số f(x) có đạo hàm f′(x). Họ nguyên hàm của hàm số \[f\prime \left( x \right){e^{4x}}\] là

A.\[ - 4{x^2} + 3x + C.\]

B. \[ - 4{x^2} + 2x + C.\]

C. \[4{x^2} + 2x + C.\]

D. \[ - 4{x^2} + x + C.\]

Xem đáp án

Vì\[F\left( x \right) = {x^2}\] là nguyên hàm của hàm số\[f\left( x \right){e^{4x}}\] nên:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( x \right){e^{4x}} = F'\left( x \right) = 2x}\\{ \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{{2x}}{{{e^{4x}}}}}\end{array}\]

\[\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{{2{e^{4x}} - 8x.{e^{4x}}}}{{{{\left( {{e^{4x}}} \right)}^2}}} = \frac{{2 - 8x}}{{{e^{4x}}}}}\\{ \Rightarrow f'\left( x \right){e^{4x}} = 2 - 8x}\\{ \Rightarrow \smallint f'\left( x \right){e^{4x}}dx = \smallint \left( {2 - 8x} \right)dx = - 4{x^2} + 2x + C}\end{array}\]

Đáp án cần chọn là: B

Câu 16:

Giả sử \[F\left( x \right) = \left( {a{x^2} + bx + c} \right){e^x}\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {x^2}{e^x}\]. Tính tích P=abc.

A.P=−4

B.P=1

C.P=−5

D.P=−3

Xem đáp án

Bước 1:

Vì F(x) là 1 nguyên hàm của hàm số f(x) nên ta có\[F'\left( x \right) = f\left( x \right)\]

\[\begin{array}{*{20}{l}}{F'\left( x \right) = \left( {2ax + b} \right){e^x} + \left( {a{x^2} + bx + c} \right){e^x}}\\{F'\left( x \right) = \left( {a{x^2} + bx + c + 2ax + b} \right){e^x}}\\{F'\left( x \right) = \left[ {a{x^2} + \left( {2a + b} \right)x + b + c} \right]{e^x}}\\{ = {x^2}.{e^x}}\end{array}\]

Bước 2:

Ta có:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} = 1.{x^2} + 0.x + 0}\\{\left[ {a.{x^2} + \left( {2a + b} \right)x + b + c} \right]{e^x} = {x^2}.{e^x}}\\{ \Leftrightarrow a.{x^2} + \left( {2a + b} \right)x + b + c = {x^2}}\\{ \Leftrightarrow a.{x^2} + \left( {2a + b} \right)x + b + c = 1.{x^2} + 0.x + 0}\end{array}\]

Đồng nhất hệ số ta có:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1}\\\begin{array}{l}2a + b = 0\\b + c = 0\end{array}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1}\\\begin{array}{l}b = - 2\\c = 2\end{array}\end{array}} \right.\)

Vậy\[P = abc = 1.\left( { - 2} \right).2 = - 4.\]

Đáp án cần chọn là: A

Câu 17:

Tìm hàm số F(x) biết \[F\prime (x) = 3{x^2} + 2x - 1\;\] và đồ thị hàm số y=F(x) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2. Tổng các hệ số của F(x) là:

A.3

B.4

C.8

D.-1

Xem đáp án

Ta có:

\[F'\left( x \right) = 3{x^2} + 2x - 1 \Rightarrow F\left( x \right) = \smallint F'\left( x \right)dx = \smallint \left( {3{x^2} + 2x - 1} \right)dx = {x^3} + {x^2} - x + C\]

Tại x=0 thì y=2 suy ra\[2 = C \Rightarrow F\left( x \right) = {x^3} + {x^2} - x + 2\] và tổng các hệ số của F(x) là 3.

Đáp án cần chọn là: A

Câu 18:

Họ nguyên hàm của hàm số \[y = \frac{{2x + 3}}{{2{x^2} - x - 1}}\] là:

A.\[\frac{2}{3}\ln \left| {2x + 1} \right| + \frac{5}{3}\ln \left| {x - 1} \right| + C\]

B. \[ - \frac{2}{3}\ln \left| {2x + 1} \right| + \frac{5}{3}\ln \left| {x - 1} \right| + C\]

C. \[\frac{2}{3}\ln \left| {2x + 1} \right| - \frac{5}{3}\ln \left| {x - 1} \right| + C\]

D. \[ - \frac{1}{3}\ln \left| {2x + 1} \right| + \frac{5}{3}\ln \left| {x - 1} \right| + C\]Trả lời:

Xem đáp án

\[\frac{{2x + 3}}{{2{x^2} - x - 1}} = \frac{{2x + 3}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\]

Do đó, ta cần biến đổi\[\frac{{2x + 3}}{{2{x^2} - x - 1}} = \frac{a}{{2x + 1}} + \frac{b}{{x - 1}}\] để tính được nguyên hàm.

Ta có:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{a}{{2x + 1}} + \frac{b}{{x - 1}} = \frac{{a\left( {x - 1} \right) + b\left( {2x + 1} \right)}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}}\\{ = \frac{{ax - a + 2bx + b}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \frac{{\left( {a + 2b} \right)x - a + b}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}}\end{array}\]

\( \Rightarrow \frac{{2x + 3}}{{2{x^2} - x - 1}} = \frac{{(a + 2b)x - a + b}}{{(2x + 1)(x - 1)}}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a + 2b = 2}\\{ - a + b = 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - \frac{4}{3}}\\{b = \frac{5}{3}}\end{array}} \right.\)

Do đó:

\[\smallint \frac{{2x + 3}}{{2{x^2} - x - 1}}dx\; = \smallint \left[ { - \frac{4}{3}.\frac{1}{{\left( {2x + 1} \right)}} + \frac{5}{3}.\frac{1}{{\left( {x - 1} \right)}}} \right]dx\;\]

\[ = \; - \frac{4}{3}\smallint \frac{1}{{\left( {2x + 1} \right)}}dx\; + \frac{5}{3}\smallint \frac{1}{{\left( {x - 1} \right)}}dx\]

\[ = \; - \frac{4}{3}.\frac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} \right| + \frac{5}{3}\ln \left| {x - 1} \right| + C = \; - \frac{2}{3}\ln \left| {2x + 1} \right| + \frac{5}{3}\ln \left| {x - 1} \right| + C\]

Đáp án cần chọn là: B

Câu 19:

Hàm số nào sau đây không là nguyên hàm của hàm số \[f(x) = \frac{{x\left( {x + 2} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\]?

A.\[\frac{{{x^2} + x - 1}}{{x + 1}}\]

B. \[\frac{{{x^2} - x - 1}}{{x + 1}}\]

C. \[\frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}\]

D. \[\frac{{{x^2}}}{{x + 1}}\]

Xem đáp án

Đáp án C:\[\frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}} = \frac{{{x^2} + (x + 1)}}{{x + 1}} = \frac{{{x^2}}}{{x + 1}} + 1\]

Đáp án D: \[\frac{{{x^2}}}{{x + 1}}\]

Như thế, các hàm số ở ý B, C, D hơn kém nhau một số đơn vị do nên chúng là nguyên hàm của cùng một hàm số.

Đáp án cần chọn là: A

Câu 20:

Một đám vi trùng tại ngày thứ tt có số lượng N(t), biết rằng \[N\prime (t) = \frac{{4000}}{{1 + 0,5t\;}}\] và lúc đầu đám vi trùng có 250000 con. Hỏi số lượng vi trùng tại ngày thứ 10 (lấy theo phần nguyên) là bao nhiêu?

A.264334 con

B.256334 con

C.300560 con

D.614678 con

Xem đáp án

Ta có: \[N(t) = \smallint N'(t)dt = \smallint \frac{{4000}}{{0,5t + 1}}dt\]

\[ = \frac{{4000}}{{0,5}}\ln \left| {0,5t + 1} \right| + C = 8000\ln \left| {0,5t + 1} \right| + C\]

Với t=0 thì\[250000 = 8000\ln 1 + C \Leftrightarrow C = 250000\]

Vậy \[N\left( t \right) = 8000\ln \left| {0,5t + 1} \right| + 250000 \Rightarrow N\left( {10} \right) \approx 264334\]

Đáp án cần chọn là: A

Câu 21:

Cho hàm số f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn các điều kiện: f\[\left( 0 \right) = 2\sqrt 2 ,\;f(x) > 0,\forall x \in \mathbb{R}\;\] và \[f(x).f\prime (x) = (2x + 1)\sqrt {1 + {f^2}(x)} ,\forall x \in \mathbb{R}\]. Khi đó giá trị f(1) bằng

A.\[\sqrt {15} \]

B. \[\sqrt {23} \]

C. \[\sqrt {24} \]

D. \[\sqrt {26} \]

Xem đáp án

Ta có:\[f\left( x \right).f'\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right)\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} \]

\[ \Rightarrow \frac{{f\left( x \right).f'\left( x \right)}}{{\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} }} = 2x + 1 \Rightarrow \smallint \frac{{f\left( x \right).f'\left( x \right)}}{{\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} }}dx = \smallint \left( {2x + 1} \right)dx\]

Tính\[\smallint \frac{{f\left( x \right).f'\left( x \right)}}{{\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} }}dx\] ta đặt

\[\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} = t \Rightarrow 1 + {f^2}\left( x \right) = {t^2} \Rightarrow 2f\left( x \right)f'\left( x \right)dx = 2tdt\]

\[ \Rightarrow f\left( x \right)f'\left( x \right)dx = tdt\]

Thay vào ta được

\[\smallint \frac{{f\left( x \right).f'\left( x \right)}}{{\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} }}dx = \smallint \frac{{tdt}}{t} = \smallint dt = t + C = \sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} + C\]

Do đó\[\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} + C = {x^2} + x\]

\[f\left( 0 \right) = 2\sqrt 2 \Rightarrow \sqrt {1 + {{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2}} + C = 0 \Leftrightarrow C = - 3\]

Từ đó:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} - 3 = {x^2} + x \Rightarrow \sqrt {1 + {f^2}\left( 1 \right)} - 3 = 1 + 1 \Leftrightarrow \sqrt {1 + {f^2}\left( 1 \right)} = 5}\\{ \Leftrightarrow 1 + {f^2}\left( 1 \right) = 25 \Leftrightarrow {f^2}\left( 1 \right) = 24 \Leftrightarrow f\left( 1 \right) = \sqrt {24} }\end{array}\]

Đáp án cần chọn là: C

Câu 22:

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101

Cho hàm số \[f\left( x \right) = {x^2} + 4\]. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A.\[\smallint f\left( x \right)dx = 2x + C\]

B. \[\smallint f\left( x \right)dx = {x^2} + 4x + C\]

C. \[\smallint f\left( x \right)dx = \frac{{{x^3}}}{3} + 4x + C\]

D. \[\smallint f\left( x \right)dx = {x^3} + 4x + C\]

Xem đáp án

\[\smallint \left( {{x^2} + 4} \right)dx = \frac{{{x^3}}}{3} + 4x + C\]

Đáp án cần chọn là: C

Câu 23:

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101

Cho hàm số \[f\left( x \right) = {e^x} + 2\]. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A.\[\smallint f\left( x \right)dx = {e^{x - 2}} + C\]

B. \[\smallint f\left( x \right)dx = {e^x} + 2x + C\]

C. \[\smallint f\left( x \right)dx = {e^x} + C\]

D. \[\smallint f\left( x \right)dx = {e^x} - 2x + C\]

Xem đáp án

Ta có\[\smallint \left( {{e^x} + 2} \right)dx = {e^x} + 2x + C\]

Đáp án cần chọn là: B

Câu 24:

Tìm họ nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 2x + 1}}{{x - 2}}\]

A.\[x + \frac{1}{{x - 2}} + C\]

B. \[\frac{{{x^2}}}{2} + \ln \left| {x - 2} \right| + C\]

C. \[{x^2} + \ln \left| {x - 2} \right| + C\]

D. \[1 + \frac{1}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} + C\]

Xem đáp án

Ta có \[f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 2x + 1}}{{x - 2}} = x + \frac{1}{{x - 2}}\]

\[ \Rightarrow \smallint f\left( x \right)dx = \smallint \left( {x + \frac{1}{{x - 2}}} \right)dx = \smallint xdx + \smallint \frac{1}{{x - 2}}dx\]

\[ = \frac{{{x^2}}}{2} + \ln \left| {x - 2} \right| + C\]

Đáp án cần chọn là: B

Câu 25:

Một chiếc xe đua F1 đạt tới vận tốc lớn nhất là 360km/h. Đồ thị bên biểu thị vận tốc v của xe trong 5 giây đầu tiên kể từ lúc xuất phát. Đồ thị trong 2 giây đầu là một phần của một parabol định tại gốc tọa độ O, giây tiếp theo là đoạn thẳng và sau đúng ba giây thì xe đạt vận tốc lớn nhất. Biết rằng mỗi đơn vị trục hoành biểu thị 1 giây, mỗi đơn vị trực tung biểu thị 10 m/s và trong 5 giây đầu xe chuyển động theo đường thẳng. Hỏi trong 5 giây đó xe đã đi được quãng đường là bao nhiêu?

A.340 (mét)

B.420 (mét)

C.400 (mét)

D.320 (mét)

Xem đáp án

Trong 2 giây đầu\[{v_1} = a{t^2}\] có khi \[t = 2\,\,\left( s \right) \Rightarrow {v_1} = 60\,\,\left( {m/s} \right)\] nên\[60 = a{.2^2} \Leftrightarrow a = 15\] suy ra\[{v_1} = 15{t^2}\]

Quãng đường vật đi được trong 2 giây đầu là\[{s_1} = \mathop \smallint \limits_0^2 {v_1}\left( t \right)dt = \mathop \smallint \limits_0^2 15{t^2}dt = 40\,\,\left( m \right)\]

Trong giây tiếp theo, \[{v_2} = mt + n\]

Ta có\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 2 \Rightarrow v = 60}\\{t = 3 \Rightarrow v = 360km/h = 100m/s}\end{array}} \right.\) nên ta có hệ phương trình\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2m + n = 60}\\{3m + n = 100}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 40}\\{n = - 20}\end{array}} \right. \Rightarrow {v_2}\left( t \right) = 40t - 20\)

Quãng đường vật đi được trong giây tiếp theo là

\[{s_2} = \mathop \smallint \limits_2^3 {v_2}\left( t \right)dt = \mathop \smallint \limits_2^3 \left( {40t - 20} \right)dt = 80\,\,\left( m \right)\]

Trong 2 giây cuối\[{v_3} = 100\,\,\left( {m/s} \right)\]

Quãng đường vật đi được trong 2 giây cuối là\[{s_3} = \mathop \smallint \limits_3^5 {v_3}\left( t \right)dt = \mathop \smallint \limits_3^5 100dt = 200\,\,\left( m \right)\]

Vậy trong 5 giây đó xe đã đi được quãng đường là:\[40 + 80 + 200 = 320\,\,\left( m \right)\]Đáp án cần chọn là: D