Ba con đường cắt nhau tạo ra một tam giác. Trong tam giác đó phải đặt xí nghiệp ở đâu để tổng độ dài các con đường từ xí nghiệp ra các con đường là ngắn nhất?
Giải bởi Vietjack
Giả sử các giao điểm của ba con đường là các đỉnh của một tam giác ABC và . Đặt khoảng cách từ điểm D bất kỳ đến các cạnh của tam giác lần lượt là x, y và z.
Khi đó diện tích của tam giác ABC bằng tổng diện tích của tam giác và ADC:
.
Từ đó ta có bất đẳng thức , trong đó dấu bất đắng thức chỉ xảy ra:
Hoặc khi z=y=0, nếu ,
Hoặc khi z=0, nếu ,
Hoặc khi z, y, z bất kỳ, nếu .
Như vậy, ứng với các trường hợp ta có kết luận:
- Xí nghiệp phải đặt ở đỉnh đối diện với cạnh lớn nhất.
- Nếu có hai cạnh lớn nhất bằng nhau, thì xí nghiệp đặt ở điểm bất kì trên cạnh nhỏ nhất.
- Nếu cả ba cạnh bằng nhau thì xí nghiệp đặt bất kì đầu trong tam giác kể cả trên một cạnh nào đó.
Trong một đường tròn cho trước, hãy nội tiếp một hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.
Từ một miếng bìa hình vuông cạnh a, người ta cắt bốn góc những hình vuông bằng nhau sao cho phần còn lại của miếng bìa theo những đường chấm thành một hộp có thể tích lớn nhất (hình vẽ).
Hãy chọn hướng mở một con đường đi qua thành phố sao cho tổng các khoảng cách từ nó tới hai điểm dân cư đã có là nhỏ nhất.
Người ta đào một con mương với thiết diện cắt ngang là một hình thang cân, đáy và cạnh bên có cùng độ dài là a. Độ dài của đáy lớn (bề ngang của mặt mương) hình thang là bao nhiêu để diện tích của mặt cắt là lớn nhất (cho lưu lượng nước thoát qua lớn nhất).
Bên cạnh một con sông đào thẳng người ta phải làm một khu vườn hình chữ nhật có diện tích cho trước S. Người ta muốn rào khu vườn bằng hàng rào ngắn nhất là bao nhiêu? Biết rằng về phía sông thì không phải làm hàng rào.
Từ tất cả hình chữ nhật với chu vi đã cho, thì hình vuông có diện tích lớn nhất.
