Hãy chọn hướng mở một con đường đi qua thành phố sao cho tổng các khoảng cách từ nó tới hai điểm dân cư đã có là nhỏ nhất.
Giải bởi Vietjack
Giả sử (C là vị trí thành phố, còn B và A là vị trí của hai điểm dân cư). Gọi D là điểm đối xứng với B qua điểm C. Con đường ta cần tìm có thể cắt đoạn AB tại E hoặc cắt đoạn AD tại F.
1) Trường hợp thứ nhất.
Diện tích
Nghĩa là
2) Trường hợp thứ hai. Tương tự như phần 1 (x là khoảng cách từ A đến CF, y là khoảng cách từ B đến CF), diện tích
Nghĩa là: .
Vì vậy giá trị x+y nhỏ nhất khi các giá trị CE hoặc CF tương ứng càng lớn. Độ dài này lớn nhất khi .
Nếu hoặc trường hợp thì con đường đi qua B hoặc đi qua A đều như nhau.
Kết luận: Con đường phải đi qua điểm dân cư cách thành phố xa hơn, còn nếu thành phố C cách đều hai điểm dân cư thì con đường đi qua bất cứ điểm dân cư nào.
Trong một đường tròn cho trước, hãy nội tiếp một hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.
Từ một miếng bìa hình vuông cạnh a, người ta cắt bốn góc những hình vuông bằng nhau sao cho phần còn lại của miếng bìa theo những đường chấm thành một hộp có thể tích lớn nhất (hình vẽ).
Ba con đường cắt nhau tạo ra một tam giác. Trong tam giác đó phải đặt xí nghiệp ở đâu để tổng độ dài các con đường từ xí nghiệp ra các con đường là ngắn nhất?
Người ta đào một con mương với thiết diện cắt ngang là một hình thang cân, đáy và cạnh bên có cùng độ dài là a. Độ dài của đáy lớn (bề ngang của mặt mương) hình thang là bao nhiêu để diện tích của mặt cắt là lớn nhất (cho lưu lượng nước thoát qua lớn nhất).
Bên cạnh một con sông đào thẳng người ta phải làm một khu vườn hình chữ nhật có diện tích cho trước S. Người ta muốn rào khu vườn bằng hàng rào ngắn nhất là bao nhiêu? Biết rằng về phía sông thì không phải làm hàng rào.
Từ tất cả hình chữ nhật với chu vi đã cho, thì hình vuông có diện tích lớn nhất.
