Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang \[\left( {AB//CD,AB = 2CD} \right)\]. Gọi M là trung điểm của cạnh SC.

a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng \[\left( {SAB} \right)\] và \[\left( {SCD} \right)\].

b) Xác định giao điểm K của đường thẳng AM với \[mp\left( {SBD} \right)\]. Tính tỉ số \[\frac{{AK}}{{AM}}\].

Phương pháp

a) Sử dụng định lí \[\left\{ \begin{array}{l}a \subset \left( P \right)\\b \subset \left( Q \right)\\\left( P \right) \cap \left( Q \right) = d\\a//b\end{array} \right. \Rightarrow d//a//b\]

b) Phương pháp xác định giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng:

- Tìm mặt phẳng phụ \[\left( P \right)\] chứa đường thẳng a.

- Tìm giao tuyến d của \[\left( P \right)\] với \[\left( \alpha \right)\] đã cho.

- Tìm giao điểm của d với a.

Sử dụng định lí Ta-let suy ra tỉ số.

Cách giải

a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng \[\left( {{\bf{SAB}}} \right)\] và \[\left( {{\bf{SCD}}} \right)\].

S là điểm chung của \[\left( {SAB} \right)\] và \[\left( {SCD} \right)\].

\[AB//CD;AB \subset \left( {SAB} \right);CD \subset \left( {SCD} \right)\].

Suy ra  \[\left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right) = Sx//AB//CD\].

b) Xác định giao điểm K của đường thẳng AM với \[{\bf{mp}}\left( {{\bf{SBD}}} \right)\]. Tính tỉ số \[\frac{{{\bf{AK}}}}{{{\bf{AM}}}}\].

Ta có: \[AM \subset \left( {SAC} \right)\]

Dễ thấy \[S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\].

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Khi đó \[O \in AC \subset \left( {SAC} \right),O \in BD \subset \left( {SBD} \right)\] nên  \[O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\]

Do đó \[SO = \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\]

Trong \[\left( {SAC} \right)\], gọi \[K = AM \cap SO\] thì \[K \in AM,K \in SO \subset \left( {SBD} \right)\] nên \[K = AM \cap \left( {SBD} \right)\].

Do \[AB//CD\] nên \[\frac{{OC}}{{OA}} = \frac{{CD}}{{AB}} = \frac{1}{2} \Rightarrow OA = \frac{2}{3}AC,OC = \frac{1}{3}AC\].

Gọi E là trung điểm của OC suy ra ME là đường trung bình của \[\Delta SCO \Rightarrow ME//SO\].

Mà \[OE = \frac{1}{2}OC = \frac{1}{2}.\frac{1}{3}.AC = \frac{1}{6}.AC \Rightarrow AE = AO + OE = \frac{2}{3}AC + \frac{1}{6}AC = \frac{5}{6}AC\].

\[ \Rightarrow \frac{{AK}}{{AM}} = \frac{{AO}}{{AE}} = \frac{4}{5}\].