Giải bởi Vietjack
Lời giải
Bổ đề: Với a, b > 0 thì a3 + b3 ³ ab(a + b)
BĐT này đúng vì tương đương với (a − b)2(a + b) ³ 0
Do đó, thực hiện tương tự với bộ (b3, c3); (c3, a3) ta có:
2(a3 + b3 + c3) ³ ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) (1)
Ta có: (a + b + c)(a2 + b2 + c2) = a3 + b3 + c3 + ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) (2)
Từ (1) và (2) suy ra
(a + b + c)(a2 + b2 + c2) £ a3 + b3 + c3 + 2(a3 + b3 + c3) = 3(a3 + b3 + c3)
Vì a + b + c = 1 nên điều trên tương đương với
a2 + b2 + c2 £ 3(a3 + b3 + c3)
Dấu bằng xảy ra khi \(a = b = c = \frac{1}{3}\)
Vậy a2 + b2 + c2 £ 3(a3 + b3 + c3) (đpcm).
Cho các khẳng định:
(I): Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.
(II): Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có vô số điểm chung khác nữa.
(III): Nếu ba điểm phân biệt cùng thuộc hai mặt phẳng thì chúng thẳng hàng.
Số khẳng định sai trong các khẳng định trên là:
Tìm công thức hàm số bậc hai, biết:
a) Đồ thị hàm số đi qua 3 điểm A(1; −3), B(0; −2), C(2; −10).
b) Đồ thị hàm số có trục đối xứng là đường thẳng x = 3, cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng −16 và một trong hai giao điểm với trục hoành có hoành độ là −2.
Cho x, y không âm thỏa mãn: x2 + y2 = 2. Tìm GTNN, GTLN của
\(A = \frac{{{x^2} + {y^2} + 1}}{{xy + 1}}\).
Cho tam giác ABC có AB = AC và D là trung điểm của BC. Gọi E là trung điểm của AC, trên tia đối của tia EB lấy điểm M sao cho EM = EB.
a) Chứng minh DABD = DACD.
b) Chứng minh rằng AM = 2.BD.
c) Tính số đo \[\widehat {MAD}\].
