Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
\(\sqrt {\frac{{{a^3}}}{{5{a^2} + {{\left( {b + c} \right)}^2}}}} + \sqrt {\frac{{{b^3}}}{{5{b^2} + {{\left( {c + a} \right)}^2}}}} + \sqrt {\frac{{{c^3}}}{{5{c^2} + {{\left( {a + b} \right)}^2}}}} \le \sqrt {\frac{{a + b + c}}{3}} \).
Giải bởi Vietjack
Lời giải
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki, ta có:
\({\left( {\sqrt {\frac{{{a^3}}}{{5{a^2} + {{\left( {b + c} \right)}^2}}}} + \sqrt {\frac{{{b^3}}}{{5{b^2} + {{\left( {c + a} \right)}^2}}}} + \sqrt {\frac{{{c^3}}}{{5{c^2} + {{\left( {a + b} \right)}^2}}}} } \right)^2}\)
\( = {\left( {\sqrt a \sqrt {\frac{{{a^2}}}{{5{a^2} + {{\left( {b + c} \right)}^2}}}} + \sqrt b \sqrt {\frac{{{b^2}}}{{5{b^2} + {{\left( {c + a} \right)}^2}}}} + \sqrt c \sqrt {\frac{{{c^2}}}{{5{c^2} + {{\left( {a + b} \right)}^2}}}} } \right)^2}\)
\( \le \left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{{{a^2}}}{{5{a^2} + {{\left( {b + c} \right)}^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{5{b^2} + {{\left( {c + a} \right)}^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{5{c^2} + {{\left( {a + b} \right)}^2}}}} \right)\)
Ta cần chứng minh: \(\frac{{{a^2}}}{{5{a^2} + {{\left( {b + c} \right)}^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{5{b^2} + {{\left( {c + a} \right)}^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{5{c^2} + {{\left( {a + b} \right)}^2}}} \le \frac{1}{3}\).
Không mất tính tổng quát ta giả sử
\(a + b + c = 1;\;a \ge b \ge c \Rightarrow a \ge \frac{1}{3} \ge c\)
BĐT trở thành
• Xét \(c \ge \frac{1}{8}\), thì ta có:
\(9 - \sum {\frac{{27{a^2}}}{{6{a^2} - 2a + 1}} = } \sum {\left( {12a - 1 - \frac{{27{a^2}}}{{6{a^2} - 2a + 1}}} \right) = } \sum {\frac{{{{\left( {3a - 1} \right)}^2}\left( {8a - 1} \right)}}{{6{a^2} - 2a + 1}} \ge 0} \)
• Xét \(c \le \frac{1}{8}\), thì ta có:
\(6\left( {VT - VP} \right) = \frac{{2a - 1}}{{6{a^2} - 2a + 1}} + \frac{{2b - 1}}{{6{b^2} - 2b + 1}} + \frac{{2c - 1}}{{6{c^2} - 2c + 1}}\)
\( = \frac{{a - b - c}}{{6{a^2} - 2a + 1}} + \frac{{b - c - a}}{{6{b^2} - 2b + 1}} + \frac{{6{c^2}}}{{6{c^2} - 2c + 1}}\)
\( = \frac{{2{{\left( {a - b} \right)}^2}\left( {3c - 2} \right)}}{{\left( {6{a^2} - 2a + 1} \right)\left( {6{b^2} - 2b + 1} \right)}} + c\left( {\frac{{6c}}{{6{c^2} - 2c + 1}} - \frac{1}{{6{a^2} - 2a + 1}} - \frac{1}{{6{b^2} - 2b + 1}}} \right)\)
Ta cần chứng= minh \(\frac{1}{{6{a^2} - 2a + 1}} - \frac{1}{{6{b^2} - 2b + 1}} \ge \frac{{6c}}{{6{c^2} - 2c + 1}}\)
Do \(c \le \frac{1}{8} \Rightarrow \frac{{6c}}{{6{c^2} - 2c + 1}} \le 1\)
Suy ra cần chứng minh \(\frac{1}{{6{a^2} - 2a + 1}} - \frac{1}{{6{b^2} - 2b + 1}} \ge 1\)
+) Xét \(b \le \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{1}{{6{b^2} - 2b + 1}} \ge 1\)
+) Xét \(b \ge \frac{1}{3}\). Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
4 ³ 6(a2 + b2) − 2(a + b) + 2
Hay [2(a + b) + c](a + b + c) ³ 3(a2 + b2)
Do \(b \ge \frac{1}{3}\) Þ 3b ³ a Þ [2(a + b) + c](a + b + c) ³ 2(a + b)2
= 3(a + b)2 + 4ab − a2 − b2 ³ 3(a2 + b2) + 3ab − a2 ³ 3(a2 + b2).
Vậy BĐT được chứng minh.
Cho các khẳng định:
(I): Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.
(II): Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có vô số điểm chung khác nữa.
(III): Nếu ba điểm phân biệt cùng thuộc hai mặt phẳng thì chúng thẳng hàng.
Số khẳng định sai trong các khẳng định trên là:
Tìm công thức hàm số bậc hai, biết:
a) Đồ thị hàm số đi qua 3 điểm A(1; −3), B(0; −2), C(2; −10).
b) Đồ thị hàm số có trục đối xứng là đường thẳng x = 3, cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng −16 và một trong hai giao điểm với trục hoành có hoành độ là −2.
Cho x, y không âm thỏa mãn: x2 + y2 = 2. Tìm GTNN, GTLN của
\(A = \frac{{{x^2} + {y^2} + 1}}{{xy + 1}}\).
Cho tam giác ABC có AB = AC và D là trung điểm của BC. Gọi E là trung điểm của AC, trên tia đối của tia EB lấy điểm M sao cho EM = EB.
a) Chứng minh DABD = DACD.
b) Chứng minh rằng AM = 2.BD.
c) Tính số đo \[\widehat {MAD}\].
