Trong không gian \[Oxyz,\] gọi \[m,\,\,n\] là hai giá trị thực thỏa mãn giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {{P_m}} \right):mx + 2y + nz + 1 = 0\) và \(\left( {{Q_m}} \right):x - my + nz + 2 = 0\) vuông góc với mặt phẳng

\((\alpha ):4x - y - 6z + 3 = 0.\) Tính \(m + n.\)

Ta có \(\left( {{P_m}} \right):mx + 2y + nz + 1 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} \left( {m\,;\,2\,;\,n} \right).\)

\(\left( {{Q_m}} \right):x + my + nz + 2 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_2}} \left( {1\,;\, - m\,;\,n} \right)\).

\((\alpha ):4x - y - 6z + 3 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_\alpha }} \left( {4\,;\, - 1\,;\, - 6} \right)\).

Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {{P_m}} \right)\) và \(\left( {{Q_m}} \right)\) vuông góc với mặt phẳng \((\alpha )\) nên ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}({P_m}) \bot (\alpha )\\({Q_m}) \bot (\alpha )\end{array} \right.\)\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_1}}  \bot \overrightarrow {{n_\alpha }} \\\overrightarrow {{n_2}}  \bot \overrightarrow {{n_\alpha }} \end{array} \right.\]\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_1}}  \cdot \overrightarrow {{n_\alpha }}  = 0\\\overrightarrow {{n_2}}  \cdot \overrightarrow {{n_\alpha }}  = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4m - 2 - 6n = 0\\4 + m - 6n = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2\\n = 1\end{array} \right.\).

Vậy \(m + n = 3\). Chọn D.