Cho parabol \(\left( {{P_1}} \right):y =  - {x^2} + 2x + 3\) cắt trục hoành tại hai điểm \[A,\,\,B\] và đường thẳng \(d:y = a\,\,\left( {0 < a < 4} \right).\) Xét parabol \(\left( {{P_2}} \right)\) đi qua A, B và có đỉnh thuộc đường thẳng \(y = a.\) Gọi \({S_1}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(\left( {{P_1}} \right)\) và \[d.\] Gọi \({S_2}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(\left( {{P_2}} \right)\) và trục hoành. Biết \({S_1} = {S_2}\), tính \(T = {a^3} - 8{a^2} + 48a.\)

Để việc tính toán trở nên đơn giản, ta tịnh tiến hai parabol sang trái một đơn vị.

Khi đó, phương trình các parabol mới là \(\left( {{P_1}} \right):y =  - {x^2} + 4,\,\,\left( {{P_2}} \right):y =  - \frac{a}{4}{x^2} + a.\)

Gọi \[A,\,\,B\] là các giao điểm của \(\left( {{P_1}} \right)\) và trục \(Ox \Rightarrow A\left( { - 2\,;\,\,0} \right),B\left( {2\,;\,\,0} \right) \Rightarrow AB = 4.\)

Gọi \[M,\,\,N\] là các giao điểm của \(\left( {{P_1}} \right)\) và đường thẳng \(d \Rightarrow M\left( { - \sqrt {4 - a} \,;\,a} \right),N\left( {\sqrt {4 - a} ;\,\,a} \right).\)

Ta có: \({S_1} = 2\int\limits_\alpha ^4 {\sqrt {4 - y} } dy =  - \left. {\frac{4}{3}\left( {{{\left( {4 - y} \right)}^{\frac{3}{2}}}} \right)} \right|_\alpha ^4 = \frac{4}{3}\left( {4 - a} \right)\sqrt {4 - a} \);

\[{S_2} = 2\int\limits_\alpha ^2 {\left( { - \frac{a}{4}{x^2} + a} \right)} \,dx = \left. {2\left( { - \frac{{a{x^3}}}{{12}} + ax} \right)} \right|_0^2 = \frac{{8a}}{3}\].

Theo giả thiết \({S_1} = {S_2} \Rightarrow \frac{4}{3}\left( {4 - a} \right)\sqrt {4 - a}  = \frac{{8a}}{3} \Leftrightarrow \left( {4 - {a^3}} \right) = 4{a^2} \Leftrightarrow {a^3} - 8{a^2} + 48a = 64\)

Vậy \(T = 64.\) Chọn B.