Cho \(z = a + bi\,\,\left( {a,\,\,b \in \mathbb{R}} \right)\) là số phức thỏa mãn môđun \(z\) nhỏ nhất và \(\left| {z - 1 - 2i} \right| + \left| {z + 2 - 3i} \right| = \sqrt {10} .\) Tính \(S = 7a + b.\)

Gọi \(M\left( {a;\,\,b} \right)\) là điểm biểu diễn số phức \(z = a + bi\)

\(A\left( {1;\,\,2} \right)\) là điểm biểu diễn số phức \(1 + 2i\)

\(B\left( { - 2;\,\,3} \right)\) là điểm biểu diễn số phức \( - 2 + 3i\,;\,\,AB = \sqrt {10} \)

\(\left| {z - 1 - 2i} \right| + \left| {z + 2 - 3i} \right| = \sqrt {10} \) trở thành \(MA + MB = AB\)

\( \Leftrightarrow M\,,\,\,A\,,\,\,B\) thẳng hàng và M ở giữa \[A\] và \({\rm{B}}.\)

Gọi \(H\) là điểm chiếu của \(O\) lên \[AB,\] phương trình \[\left( {AB} \right):x + 3y - 7 = 0\,,\,\,\left( {OH} \right):3x - y = 0\].

Tọa độ điểm \(H\left( {\frac{7}{{10}};\,\,\frac{{21}}{{10}}} \right)\) suy ra \(\overrightarrow {AH}  = \left( { - \frac{3}{{10}};\,\,\frac{1}{{10}}} \right),\,\,\overrightarrow {BH} \left( {\frac{{27}}{{10}};\,\,\frac{9}{{10}}} \right)\) và \(\overrightarrow {BH}  =  - 9\overrightarrow {AH} \) nên\(H \in AB.\)  Mà \(z\) nhỏ nhất nên \(OM\) nhỏ nhất. Mặt khác, \(M\) thuộc đoạn \[AB\] nên \(M \equiv H\left( {\frac{7}{{10}};\,\,\frac{{21}}{{10}}} \right)\).

Lúc đó \(S = 7a + b = \frac{{49}}{{10}} + \frac{{21}}{{10}} = 7.\) Đáp án: 7.