Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(\int\limits_0^2 {\frac{{f'\left( x \right)}}{{x + 2}}} \;{\rm{d}}x = 3\) và \(f\left( 2 \right) - 2f\left( 0 \right) = - 4.\) Tích phân \(\int\limits_0^1 {\frac{{f\left( {2x} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} \;{\rm{d}}x\) bằng
Giải bởi Vietjack
Ta có \(K = \int\limits_0^2 {\frac{{f'\left( x \right)}}{{x + 2}}} \;{\rm{d}}x = \int\limits_0^2 {\frac{{d\left( {f\left( x \right)} \right)}}{{x + 2}}} = \left. {\left( {\frac{1}{{x + 2}} \cdot f\left( x \right)} \right)} \right|_0^2 - \int\limits_0^2 {f\left( x \right) \cdot d\left( {\frac{1}{{x + 2}}} \right)} \)
\( = \frac{1}{4} \cdot f\left( 2 \right) - \frac{1}{2} \cdot f\left( 0 \right) + \int_0^2 f \left( x \right) \cdot \frac{{dx}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{1}{4}\left[ {f\left( 2 \right) - 2f\left( 0 \right)} \right] + \int\limits_0^2 {\frac{{f\left( x \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}} \;{\rm{d}}x\)
\( = \frac{1}{4} \cdot \left( { - 4} \right) + \int\limits_0^2 {\frac{{f\left( x \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}} \;{\rm{d}}x = - 1 + \int\limits_0^2 {\frac{{f\left( x \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}} \;{\rm{d}}x = 3\)\( \Rightarrow \int\limits_0^2 {\frac{{f\left( x \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}} \;{\rm{d}}x = 4.\)
Ta cần tính: \(I = \int\limits_0^1 {\frac{{f\left( {2x} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} \;{\rm{d}}x.\) Đặt \(t = 2x \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{t}{2}}\\{dt = 2dx}\end{array}} \right..\)
Đổi cận: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0 \Rightarrow t = 0}\\{x = 1 \Rightarrow t = 2}\end{array}} \right..\)
\[ \Rightarrow I = \int\limits_0^2 {\frac{{f\left( t \right)}}{{{{\left( {\frac{t}{2} + 1} \right)}^2}}} \cdot \frac{{dt}}{2}} = \int\limits_0^2 {\frac{{4f\left( t \right)}}{{{{\left( {t + 2} \right)}^2}}} \cdot \frac{{dt}}{2}} = 2 \cdot \int\limits_0^2 {\frac{{f\left( t \right)}}{{{{\left( {t + 2} \right)}^2}}}dt} = 2 \cdot 4 = 8\].
Chọn B
Do ảnh hưởng của dịch Covid-19 nên doanh thu 6 tháng đầu năm của công ty A không đạt kế hoạch. Cụ thể, doanh thu 6 tháng đầu năm đạt 20 tỷ đồng, trong đó tháng 6 đạt 6 tỷ đồng. Để đảm bảo doanh thu cuối năm đạt được kế hoạch năm, công ty đưa ra chỉ tiêu: kể từ tháng 7, mỗi tháng phải tăng doanh thu so với tháng kề trước \[10\% .\] Hỏi theo chỉ tiêu đề ra thì doanh thu cả năm của công ty A đạt được là bao nhiêu tỷ đồng (làm tròn đến một chữ số thập phân)?
Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được xác định bởi công thức \(G\left( x \right) = 0,024{x^2}\left( {30 - x} \right)\), trong đó x là liều lượng thuốc tiêm cho bệnh nhân cao huyết áp \[(x\] được tính bằng \[mg).\] Lượng thuốc để tiêm cho bệnh nhân cao huyết áp để huyết áp giảm nhiều nhất là
Xác định một từ/ cụm từ SAI về mặt ngữ pháp/ hoặc ngữ nghĩa/ logic/ phong cách.
Anh Tràng cứ luyên thuyên đủ chuyện trên đường đi về nhà, thị thì ngại ngùng lo lắng không biết làm sao?
Xét các số thực dương phân biệt \[x,\,\,y\] thỏa mãn \(\frac{{x + y}}{{x - y}} = {\log _2}3.\) Khi biểu thức \({4^{x + y}} + 16 \cdot {3^{y - x}}\) đạt giá trị nhỏ nhất thì giá trị của \(x + 3y = a - {\log _b}a\) với \[a,\,\,b\] là các số nguyên dương. Tính \(a + b.\)
Số nghiệm nguyên của bất phương trình \({\left( {4 + \sqrt {15} } \right)^x} + {\left( {4 - \sqrt {15} } \right)^x} \le 62\) là
Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) đế hàm số \(y = {x^3} - \left( {3m + 6} \right){x^2} + \left( {3{m^2} + 12m} \right)x + 1\) nghịch biến trên đoạn \[\left[ {1\,;\,\,3} \right].\]
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) sao cho ứng với mỗi \(m\), hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} - mx + \frac{2}{3}\) có đúng một điểm cực trị thuộc khoảng \(\left( {0\,;\,\,6} \right)\)?
Đọc đoạn trích sau và trả lời câu hỏi:
Còn trời đất, nhưng chẳng còn tôi mãi,
Nên bâng khuâng tôi tiếc cả đất trời;
Mùi tháng năm đều rớm vị chia phôi,
Khắp sông núi vẫn than thầm tiễn biệt...
Con gió xinh thì thào trong lá biếc,
Phải chăng hờn vì nỗi phải bay đi?
Chim rộn ràng bỗng đứt tiếng reo thi,
Phải chăng sợ độ phai tàn sắp sửa?
(Vội vàng – Xuân Diệu)
Giọng điệu chủ đạo của toàn bộ đoạn trích là gì?
Hai chất điểm dao động có li độ phụ thuộc theo thời gian được biểu diễn tương ứng bởi hai đồ thị (1) và (2) như hình vẽ. Nhận xét nào dưới đây đúng khi nói về dao động của hai chất điểm?
