Cho \[\Delta ABC\] cân tại \[A,\] vẽ hai đường cao \[BE\] và \[CF\] cắt nhau tại \[H.\] Gọi \[I,K\] lần lượt là hai điểm trên \[BH,CH\] sao cho \[HI = HE,HK = HF.\] Gọi \[M\] là trung điểm của \[AH.\] Khi đó \[\Delta ABC\] cần điều kiện gì để điểm \[M\] thuộc đường tròn đi qua bốn điểm \[E,F,I,K?\]
A. \[\Delta ABC\] có \[AB = 2BC.\]
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là: C
Xét \[\Delta ABC\] cân tại \[A\] có hai đường cao \[BE\] và \[CF\] cắt nhau tại \[H\] nên \[H\] là trực tâm của \[\Delta ABC.\]
Khi đó \[AH\] là đường cao thứ ba của \[\Delta ABC.\]
Mà \[\Delta ABC\] cân tại \[A\] nên đường cao \[AH\] cũng là đường phân giác của \[\Delta ABC.\]
Xét \[\Delta AFH\] và \[\Delta AEH,\] có:
\[\widehat {AFH} = \widehat {AEH} = 90^\circ ;\]
\[AH\] là cạnh chung;
\[\widehat {FAH} = \widehat {EAH}\] (do \[AH\] là đường phân giác của \[\widehat {FAE}\]).
Do đó \[\Delta AFH = \Delta AEH\] (cạnh huyền – góc nhọn)
Suy ra \[HF = HE\] (cặp cạnh tương ứng).
Mà \[HI = HE,\,\,HK = HF\] nên \[HE = HI = HF = HK.\]
Vậy bốn điểm \[E,F,I,K\] cùng nằm trên đường tròn tâm \[H\] bán kính \[HE.\]
Tam giác \[AEH\] vuông tại \[E\] có \[EM\] là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AH\) nên \(EM = MA = MH = \frac{1}{2}AH\).
Do đó tam giác \[HME\] cân tại \[M.\]
Để điểm \[M\] thuộc đường tròn đi qua bốn điểm \[E,F,I,K\] thì \[HM = HE.\]
Mà tam giác \[HME\] cân tại \[M\] nên lúc này, tam giác \[HME\] là tam giác đều.
Suy ra \[\widehat {MHE} = 60^\circ .\]
Tam giác \[AEH\] vuông tại \[E\] có \[\widehat {AHE} + \widehat {HAE} = 90^\circ \]
Suy ra \[\widehat {HAE} = 90^\circ - \widehat {AHE} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ .\]
Lại có \[AH\] là đường phân giác của \[\Delta ABC\] nên \[\widehat {BAC} = 2\widehat {HAE} = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ .\]
Khi này, \[\Delta ABC\] cân tại \[A\] có \[\widehat {BAC} = 60^\circ \] nên \[\Delta ABC\] là tam giác đều.
Vậy \[\Delta ABC\] đều thì điểm \[M\] thuộc đường tròn đi qua bốn điểm \[E,F,I,K.\]
Do đó ta chọn phương án C.
Cho đường tròn \[\left( {O\,;R} \right)\] và một điểm \[G\] bất kì. Ta nói điểm \[G\] nằm trên đường tròn \[\left( {O\,;R} \right)\] nếu
Cho tam giác \[ABC\] nhọn có các đường cao \[BD,\,\,CE.\] Khẳng định nào sau đây là đúng?
Cho đường tròn \[\left( {O;R} \right)\] và ba điểm \[A,B,C\] thuộc đường tròn đó sao cho \[\Delta ABC\] cân tại \[A.\] Giả sử \[BC = 6{\rm{\;cm}},\] đường cao \[AM\] của \[\Delta ABC\] bằng \[4{\rm{\;cm}}.\] Gọi \[B'\] là điểm đối xứng với \[B\] qua \[O.\] Kẻ \[AH \bot CB'\] tại \[H.\] Khi đó chu vi tứ giác \[AHCM\] bằng
Khẳng định nào sau đây là đúng khi nói về trục đối xứng của đường tròn?
Cho đường tròn \[\left( {O;5{\rm{\;cm}}} \right)\] và một điểm \[K\] bất kì. Biết rằng \[OK = 7{\rm{\;cm}}.\] Khẳng định nào sau đây đúng?
II. Thông hiểu
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(BC = 12{\rm{\;cm}}.\) Bán kính đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác đó bằng
Cho hình chữ nhật \[ABCD\] có \[AC = 16{\rm{\;cm}}.\] Biết rằng bốn điểm \[A,B,C,D\] cùng thuộc một đường tròn. Gọi \[O\] là giao điểm của hai đường chéo \[AC\] và \[BD.\] Tâm và bán kính của đường tròn đó là
Cho đường tròn \[\left( {O;R} \right).\] Đường thẳng \[d\] đi qua tâm \[O,\] cắt đường tròn \[\left( O \right)\] tại hai điểm \[A,C.\] Đường thẳng \[d'\] (khác \[d\]) đi qua tâm \[O,\] cắt đường tròn \[\left( O \right)\] tại hai điểm \[B,D.\] Khi đó tứ giác \[ABCD\] là hình gì?
Cho đường tròn \[\left( {O;3{\rm{\;cm}}} \right)\] và điểm \[A \in \left( O \right).\] Đường thẳng \[d\] vuông góc với \[OA\] tại trung điểm của \[OA\] cắt đường tròn \[\left( O \right)\] tại \[B\] và \[C.\] Kết luận nào sau đây đúng nhất?
Cho hình vuông \[ABCD\] có \[E\] là giao điểm của hai đường chéo. Kết luận nào sau đây sai?
III. Vận dụng
Cho tam giác \[ABC\] cân tại \[A\] có \[\widehat {A\,} = 120^\circ .\] Biết rằng các đỉnh của tam giác nằm trên đường tròn tâm \[O\] bán kính \[4{\rm{\;cm}}.\] Khi đó diện tích tam giác \[ABC\] bằng
