Cho hàm số f(x)=√x2+2x+4−√x2−2x+4. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.Giới hạn của f(x) khi x→+∞ là 0.
B.Giới hạn của f(x khi x→−∞là 2.
C.Giới hạn của f(x) khi x→+∞là −2.
D.lim
Giải bởi Vietjack
f(x) = \sqrt {{x^2} + 2x + 4} - \sqrt {{x^2} - 2x + 4}
Ta có:
\mathop {lim}\limits_{x \to + \infty } f(x) = \mathop {lim}\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 4} - \sqrt {{x^2} - 2x + 4} } \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 4} - \sqrt {{x^2} - 2x + 4} } \right)
= \mathop {lim}\limits_{x \to + \infty } \frac{{\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 4} + \sqrt {{x^2} - 2x + 4} } \right)}}{{\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 4} + \sqrt {{x^2} - 2x + 4} } \right)}}
= \mathop {lim}\limits_{x \to + \infty } \frac{{({x^2} + 2x + 4) - ({x^2} - 2x + 4)}}{{\sqrt {{x^2} + 2x + 4} + \sqrt {{x^2} - 2x + 4} }}
\begin{array}{l} = \mathop {lim}\limits_{x \to + \infty } \frac{{4x}}{{\sqrt {{x^2} + 2x + 4} + \sqrt {{x^2} - 2x + 4} }}\\ = \mathop {lim}\limits_{x \to + \infty } \frac{4}{{\sqrt {1 + \frac{2}{x} + \frac{4}{{{x^2}}}} + \sqrt {1 - \frac{2}{x} + \frac{4}{{{x^2}}}} }} = 2\end{array}
\begin{array}{l}\mathop {lim}\limits_{x \to - \infty } f(x) = \mathop {lim}\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 4} - \sqrt {{x^2} - 2x + 4} } \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 4} - \sqrt {{x^2} - 2x + 4} } \right)\\ = \mathop {lim}\limits_{x \to - \infty } \frac{{\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 4} + \sqrt {{x^2} - 2x + 4} } \right)}}{{\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 4} + \sqrt {{x^2} - 2x + 4} } \right)}}\\ = \mathop {lim}\limits_{x \to - \infty } \frac{{({x^2} + 2x + 4) - ({x^2} - 2x + 4)}}{{\sqrt {{x^2} + 2x + 4} + \sqrt {{x^2} - 2x + 4} }}\\ = \mathop {lim}\limits_{x \to - \infty } \frac{{4x}}{{\sqrt {{x^2} + 2x + 4} + \sqrt {{x^2} - 2x + 4} }}\\ = \mathop {lim}\limits_{x \to - \infty } \frac{{\frac{{4x}}{x}}}{{\frac{{\sqrt {{x^2} + 2x + 4} }}{x} + \frac{{\sqrt {{x^2} - 2x + 4} }}{x}}}\\ = \mathop {lim}\limits_{x \to - \infty } \frac{4}{{\sqrt {1 + \frac{2}{x} + \frac{4}{{{x^2}}}} + \sqrt {1 - \frac{2}{x} + \frac{4}{{{x^2}}}} }} = \frac{4}{{ - 1 - 1}} = - 2\end{array}
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = - \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x)
Đáp án cần chọn là: D
Tính \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^2} - 4x + 3}}{{{x^2} - 9}}bằng?
Tính \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{3{x^2} - 2x - 1}}{{{x^2} + 1}} bằng?
Tính \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt {\frac{{{x^4} + 3x - 1}}{{2{x^2} - 1}}} bằng?
Tính \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x - \sqrt {x + 2} }}{{\sqrt {4x + 1} - 3}} bằng?
Tính \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } x\sqrt {\frac{{3x + 2}}{{2{x^3} + {x^2} - 1}}} bằng?
Tính \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{{x^2} + 6x + 5}}{{{x^3} + 2{x^2} - 1}} bằng?
Tính \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x - 1} \right)bằng?
Tính \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt[3]{{{x^3} + 1}} + x - 1} \right)bằng?
Cho a,b là các số nguyên và \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{a{x^2} + bx - 5}}{{x - 1}} = 20. Tính P = {a^2} + {b^2} - a - b
Tính \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - \sqrt[3]{{x + 1}}}}{{3x}}bằng?
Tính \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + 2x} .\sqrt[3]{{1 + 3x}}.\sqrt[4]{{1 + 4x}} - 1}}{x}
Tính \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \left( {{x^2} - x + 7} \right)bằng?
Tính \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \left( {3{x^2} - 3x - 8} \right)bằng?
Tính \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{\left| {x - 3} \right|}}{{3x - 9}}bằng?
