Hỏi phương trình \[2{\log _3}\left( {\cot x} \right) = {\log _2}\left( {\cos x} \right)\]có bao nhiêu nghiệm trong khoảng \[\left( {0;2017\pi } \right).\]
A.1009 nghiệm
B.1008 nghiệm.
C.2017 nghiệm
D.2018 nghiệm.
Giải bởi Vietjack
Điều kiện : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{cotx > 0}\\{cosx > 0}\end{array}} \right.\left( 1 \right)\)
Ta có :\[2{\log _3}\left( {\cot x} \right) = {\log _2}\left( {\cos x} \right) \Leftrightarrow {\log _3}{\left( {\cot x} \right)^2} = {\log _2}\left( {\cos x} \right) = t\]
\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{(cotx)}^2} = {3^t}}\\{co{s^2}x = {4^t}}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{co{s^2}x}}{{si{n^2}x}} = {3^t}}\\{co{s^2}x = {4^t}}\end{array}} \right.\)
\[ \Rightarrow \frac{{{4^t}}}{{1 - {4^t}}} = {3^t} \Leftrightarrow {4^t} - {3^t} + {12^t} = 0 \Leftrightarrow {\left( {\frac{4}{3}} \right)^t} + {4^t} = 1\]
Đặt \[f(t) = {\left( {\frac{4}{3}} \right)^t} + {\left( 4 \right)^t} \Rightarrow f'(t) = {\left( {\frac{4}{3}} \right)^t}\ln \frac{4}{3} + {\left( 4 \right)^t}\ln 4 > 0\]suy ra\[f(t) = 1\]có tối đa 1 nghiệm.
Nhận thấy t=−1 là nghiệm của phương trình
\[ \Rightarrow {\log _2}\left( {\cos x} \right) = - 1 \Rightarrow \cos x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \Rightarrow x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \]( do đk (1)).
Ta có : \[0 < \frac{\pi }{3} + k2\pi < 2017\pi \Leftrightarrow - \frac{1}{6} < k < \frac{{3025}}{3}\]Do k nguyên nên\[k = 0,1, \ldots ,1008\]
Vậy phương trình có 1009 nghiệm.
Đáp án cần chọn là: A
Tìm tập nghiệm S của phương trình \[{\log _2}\left( {x - 1} \right) + {\log _2}\left( {x + 1} \right) = 3\].
Tìm tập nghiệm S của phương trình \[lo{g_2}({x^2} - 4x + 3) = lo{g_2}(4x - 4)\]
Cho a,b,c là các số thực dương khác 1 thỏa mãn \[\log _a^2b + \log _b^2c = {\log _a}\frac{c}{b} - 2{\log _b}\frac{c}{b} - 3\]. Gọi \[M,m\;\] lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \[P = lo{g_a}b - lo{g_b}c\]. Giá trị của biểu thức \[S = m - 3M\;\] bằng
Cho \[0 \le x \le 2020\]và \[lo{g_2}(2x + 2) + x - 3y = {8^y}\]. Có bao nhiêu cặp số (x;y) nguyên thỏa mãn các điều kiện trên?
Tập nghiệm của phương trình \[{\log _2}\left( {{x^2} - 1} \right) = {\log _2}2x\] là:
Cho hàm số \[f\left( x \right) = {\log _2}\left( {\cos x} \right).\] Phương trình \[f\prime \left( x \right) = 0\;\] có bao nhiêu nghiệm trong khoảng \[\left( {0;2020\pi } \right)?\]
Cho các số thực dương a,b,c khác 1 thỏa mãn
Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[P = lo{g_a}ab - lo{g_b}bc\]. Tính giá trị của biểu thức \[S = 2{m^2} + 9{M^2}\].
Giải phương trình \[{\log _2}\left( {{2^x} - 1} \right).{\log _4}\left( {{2^{x + 1}} - 2} \right) = 1\] Ta có nghiệm:
Tổng tất cả các nghiệm của phương trình \[{\log _3}\left( {7 - {3^x}} \right) = 2 - x\] bằng:
Tìm m để phương trình \[mln(1 - x) - lnx = m\] có nghiệm \[x \in \left( {0;1} \right)\]
Cho phương trình: \[{4^{ - \left| {x - m} \right|}}.{\log _{\sqrt 2 }}\left( {{x^2} - 2x + 3} \right) + {2^{2x - {x^2}}}.{\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2\left| {x - m} \right| + 2} \right) = 0\] với m là tham số. Tổng tất cả các giá trị của tham số m để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt là:
Tập hợp nghiệm của phương trình \[{\log _3}\left( {{9^{50}} + 6{x^2}} \right) = {\log _{\sqrt 3 }}\left( {{3^{50}} + 2x} \right)\] là:
Phương trình \[{\log _4}\left( {{{3.2}^x} - 1} \right) = x - 1\] có hai nghiệm là \[{x_1};{x_2}\;\] thì tổng \[{x_1} + {x_2}\;\] là:
Cho x>0; \[x \ne 1\] thỏa mãn biểu thức \[\frac{1}{{lo{g_2}x}} + \frac{1}{{lo{g_3}x}} + ... + \frac{1}{{lo{g_{2017}}x}} = M\;\]. Khi đó x bằng:
